Binomio

En álgebra, un binomio consta únicamente de una suma o resta de dos monomios.

Ejemplos

$a b$ .
$a^{2}b^{5}c^{2}z-b^{3}c^{9}d^{2}$ .
$3\tan ^{2}\phi \,-\,{\frac {b^{2}}{e^{i\pi \theta }}}$ : es una diferencia de expresiones trigonométricas.

Binomios notables

$x^{2} y^{2}$ . Suma de cuadrados.
$x^{2}-y^{2}$ . Diferencia de cuadrados.
$x^{3} y^{3}$ . Suma de cubos.
$x^{3}-y^{3}$ . Diferencia de cubos.
$x^{n} y^{n}$ . Suma de n-esimas potencias.^[1]
$x^{n}-y^{n}$ . Diferencia de n-ésimas potencias.^[2]

Operaciones con binomios

Factor común

El resultado de multiplicar un binomio a b con un monomio c se obtiene aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la adición:

$c(a b)=ca cb$

o realizando la operación:

${\begin{array}{rrr}&a& b\\\times &&c\\\hline &ca& cb\end{array}}$

Representación gráfica de la regla de factor común

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es c(a b) (el producto de la base por la altura), pero también puede obtenerse como la suma de las dos áreas(ca y cb).

Ejemplo:

3x(4x-6y)=(3x)(4x) (3x)(-6y)=12x^{2}-18xy

O también:

{\begin{array}{rrr}&4x&-6y\\\times &&3x\\\hline &12x^{2}&-18xy\end{array}}

Suma por diferencia

El binomio $a^{2}-b^{2}$ puede factorizarse como el producto de dos binomios:

a^{2}-b^{2}=(a-b)(a b)

.

Demostración:

{\begin{array}{rrr}&a& b\\\times &a&-b\\\hline &-ab&-b^{2}\\a^{2}& ab&\\\hline a^{2}&&-b^{2}\end{array}}

b² a²

Esta disposición suele llamarse diferencia de cuadrados, y es un caso especial de la fórmula: $a^{n 1}-b^{n 1}=(a-b)\sum _{k=0}^{n}a^{k}\,b^{n-k}$ .

Producto de dos binomios lineales

El producto de un par de binomios lineales $(ax b)$ $(cx d)$ es:

(ax b)(cx d)=acx^{2} axd bcx bd=acx^{2} (ad bc)x bd

{\begin{array}{rrr}&ax& b\\\times &cx& d\\\hline &adx& bd\\acx^{2}& bcx&\\\hline acx^{2}& (ad bc)x& bd\end{array}}

Potencia de un binomio

Un binomio elevado a la n-ésima potencia, se escribe: $(a b)^{n}$ , y puede desarrollarse utilizando la fórmula de teorema de Newton o, equivalentemente, con ayuda del triángulo de Pascal. El ejemplo más sencillo es el cuadrado perfecto: $(p q)^{2}$

Cuadrado de un binomio

Visualización de la fórmula para binomio al cuadrado

Al elevar un binomio al cuadrado, se lo multiplica por sí mismo:

$(a b)^{2}=(a b)(a b)=a^{2} 2ab b^{2}$ .

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\begin{array}{rrr}&a& b\\\times &a& b\\\hline & ab& b^{2}\\a^{2}& ab&\\\hline a^{2}& 2ab& b^{2}\end{array}}$

De aquí se puede derivar una regla para el cálculo directo: se suman los cuadrados de cada término con el doble producto de los mismos.

Un trinomio de la forma $a^{2} 2ab b^{2}$ , se conoce como trinomio cuadrado perfecto;

Cuando el segundo término es negativo:

$(a-b)^{2}=(a-b)(a-b)=a^{2}-2ab b^{2}$

La operación se efectúa del siguiente modo:

${\begin{array}{rrr}&a&-b\\\times &a&-b\\\hline &-ab& b^{2}\\a^{2}&-ab&\\\hline a^{2}&-2ab& b^{2}\end{array}}$

Ejemplo:

(2x-3y)^{2}=(2x)^{2} 2(2x)(-3y) (-3y)^{2}=4x^{2}-12xy 9y^{2}

Aplicación en el cálculo diferencial

Si se quiere hallar la derivada de la función cuadrática $y=x^{2}$ , se desarrolla el binomio ${(x h)}^{2}=x^{2} 2xh h^{2}$ . El coeficiente del término en $h$ que es $2x$ es la derivada de $x^{2}$ . Obsérvese que si consideramos el trinomio del desarrollo como dependiente de $h$ , el término lineal es $2xh$ .

Igualmente, para $y=x^{3}$ se desarrolla $(x h)^{3}$ . En el cuatrinomio resultante, el coeficiente de $h$ es $3x^{2}$ , que es la derivada de $x^{3}$ .