Desarrollo de fractales mediante el método de Mandelbrot

El método de Mandelbrot : este método para desarrollar "objetos fractales" fue creado por Benoît Mandelbrot en la década de los años 70, mientras trabajaba en IBM. Consiste en construir, para cada punto c del plano complejo, una sucesión de números complejos z_n. Partiendo del punto z₀ = 0, se calcula la sucesión de forma iterativa mediante la fórmula z_{n 1}=F(z_n) c, donde F es una función arbitraria previamente elegida. Cuando la sucesión iterativa está acotada, se asigna al punto c del plano complejo un color sólido (por ejemplo, el color negro). Si la sucesión diverge entonces se asigna al punto c un color progresivamente distinto, dependiendo de cuántas iteraciones hayan sido necesarias para detectar la divergencia de la sucesión.

El fractal derivado por este método cuando se toma la función F(z)=z² se llama conjunto de Mandelbrot.

En lo que sigue, en lugar de z_{n 1}=F(z_n) c se utilizará la notación Z=F(Z) C, como si se tratara de una asignación en algún lenguaje de programación.

Z = Z^m C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m C, según el método de Mandelbrot.

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z^m C

• 
  Z = Z² CConjunto de Mandelbrot
• 
  Z = Z³ C
• 
  Z = Z⁴ C
• 
  Z = Z⁵ C
• 
  Z = Z⁶ C
• 
  Z = Z⁷ C
• 
  Z = Z⁸ C
• 
  Z = Z⁹ C
• 
  Z = Z¹⁰ C
• 
  Z = Z¹¹ C
• 
  Z = Z¹² C
• 
  Z = Z¹² C
  x 8
• 
  Z = Z²⁰ C
• 
  Z = Z²⁰ C
  x 10
• 
  Z = Z⁴⁸ C
• 
  Z = Z⁴⁸ C
  x 20
• 
  Z = Z⁹⁶ C
• 
  Z = Z⁹⁶ C
  x 40

Tal y como se puede ver en los ejemplos representados, el número de lóbulos es L = m - 1

Un breve viaje a las profundidades del fractal de Mandelbrot Z = Z² C

A continuación vamos a adentrarnos en el fractal clásico de Mandelbrot, utilizando el microscopio de altísima resolución que nos proporciona el cálculo iterativo. Todas las ampliaciones vienen precedidas de una imagen del fractal a escala 1:1 en donde podemos apreciar la zona ampliada.​

Ampliación zona 1

Centro de coordenadas : Cx = 0.291811 , Cy = 0.0144686

• 
  x 1
• 
  x 732

Ampliación zona 2

Centro de coordenadas : Cx = -0.165643411 , Cy = 0.656685704

• 
  x 1
• 
  x 3855

Ampliación zona 3

Centro de coordenadas : Cx = -0.755625 , Cy = 0.06328125

• 
  x 1
• 
  x 180

Ampliación zona 4

Centro de coordenadas : Cx = -0,1758752481899, Cy = 1,075392007
A continuación bajaremos a gran profundidad, con una ampliación de más de 2 millones y con un número máximo de 6000 iteraciones por pixel !

• 
  x 1
• 
  x 2,369,369

Ampliación zona XX

Centro de coordenadas : Cx = 0,02816835288421, Cy = 0,63790834667330
Ahora nos adentraremos en un sitio con extrañas formas y colores, pero donde pueden apreciarse perfectamente las formas del fractal de Mandelbrot...

• 
  x 5,598

Z = Z^-m C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot, con potencias negativas de Z.

• 
  Z = Z ^-2 C
• 
  Z = Z ^-3 C
• 
  Z = Z ^-4 C
• 
  Z = Z ^-5 C

Z = Z^p / (1 Z^q) C

• 
  Z = Z² / (1 Z) C
  
• 
  Z = Z³ / (1 Z²) C
  
• 
  Z = Z³ / (1 Z) C
  
• 
  Z = Z³ / (1 Z Z²) C
  
• 
  Z = [(1 Z) / Z²] C
  

Z = Z^m C^p

Pero, ¿ qué pasa cuando hacemos Z = Z^m C^p ?. Tal y como se puede ver en los siguientes ejemplos, el número de lóbulos es L = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² C²
  L = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z² C³
  L = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z² C⁶ - 1
  L = (2 - 1)* 6 = 6
• 
  Z = Z³ C²
  L = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z³ C³
  L = (3 - 1)* 3 = 6
• 
  Z = Z⁴ C⁴
  L = (4 - 1)* 4 = 12

Z = Z^m Z C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m Z C, según el método de Mandelbrot.

• 
  Z = Z² Z C
• 
  Z = Z³ Z C
• 
  Z = Z⁴ Z C
• 
  Z = Z⁹ Z C

Z = Z^m - Z C

A continuación se muestra una serie de fractales iterando las diferentes potencias de Z = Z^m - Z C, según el método de Mandelbrot.

• 
  Z = Z³ - Z C
• 
  Z = Z⁴ - Z C
• 
  Z = Z⁵ - Z C
• 
  Z = Z⁹ - Z C

Z = Z^m 1 / C^p

También se puede transformar cada punto del plano complejo, de acuerdo a una función arbitraria, antes de ser sumado a la función iterativa, según la siguiente ecuación Z = Z^m F(C) . Veamos que pasa cuando la transformación es del tipo:F(C) = 1 / C

Ejemplos de fractales del tipo Mandelbrot: Z = Z^m 1/C, donde cada punto C del plano complejo se transforma en 1 / C, antes de entrar en la iteración de la potencia de Z.
Zo = (0,0i). El número de vértices es V = (m - 1)

• 
  Z = Z² 1/C
• 
  Z = Z³ 1/C
• 
  Z = Z⁴ 1/C
• 
  Z = Z⁵ 1/C
• 
  Z = Z⁶ 1/C
• 
  Z = Z⁷ 1/C

Pero, qué pasa cuándo Z = Z^m (1 / C²) ?. Pues algo muy parecido a lo que veíamos antes, ahora el número de vértices es V = (m - 1) * p

• 
  Z = Z² 1 / C²
  V = (2 - 1)* 2 = 2
• 
  Z = Z³ 1 / C²
  V = (3 - 1)* 2 = 4
• 
  Z = Z⁴ 1 / C²
  V = (4 - 1)* 2 = 6
• 
  Z = Z⁵ 1 / C²
  V = (5 - 1)* 2 = 8
• 
  Z = Z⁶ 1 / C²
  V = (6 - 1)* 2 = 10
• 
  Z = Z⁷ 1 / C²
  V = (7 - 1)* 2 = 12

• 
  Z = Z² 1 / C³
  V = (2 - 1)* 3 = 3
• 
  Z = Z² 1 / (C³ 1)
  V = (2 - 1)* 3 = 3

Integrando en el mismo fractal una función de C y su inversa Z = Z^m C i Z = Z^m 1/C

La zona en color BLANCO intenso es el área de la intersección de los 2 sets.

• 
  Z = Z² 1 / C
  Z = Z² C
• 
  Z = Z² 1 / C
  Z = Z³ C
• 
  Z = Z³ 1 / C
  Z = Z² C
• 
  Z = Z³ 1 / C
  Z = Z³ C
• 
  Z = Z⁴ 1 / C
  Z = Z⁴ C
• 
  Z = Z⁴ 1 / C
  Z = Z³ C

Z = ( Z^m / C^m ) C

• 
  Z = (Z⁴ / C⁴) C
• 
  Z = (Z⁸ / C⁸) C

Z = Z^m C C^p 1/ C 1/ C^q

También podemos añadir más sumandos a la función Z^m, combinando C, C^p, 1/C y 1/C^q en grupos de 2, 3 o 4, veamos que sucede si agrupamos C², 1/C y 1/C² de 2,3 o 4 formas ..:

• 
  Z = Z² C C²
  
• 
  Z = Z² C 1/C
  
• 
  Z = Z² C 1/C²
  
• 
  Z = Z² C² 1/C
• 
  Z = Z² C² 1/C²
  
• 
  Z = Z² 1/C 1/ C²
  

• 
  Z = Z² C C² 1/C
• 
  Z = Z² C C² 1/C²
• 
  Z = Z² C 1/C 1/C²
• 
  Z = Z² C² 1/C 1/C²
• 
  Z = Z² C C² 1/C 1/C²

A continuación más combinaciones con otros exponentes:

• 
  Z = Z² C 1/ C³

Z = Z^m polinomios de C

Podemos combinar diferentes potencias de C y/o Z sumándolas a Z^m , veamos qué sucede:

• 
  Z=Z² C /(C² 1) C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² C /(C²-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² C² /(C⁴ 0.1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² C² / (C⁴ - 0.25)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función: Z=Z² 1 /(C^m-1)

• 
  Z=Z² 1 /(C²-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² 1 /(C³-1)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² 1 /(C⁴-1)
  Zo = (0,0i)

Z = Z^m polinomios mixtos de C i Z

Podemos sumar a Z^m polinomios mixtos de C i Z , veamos qué sucede:

Z = Z² C/ (Z² k)

• 
  Z=Z² C / (Z²- 0.001)
  Zo = (0,0i) x 1000
• 
  Z=Z² C / (Z²- 0.01)
  Zo = (0,0i) x 100
• 
  Z=Z² C / (Z²- 0.1)
  Zo = (0,0i) x 10
• 
  Z=Z² C / (Z² 0.1)
  Zo = (0,0i) x 10
• 
  Z=Z² C / (Z² 0.01)
  Zo = (0,0i) x 100
• 
  Z=Z² C / (Z² 0.001)
  Zo = (0,0i) x 24,900

Z = Z^m C^p/Z^q C

• 
  Z=Z² (C² /Z²) C
  Zo = (0,0i) m=2, p=2,q=2
• 
  Z=Z² (C⁴ /Z²) C
  Zo = (0,0i) m=2,p=4,q=2
• 
  Z=Z² (C⁴ /Z⁴) C
  Zo = (0,0i) m=2, p=4,q=4
• 
  Z=Z² (C⁶ /Z⁶) C
  Zo = (0,0i) m=2, p=6,q=6
• 
  Z=Z⁴ (C² /Z⁴) C
  Zo = (0,0i) m=4, p=2,q=4

Z= [(Z^m C-1) / (m*Z^m-1 C- m)]²

• 
  Z= [(Z² C-1) / (2*Z C-2)]²
  Zo = (0,0i) MAGNET
• 
  Z= [(Z² C²-1) / (2*Z C² -2)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z² C³-1) / (2*Z C³ -2)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z³ C-1) / (3*Z² C-3)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z⁴ C-1) / (4*Z³ C-4)]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z C^m-1) / C^m]²

• 
  Z= [(Z C -1) / C]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C²-1) / C²]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C³-1) / C³]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C⁴-1) / C⁴]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C⁵-1) / C⁵]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z C^m-1) / C^m]³

• 
  Z= [(Z C-1) / C]³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C²-1) / C²]³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C³-1) / C³]³
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z C^m 1) / (C^m - 1)]²

• 
  Z= [(Z C 1) / (C -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C² 1) / (C² -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C³ 1) / (C³ -1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C⁴ 1) / (C⁴ -1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C⁵ 1) / (C⁵ -1)]²
  Zo = (0,0i)

Z= [(Z C^m-1) / (C^m 1)]²

• 
  Z= [(Z C -1) / (C 1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C² -1) / (C² 1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C³ -1) / (C³ 1]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C⁴ -1) / (C⁴ 1)]²
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= [(Z C⁵ -1) / (C⁵ 1)]²
  Zo = (0,0i)

Otras combinaciones de Z y C

• 
  Z=Z² C² /(Z² C) C
  Zo = (0,0i)

Más funciones de variable compleja

Pero existe una amplia variedad de funciones, en el dominio de los números complejos, que pueden ser iteradas según el método de Mandelbrot.
Voy a citar aquí algunos ejemplos, explicitando la parte real y la imaginaria:

Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(x), Exp(x) * Sin(y)i ]
Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Cos(Z) = [ Cos(x) * ((Exp(y) Exp(-y)) / 2) , -Sin(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) Exp(-x)) / 2)i ]
CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
LN(Z) = [ 0.5 * Log(x * x y * y) , Atn(y / x)i ]
SQR(Z) = [ (x * x y * y)^0.25 * Cos(0.5 * Atn(y/x)) , (x * x y * y)^0.25 * Sin(0.5 * Atn(y/x)) i ]
ATN(Z) = [PI / 4 - (1 / 2) * Atn((1 - x^2 - y^2) / (2 * x)), -(1 / 4) * Log((1 - x^2 - y^2) ^2 4 * x^2) (1 / 2) * Log((1 y) ^2 x^2) i]

Z = Z^m F(C)

A continuación algunos ejemplos de fractales por iteración de Z², pero transformando C según las funciones descritas anteriormente:

• 
  Z=Z² Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² 1/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² Cos(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² 1/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² 1/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² 1/CosH(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² Tan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² CoTan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² TanH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² CoTanH(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² Sin(C)/CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² CosH(C)/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² Cos(C)/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² SinH(C)/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z=Z² Sin(C)/SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² SinH(C)/Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² Cos(C)/CosH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z=Z² CosH(C)/Cos(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z= Z² ATan(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= -0.5*Z² Sqr(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z= -0.5*Z³ Sqr(C)
  Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de Exp(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Exp(Z) = [ Exp(x) * Cos(y), Exp(x) * Sin(y)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

• 
  Z = Exp(Z) C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z * Exp(Z) C
  Zo = (0,0i)

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² Exp(C)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = Exp(C³/Z³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²-1.00001*Z)/Sqr(C³)]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[(Z²- 1.00001*Z)/C³]
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z = Exp[(Z² k * Z) / F(C^m)]

Esta función es muy sensible a Zo, y también al coeficiente (k) que multiplica a Z. Veamos algunos ejemplos interesantes:

• 
  Z = Exp[(Z² k*Z)/ Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i) k = 1
• 
  Z = Exp[(Z² k*Z)/ Sqr(C³)]
  Zo = (1,1i) k = -0.8
• 
  Z = Exp[(Z² k*Z)/ Sqr(C⁷)]
  Zo = (1,1i) k = 0.0
• 
  Z = Exp[(Z² k*Z)/ Sqr(C⁷)]
  Zo = (1,1i) k = -0.8
• 
  Z = Exp[(Z² k*Z)/ LN(C⁹)]
  Zo = (1,1i) k = 3.0

El caso de la función Z_{n 1} = Exp(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Exp(Z /C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁴)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁵)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁶)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Exp(Z_n / C ^m) C ^p

• 
  Z = Exp(Z /C⁶) C ³
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁸) C ⁴
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z /C⁸) C ²
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Exp(Z_n^p / C ^p)

• 
  Z = Exp(Z³/C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z⁴/C⁴)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Z_n^q * Exp(Z_n / C ^p) C

• 
  Z = Z² * Exp(Z/C) C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³ * Exp(Z/C) C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴ * Exp(Z/C) C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁵ * Exp(Z/C) C
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Exp[ Z_n² / (C ^m C ^p) ]

Aparece un número de lóbulos centrales = m, y un número de aristas exteriores = p, siendo m<p.

• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁵ C )]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁶ C³ )]
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp[Z² / ( C⁸ C⁴ )]
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Z_n^m * Exp[ Cos(Z_n)] 1/C

Aparecen un número de aristas = m.

• 
  Z = Z²* Exp[ Cos(Z)] 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³* Exp[ Cos(Z)] 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴* Exp[ Cos(Z)] 1/C
  Zo = (0,0i)

Fractales per iteración de Sin(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: Sin(Z) = [ Sin(x) * ((Exp(y) Exp(-y)) / 2), Cos(x) * ((Exp(y) - Exp(-y)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de los puntos C = (Cx,Cyi), simultáneamente:

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³ Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴ Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁵ Sin(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁶ Sin(C)
  Zo = (0,0i)

• 
  Z = Z² Sin(C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z³ Sin(C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z⁴ Sin(C²)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = Sin(CosH(Z)*C³)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Sin(Z_n * C ^m)

• 
  Z = Sin(Z*C^0.5)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C³)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z*C¹⁰)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z^0.5*C³)
  Zo = (1,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Sin(Z_n / C ^m)

• 
  Z = Sin(Z/C^0.5)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C²)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C³)
  Zo = (1,0i)
• 
  Z = Sin(Z/C¹⁰)
  Zo = (1,0i)

Fractales por iteración de Cos(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: ' Cos(Z) = [ Cos(x)*((Exp(y) Exp(-y)) / 2), -Sin(x)*((Exp(y)-Exp(-y))/2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente

Como función iterativa

• 
  Z = Cos(Z) 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z) LN(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z³) 1/C
  Zo = (0.2,0.3i)

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² Cos( C)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa y transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = Cos(Z) Cos(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(C/Z)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Cos(Z_n * C ^m)

• 
  Z = Cos(Z*C^0.5)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z*C³)
  Zo = (0,0i)

El caso de la función Z_{n 1} = Cos(Z_n/C ^m)

• 
  Z = Cos(Z/C^0.5)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C²)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C³)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Cos(Z/C⁴)
  Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de SinH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: SinH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2) , Sin(Y) * ((Exp(x) Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

• 
  Z = SinH(Z) 1/C
  Zo = (0.91, -0.08i)
• 
  Z = SinH(Z) 1/C
  Zo = (0.90, -0.05i)
• 
  Z = SinH(Z) 1/C²
  Zo = (1, 0.1i)
• 
  Z = SinH(Z²) 1/C
  Zo = (1, -1i)

Como función transformadora de C

• 
  Z = Z² SinH(C)
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Z² SinH(1/ C³)
  Zo = (0,0i)

Como función iterativa i transformadora de C, simultáneamente

• 
  Z = SinH(Z / C )
  Zo = (0,1i)
• 
  Z = SinH(Z)/ C
  Zo = (1,0i)

Fractales por iteración de CosH(Z)

Esta función se descompone en una parte real y otra imaginaria: CosH(Z) = [ Cos(y) * ((Exp(x) Exp(-x)) / 2) , Sin(y) * ((Exp(x) - Exp(-x)) / 2)i ]
Puede ser utilizada como función iterativa o como función transformadora de C = (Cx,Cyi), o simultáneamente:

Como función iterativa

• 
  Z = CosH(Z) 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z²) 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z³) 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z⁴) 1/C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH(Z⁵) 1/C
  Zo = (0,0i)

Fractales por iteración de combinaciones de diferentes funciones de Z

• 
  Z = SinH(Z) * Sin(Z) C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = CosH[Exp(Z²)] C
  Zo = (0,0i)
• 
  Z = Exp(Z/C⁵) Ln(Z) Z
  Zo = (0,0i)

Más fractales según el método de Mandelbrot

Aquí se muestra un ejemplo de iteración de dos funciones F(X) y F(Y), por adición de cada uno de los puntos del plano C(X,Y), y la introducción de una tercera función F(Z) que desequilibra el punto de convergencia.
Xn 1 = Xn - Sin(Yn) C(X) .. Yn 1 = Yn - Sin( Xn) C(Y) .. Zn 1 = Zn - Cos( Xn Yn)

• 
• 

Referencias

• Datos: Q15087222