Figura isotoxal

En geometría, un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro), o un teselado, es isotoxal o transitivo de aristas si sus simetrías actúan transitivamente en sus aristas.​ Informalmente, esto significa que solo hay un tipo de arista en el objeto: dadas dos aristas, existe una traslación, rotación y/o reflexión que permitirá mover una arista a la posición inicial de la otra, mientras deja la región ocupada por el objeto sin cambios.

El término isotoxal se deriva del griego τοξον que significa arco.

Polígonos isotoxales

Un polígono isotoxal es un polígono equilátero, pero no todos los polígonos equiláteros son isotoxales. Los duales de los polígonos isotoxales son figuras isogonales.

En general, un 2n-gono isotoxal tendrá D_n (*nn) simetría diedral. Un rombo es un polígono isotoxal con simetría D₂ (*22).

Todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, etc.) son isotoxales, tienen el doble del orden de simetría mínimo: un n-gono regular tiene una simetría diedral D_n (*nn). Un 2n-gono regular es un polígono isotoxal y puede marcarse con vértices coloreados alternativamente, eliminando la línea de reflexión a través de los puntos medios.

Ejemplos de polígonos isotoxales

D2 (*22)	D3 (*33)			D4 (*44)		D5 (*55)
Rombo	Triángulo equilátero	Hexágono cóncavo	Hexágono autointersecante	Octógono convexo		Pentágono regular	Pentagrama (regular) autointersecante	Decagrama autointersecante

Poliedros y teselados isotoxales

Los poliedros regulares son isohédricos (con caras transitivas), isogonales (con vértices transitivos) e isotoxales. Los poliedros cuasirregulares, como el cuboctaedro o el icosidodecaedro, son isogonales e isotoxales, pero no son isoédricos; sus duales, incluyendo el rombododecaedro y el triacontaedro rómbico, son isoédricos e isotoxales, pero no isogonales.

Ejemplos

Poliedro cuasirregular	Poliedro cuasirregular dual	Poliedro cuasirregular estrellado	Poliedro cuasirregular estrellado dual	Teselado cuasirregular	Teselado cuasirregular dual
El cuboctaedro es un poliedro isogonal e isotoxal	El rombododecaedro es un poliedro isoedral e isotoxal	El gran icosidodecaedro es un poliedro estrellado isogonal e isotoxal	El gran triacontaedro rómbico es un poliedro estrellado isoedral e isotoxal	El teselado trihexagonal es isogonal e isotoxal	El teselado rómbico es isoedral e isotoxal, con simetría p6m (*632)

No todos los poliedros o teselados bidimensionales construidos a partir de polígonos regulares son isotoxales. Por ejemplo, el icosaedro truncado (el familiar balón de fútbol) tiene dos tipos de aristas: hexágono-hexágono y hexágono-pentágono, y no es posible que una simetría del sólido mueva cada arista hexágono-hexágono hacia una arista hexágono-pentágono.

Un poliedro isotoxal tiene el mismo ángulo diedral para todas sus aristas.

Hay 9 poliedros convexos isotoxales coincidentes con los sólidos platónicos; otros 8 integrados por los sólidos de Kepler–Poinsot; y 6 más que forman parte de los poliedros estrellados cuasirregulares (3|pq) y sus duales.

Hay al menos 5 teselados poligonales del plano euclidiano que son isotoxales, e innumerables teselados isotoxales poligonales del plano hiperbólico, incluidas las construcciones de Wythoff de los grupos de teselados hiperbólicos regulares {p,q} y (p q r) no rectos.

Véase también

• Figura isogonal

Bibliografía

• Peter R. Cromwell, "Polyhedra", Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitividad
• Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.  (6.4 mosaicos Isotoxal, 309-321)
• Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), «Uniform polyhedra», Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences 246: 401-450, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003 .

• Datos: Q3847026