Preciza supra rando

En matematiko, la preciza supra rando de orda aro S estas la plej malgranda elemento, kiu estas pli granda ol aŭ egala al ĉiu ero de S. Ĝi estas ankaŭ nomata supremo (notacio: sup). La preciza supra rando povas aparteni aŭ ne aparteni al la aro S. Se S enhavas la plej grandan elementon, tiam tiu estas la preciza supra rando; kaj se ne, tiam la preciza supra rando ne apartenas al la aro.

Precizaj supraj randoj estas ofte konsiderataj por subaroj de reelaj nombroj, racionalaj nombroj, aŭ iuj aliaj konataj matematikaj strukturoj por kiu estas klara kio ĉu iu ero estas "pli granda ol aŭ egala" al alia ero. Sed la difino povas esti ĝeneraligita facile al la pli abstrakta opcio de orda teorio kie oni konsideras ajnan parte ordajn arojn.

Ĉiukaze, precizaj supraj randoj devas ne esti konfuzitaj kun minimumaj superaj baroj, aŭ kun maksimuma aŭ plej granda eroj.

Preciza supra rando de aro de reelaj nombroj

En analitiko la preciza supra rando aŭ supremo de aro S de reelaj nombroj estas signifita per sup(S) kaj estas difinita kiel la plej malgranda reela nombra kiu estas pli granda ol aŭ egala al ĉiu nombro en S. Grava propraĵo de la reelaj nombroj estas ĝia kompleteco: ĉiu nemalplena subaro de reelaj nombraj kiu estas barita desupre havas precizan supran randon. Se, aldone, oni difinas sup(S) = −∞ kiam S estas malplena kaj sup(S) = ∞ kiam S estas ne barita desupre, do ĉiu subaro de reelaj nombroj havas precizan supran randon (vidu artikolon etendita reela nombra linio).

Ekzemploj:

$\sup\{1,2,3\}=3$

$\sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1$

$\sup\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}={\sqrt {2}}$

$\sup \left\{(-1)^{n}-{\frac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1$

$\sup \mathbb {Z} =\infty$

$\sup\{a b:a\in A{\mbox{ and }}b\in B\}=\sup(A) \sup(B)$

La preciza supra rando de S povas aparteni aŭ ne aparteni al S. Aparte, en la tria ekzemplo la preciza supra rando de aro de racionalaj nombroj estas malracionala (kio signifas ke la racionaloj estas ne kompleta metrika spaco). Tamen, se la preciza supra randa valoro apartenas al la aro tiam ĝi estas la plej granda ero en la aro. La termino maksimuma ero estas ankaŭ sinonima se temas pri reelaj nombroj aŭ iu alia tute orda aro.

Vidu ankaŭ

• Preciza malsupra rando
• Maksimumo kaj minimumo