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Función homogénea

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En matemáticas, una función homogénea[1]​ es una función tal que, si todos sus argumentos se multiplican por un escalar, entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este escalar, llamado grado de homogeneidad, o simplemente el grado; es decir, si k es un número entero, una función f de variables n es homogénea de grado k si

para cada y

Expresado de otra manera, es una función que presenta un interesante comportamiento multiplicativo de escala: si todos los argumentos se multiplican por un factor constante, entonces el valor de la función resulta ser un cierto número de veces el factor multiplicativo elevado a una potencia. Dicha potencia es el grado de la función homogénea (véase Definición formal).

Definición formal

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Supongamos una función cuya definición es entre dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo . Entonces se dice que es homogénea de grado k si:

Ejemplos

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Las funciones lineales

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Cualquier función lineal es homogénea de grado 1, puesto que por definición se tiene:

para todo y . Del mismo modo, cualquier función multilineal es homogénea de grado n, por definición.

para todo y . Se sigue que la n-ésima derivada de Fréchet de una función entre dos espacios de Banach y es homogénea de grado .

Polinomios homogéneos

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Los monomios de variables reales definen funciones homogéneas. Por ejemplo,

es homogénea de grado 10 puesto que:

Un polinomio homogéneo es un polinomio tal que todos sus términos tienen el mismo grado. Por ejemplo,

es un polinomio homogéneo de grado 5.

Propiedades

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Supongamos que una función es infinitamente diferenciable. Entonces f es homogénea de grado k si y sólo si:

.

  • Teorema: Sea es diferenciable y homogénea de grado k. Entonces sus derivadas parciales de primer orden son funciones homogéneas de grado k-1. es decir

Este resultado se prueba de la misma manera que el teorema de Euler.

Demostración
Sea y la función homogénea.

Por homogeneidad de la función se sabe que

Se define como . Reemplazando la en la expresión anterior nos queda:

Se deriva ambos lados de la igualdad con respecto a

por regla de la cadena la expresión se vuelve:

Sustituyendo nuevamente :

y finalmente da el resultado que se quiere obtener:

Aplicación a las EDOs

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La substitución convierte la ecuación diferencial ordinaria (EDO)

Donde y son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable:

Referencias

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  1. Richard Courant, Fritz John (1999). Introduction to Calculus and Analysis II/1. Springer Science & Business Media. pp. 119 de 556. ISBN 9783540665694. Consultado el 23 de septiembre de 2023. 

Bibliografía

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  • Blatter, Christian (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Analysis II (2nd ed.) (en alemán). Springer Verlag. p. 188. ISBN 3-540-09484-9. 

Enlaces externos

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