Problemo de Monty Hall

La problemo de Monty Hall estas matematika problemo pri probabloj bazita sur la usona televida konkurso Let's Make a Deal (Ni faru interkonsenton). La problemo estis nomita laŭ la nomo de la prezentisto de tiu konkurso: nome Monty Hall. La partoprenanto en la televida konkurso devas elekti pordon el inter tri (ĉiuj fermitaj); la premio konsistas en akiro de tio, kio troviĝas malantaŭ la elektita pordo. Oni scias certece, ke malantaŭ unu el ili troviĝas aŭto kaj malantaŭ la ceteraj du estas po unu kapro.

Konsisto de la problemo

(a) En amuz-programo, partoprenanto-ludanto troviĝas antaŭ tri fermitaj pordoj, pri kiuj li scias nur ke, por eblaj premioj ĉe la ludo-fino, du el ili "kaŝas" po unu kapron, kaj ke la alia kaŝas unu aŭton. La program-gvidanto, diference, ja scias, kion kaŝas ĉiu unuopa pordo.
(b) La ludanto tuj poste aleatore elektas unu el la pordoj, sed ĝin nur almontras, ĉar antaŭ ol tio, ke oni ĝin malfermus...
(c) ... la gvidanto, helpe de siaj scioj pri la kaŝaĵoj, adekvate elektas unu el la du aliaj pordoj, kaj ĝin malfermas, montrante, ke tie troviĝas kapro.
(d) Kaj post tio, la gvidanto donas al la ludanto duan ŝancon por atingi sian premion, lin invitante fari duan kaj definitivan elekton el la pordo-duopo da ankoraŭ fermitaj pordoj (el kiuj, tial, unu estas tiu komence almontrita de la ludanto, kaj el kiuj unu kaŝas la aŭton kaj la alia kaŝas la alian kapron).
(e) Kaj ĉe tio jena demando ŝprucas: Kio estas pli avantaĝa por la ludanto, ĉu resti ĉe la jam elektita pordo, aŭ ŝanĝi kaj preni la alian pordon el tiuj du?

Solvo de la kerna demando

Plej koncize

(a) Mi preferas aŭton, ol kapron.
(b) El tri fojoj laŭ la unua elekto, jen mi averaĝe trafos la pordon kun aŭto en unu fojo, kaj trafos pordon kun kapro en du fojoj.
(c) Sekve, por la dua elekto, en tiu (nekonata) unu fojo konvenus al mi resti ĉe la sama pordo, kaj en tiuj (nekonataj) du fojoj konvenus al mi preni la alian pordon.
(d) Tial, la ĝenerala strategio al mi konvena por la dua elekto estas, ĉiukaze preni la alian pordon (ĉar en tiu unu fojo mi trafos pordon kun kapro, kaj en tiuj du fojoj trafos la pordon kun aŭto).

Ne tiel koncize, sed pli klare

(a) Se la unuan, aleatoran elekton mi ripetos multfoje, jen, averaĝe el tri fojoj, mi trafos la pordon kun aŭto en unu fojo, kaj trafos pordon kun kapro en du fojoj.
(b) Se por la dua elekto mi sisteme restos ĉe la sama pordo, jen mi restos ĉe la rezultoj de (a). Sed se por la dua elekto mi sisteme prenos la alian pordon de la duopoj, jen se mi unue trafis la pordon kun aŭto, nun trafos pordon kun kapro, kaj reciproke; sekve, averaĝe el tri fojoj, nun en unu fojo mi trafos pordon kun kapro, kaj en du fojoj trafos la pordon kun aŭto –ja inverse ol en (a).
(c) Tial, por tiuj preferantaj kapron, la konvena strategio estas, ĉiukaze resti ĉe la sama pordo. Kaj por tiuj preferantaj aŭton, la konvena strategio estas, ĉiukaze preni la alian pordon de la duopoj.

Kompleta studo pri ĉiuj tri alternativoj fakte eblaj en la problemo

(a) De la ĉekomenca pordo-triopo oni konas nur la konsiston (kvankam oni ne scias, kion fakte kaŝas ĉiu pordo), kaj tial el ĝi nur aleatora elekto estas ebla. Nu, ĉe tio, oni faras la bazan supozon, ke se la ludon oni ripetos multfoje, jen ĉiuj pordoj estos elektataj proksimume egale ofte; tial, ĉiu el ili en pli-malpli unu triono de la tuto da fojoj (sekve, la pordo kun aŭto en pli-malpli 1/3 de tiu tuto, kaj pordo kun kapro en pli-malpli 2/3 de tiu tuto). Ankaŭ ke, proksimume kaj averaĝe, el tri fojoj, la pordo kun aŭto estos unufoje elektata, kaj pordo kun kapro dufoje (ja paralele al tio, ke ekzistas unu pordo kun aŭto kaj du pordoj kun kapro). Rimarko.- Tia averaĝa "unufoje aŭto kaj dufoje kapro" ja estus la definitiva rezulto, se la ludo estus nur unufaza, konsistanta nur en tia unua elekto.
(b) Post ĉiu el la diversaj ĉekomencaj eblaj elektoj fare de la ludanto, la gvidanto eliminas difinitan pordon kun kapro, tiel ke respektiva difinita duopo da fermitaj pordoj "aŭto plus kapro" restas. Kaj duafaza, definitiva elekto estu farata el tiaj duopoj.
(c) Pri tiaj pordo-duopoj oni konas ne nur la konsiston, sed ankaŭ, kiu ties pordo estis komence almontrita, kaj de tia kompleksa kono venas, ke por la daŭrigo de la ludo pere de la duopoj jenaj tri malsamaj sistemaj strategioj eblas: Aŭ simple resti ĉe la sama pordo antaŭe almontrita, aŭ rekte preni la alian pordon de la duopoj, aŭ el la duopoj fari duan, aleatoran elekton. Nu, la demando (1.e) temas nur pri la du unuaj el tiuj tri strategioj, sed por kompleteco oni ja studos ankaŭ pri la tria.
(d) Se el la pordo-duopoj oni sisteme restas ĉe la pordo ĉekomence almontrita, jen oni simple senŝanĝe restas ĉe la rezultoj de la unua elekto laŭ (a) (t.e., proksimume kaj averaĝe, el tri fojoj, "unufoje aŭto kaj dufoje kapro"). Rimarko.- En ĉi strategio ne rolas la scio pri la konsisto de la duopoj, sed nur la scio, pri kiu estas la pordo komence almontrita; ĝi, tial, propre eĉ ne estas ia nova, dua elekto, sed nura konfirmo de la unua elekto, do kvazaŭ temus nur pri unufaza ludo.- Per ĝi, el ĉiu pordo-duopo nur unu difinita rezulto estas ebla.
(e) Se el la pordo-duopoj oni sisteme prenas la pordon alian ol tiu komence almontritan, jen se la almontrita estas tiu kun aŭto, nun pordo kun kapro komute iĝas prenita, kaj reciproke.- Tial, oni venas al rezultoj inversaj al tiuj de (a) (t.e., nun, proksimume kaj averaĝe, el tri fojoj, en unu fojo pordo kun kapro, kaj en du fojoj la pordo kun aŭto). Rimarkoj.- [i] En ĉi nova strategio rolas kaj la scio pri la jam elektita pordo kaj tiu pri la konsisto de la duopoj.- Ankaŭ per ĝi el ĉiu duopo nur unu difinita rezulto estas ebla. [ii] Responde nur al (1.e): La strategio (d) estas tiu konvena por preferantoj kapron, kaj la strategio (e) por preferantoj aŭton.
(f) Se el la pordo-duopo oni sisteme faras aleatoran elekton, jen laŭ baza supozo analoga al tiu rolanta en (a), okazos ke, ĉe multfoja ripeto la ludon per ĉiaj duopoj, ni venos al tio ke, proksimume kaj averaĝe, el du fojoj, la pordo kun aŭto estos unufoje elektata, kaj ankaŭ unufoje pordo kun kapro (ja paralele al tio, ke en ĉiu duopo ekzistas la pordo kun aŭto kaj unu pordo kun kapro). Rimarkoj.- [i] En ĉi nova strategio rolas nur la scio pri la konsisto de la duopoj, ĉar en ĝi oni tute preteratentas la scion pri la pordo komence elektita.- Per ĝi, du malsamaj rezultoj estas eblaj el ĉiu duopo (aŭ la pordo komence elektita, aŭ tiu komence ne elektita – kio estas afero fremda al (2.e)). [ii] Kiom koncernas al la finaj rezultoj, jen tia kompleksa ludo per la tria strategio ekvivalentas al tre pli simpla, unufaza ludo, nome: Ke ĉekomence temus nur pri du pordoj, unu kun aŭto kaj unu kun kapro, kaj ke el tiu oni rekte farus unu solan, definitivan aleatoran elekton.
(g) La ĉeloj de la du maldekstraj kolonoj en ĉi tabelo prezentas la nombrajn rezultojn (fojoj (proksimume, averaĝe)) alvenitajn per la diversaj strategioj (supre: Aleatore el la ĉekomenca triopo/Restante ĉe la sama pordo el la duopoj; meze: Aleatore el la duopoj., kaj sube: La alia pordo el la duopoj). Dum la ceteraj kolonoj (dekstre kaj ĉe dua tabelo) prezentas kelkajn simplajn kalkulojn surbaze de tiuj:

Aŭto	Kapro	Entute
1	2	3
1	1	2
2	1	3

Dume en la nova tabelo oni prezentas reĵhojn (= probabloj) denove alvenitajn per la diversaj strategioj (supre: Aleatore el la ĉekomenca triopo/Restante ĉe la sama pordo el la duopoj; meze: Aleatore el la duopoj., kaj sube: La alia pordo el la duopoj).

Aŭto/Entute	Kapro/Entute
1/3 = 2/6	2/3 = 4/6
1/2 = 3/6	1/2 = 3/6
2/3 = 4/6	1/3 = 2/6

El la du maldekstrej kolonoj de la unua tabelo oni rekte konstatas, ke la strategio kies rezulto estas "Unu pordo kun aŭto kontraŭ du pordoj kun kapro" estas malpli favora por premie ricevi la aŭton ol la strategio kun rezulto "Unu pordo kun aŭto kontraŭ unu pordo kun kapro", kaj tiu ĉi malpli favora ol tiu kun rezulto "Du pordoj kun aŭto kontraŭ unu pordo kun kapro". Tia kreskanta favoreco vidiĝas pli klare en la kvara kolono, laŭ kiu, el 6 fojoj, oni proksimume kaj averaĝe ricevos la pordon kun aŭto en respektive 2, 3 kaj 4 fojoj. La strategio "Aleatore el la duopoj" estas malpli favora por ricevi kapron ol "La sama pordo el la duopoj", kaj malpli favora ankaŭ por ricevi aŭton ol "La alia pordo el la duopoj". Ĝi, tial, estas konvena por neniu.

Komplementaj rimarkoj

(a) Multaj el la personoj kiuj unuafoje studas ĉi problemon, preteratentas (aŭ konsideras sena je gravo) la datumon pri la ĉekomence elektita pordo, kaj tial atentas nur la konsiston de la pordo-duopoj, tiele venante al la erara konkludo, ke la elekto el tiuj povas esti nur aleatora. Al tia erara enfokusigo helpas la fakto, ke la rekte aleatora elekto estas pli konata, kaj koncepte pli simpla, ol elektoj dependaj aŭ kondiĉitaj de pli kompleksaj konsideroj. Ja, tamen, tia strategio pri la pordo-duopoj estas perfekte valida, kaj ties averaĝa rezulto "unufoje aŭto kaj unufoje kapro" estas pli avantaĝa por tiuj preferantaj aŭton ol la provizora "unufoje aŭto kaj dufoje kapro" el la pordo-triopo (kaj malpli avantaĝa por tiuj eventuale preferantaj kapron). Sed tio ne estas la sola strategio ebla kaj, krome, ne rilatas al la demando (1.e).
(b) La demando (1.e) "Kio estas pli avantaĝa por la ludanto, ĉu resti ĉe la jam elektita pordo, aŭ ŝanĝi kaj preni la alian pordon el tiuj du?" ne interesiĝas, do, pri la avantaĝoj aŭ malavantaĝoj de la aleatora elektado en la duopoj –afero iel surpriza, speciale por tiuj opiniantaj, ke ĝuste la aleatora strategio estas tiu adekvata, kaj kiuj tial ŝatus ian klarigon pri sia eraro. Fakte, demando adekvata al la problemo estus, simple, "Kiu estas por la ludanto la strategio plej konvena por la elekto el la duopoj?" (tiel ke esplorendus pri ĉiuj eblaj alternativoj). Sed tio ĉi probable estus demando tro faka kaj abstrakta, kaj tial malpli adekvata kaj malpli alloga por la publika amuzprogramo en kies kadro la ludo laŭsupoze malvolviĝas.
(c) Laŭ pluraj paĝoj alilingvaj el Wikipedia, por iuj personoj iĝas paradoksa aŭ kontraŭintuicia la salto de 1/3 al 2/3 en la probablo premie ricevi aŭton laŭ tio, ke oni restas ĉe la jam elektita pordo, aŭ ke oni elektas la alian pordon de la pordo-duopoj. Nu, tiaj kvalifikoj ŝajnas ekscesaj, ĉar tia duobligo de la probablo propre povas eventuale iĝi nur simple surpriza.

Ĉi tiu artikolo ankoraŭ estas ĝermo.

Helpu al Vikipedio plilongigi ĝin. Se jam ekzistas alilingva samtema artikolo pli disvolvita, traduku kaj aldonu el ĝi (menciante la fonton). Bonvolu aldoni parametron por plibone kategoriigi la paĝon.

Eksteraj ligiloj

Problemo de Monty Hall en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)
Kategorio Problemo de Monty Hall en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

En la retejo de HEF En la retejo de Hispana Esperanto Federacio