Angulo

Angulo estas figuro formata de du strekoj etendantaj el punkto, la vertico de la angulo. Anguloj estas studataj en geometrio kaj trigonometrio.

Mezuri angulojn

Por mezuri angulon, cirklo kun centro ĉe la vertico estu desegnita. La radiana mezuro de la angulo estas la longeco de la arko eltranĉita de la cirklo dividite per la longeco de la radiuso de la cirklo. La grada mezuro de la angulo estas la longeco de la arko dividite per la longeco de la cirkonferenco de la cirklo, kaj multiplikite per 360. La simbolo por gradoj estas superskribita cirkleto, kiel en 360°.

2π radianoj egalas al 360° (plena cirko), do unu radiano estas ĉirkaŭ 57° kaj unu grado estas π/180 radianoj.

Matematikistoj ĝenerale preferas la radianan mezuron, ĉar ĝi forigas la arbitreco de la nombro 360 de la grada sistemo kaj ĉar la trigonometriaj funkcioj havas pli simplajn tajlorajn seriojn se oni uzas la radianan sistemon. La SI-sistemo de unuoj uzas radianojn kiel (derivita) unuo de anguloj.

Radiano

La radiano (simbolo: rad) estas la angula mezurunuo en la Internacia sistemo de unuoj. Ĝi estas uzata ĉefe en trigonometrio kaj infinitezima kalkulo. Angulo inter du radiusoj de cirklo, arkolongo inter kiuj egalas al la radiuso, estas la ebena angulo.

En cirklo $l$ estas arkolongo, $r$ estas radiusolongo, $\alpha$ estas la larĝo de la angulo strekata de la arko, kaj $c$ estas cirklolongo:

$\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}$

$l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }$

Oni povas konverti gradojn al radianoj per ĉi tiu formulo:

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {\pi }{180^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}

Grado

La grado estas angula mezurunuo kiu egalas al π / 180 radianoj, al naŭdekono de orto, aŭ al 10/9 gradusoj. La simbolo de grado estas °. Grado estas pli oportuna mezurunuo de angulo ol radiano, ĉar ĝi ebligas skribi multajn kutimajn angulojn (ekzemple orton) per entjera kvanto de gradoj. Por pli ĝusta mezuro de anguloj oni uzas aŭ dekumajn frakciojn de grado aŭ minutojn kaj sekundojn.

Angula minuto estas 1/60 de grado. Angula sekundo estas 1/60 de angula minuto, do 1/3600 de grado. La simbolo de angula minuto estas ' kaj la simbolo de angula sekundo estas ".

Ekzemplo: 34,863° ~= 34°51'47"

Ambaŭ notaciojn oni uzas por indiki la angulojn de geografiaj longitudo kaj latitudo, kiuj preskaŭ neniam estas indikataj per ne-gradaj unuoj.

Graduso

La indikilon de horloĝo kunformas diversajn tipojn de anguloj. En tiu okazo, akuta angulo.

La graduso (mallongigo: gr) ankaŭ nomita gono (simbolo: gon, el la greka gônia = "angulo") estas angula mezurunuo egala al π / 200 radianoj, al centono de orto, aŭ al 0,90 gradoj. La graduso estas la konsekvenco el la invento de la metro, ĉar la metro estas la 40.000.000-ono de la ter-ĉirkaŭo, kiam oni onigas tiun ĉirkaŭon per 400 gr, 1 km egalas al 1/100 da graduso. Pro tio, oni malbone komprenas ke oni ankoraŭ uzas la gradon en la aviadila kaj marveturada medioj kie la mezurunuoj estas la marmejlo (= 1 852 metroj) kaj la deksesonaj unuoj.

Nomo en Esperanto

Laŭ iuj, "graduso" en Esperanto ne nur estas mezurunuo por anguloj, sed ankaŭ por temperaturo, intenseco de tertremoj, vento-intenseco, kaj tiel plu. Laŭ la Plena Ilustrita Vortaro kaj PIV2, tamen, graduso estas nur mezurunuo por anguloj, egala al centono de orto. Ĉar orto egalas al 90 gradoj, unu graduso egalas al 0,9 gradoj.

En la rusa grado nomiĝas "градус" [gradus], kaj graduso nomiĝas "град" [grad].

Anguliloj

Angulilo estas instrumento por mezuri, difini, transporti aŭ streki angulon. Konsistas el cirkla aŭ duoncirkla disko kun angula skalo. La disko povas esti farita el plasto aŭ lado. Kutime la diametro estas inter 8 cm kaj 15 cm kun divido de 1° (grado) aŭ 0,5°. Por topografia mezurado ofte estas uzata skalo je gradusoj. Ofte anguliloj estas integritaj en trianguloj por desegnado. En metioj, kie plejofte ne necesas perfekta precizeco, por transporti kaj streki angulojn estas uzata alĝustebla angulilo.

Anguliloj
Angulilo por 360°
Geotriangulo kun angulilo
Angulilo kun liniilo por lerneja uzo
Medicina angulilo
Elektronika angulilo
Alĝustebla angulilo

Specoj de anguloj

Angulo de π/2 radianoj aŭ 90° (kvarono de plena cirklo) nomiĝas orta angulo. Anguloj pli malgrandaj ol orta angulo nomiĝas akuta angulo. Angulo pli granda ol orta angulo nomiĝas malakuta aŭ obtuza angulo.

Angulo de π radianoj aŭ 180° (duono de plena cirklo) nomiĝas streĉita angulo. Angulo malpli granda ol streĉita angulo nomiĝas konveksa angulo. Angulo pli granda ol streĉita angulo nomiĝas malkonveksa aŭ konkava angulo.

Suplementaj anguloj α kaj β : α β=π	Suplementaj anguloj α kaj β : α β=π	Komplementaj anguloj α kaj β : α β=π/2	Vertikalaj anguloj α kaj β : α=β

Du anguloj estas nomataj komplementaj anguloj kiam ilia sumo egalas la ortan angulon, t.e. π/2 radianoj (aŭ 90°). Konsekvence, du komplementaj apudaj anguloj formas ortan angulon. Du komplementaj anguloj ne necese estas apudaj. Ekzemple en orta triangulo, la du anguloj apudaj al la hipotenuzo estas komplementaj, ĉar la sumo de ĉiuj anguloj de la triangulo estas π radianoj kaj la tria angulo egalas π/2 radianojn.

En cirklo, centra angulo estas angulo kies apekso (vertico) estas en la centro de la cirklo kaj kies du flankoj estas du radiusoj de cirklo. La grando de la angulo en radianoj egalas al la longo de la arko, kiun ĉi tiu angulo intersekcas de cirklo kies radiuso egalas 1. La grando de la centra angulo Θ estas 0° < Θ < 360 ° (notita en gradoj) aŭ 0 < Θ < 2π radianoj.

Galerio de anguloj


$0^{\circ }\,$	$15^{\circ }\,$	$30^{\circ }\,$	$45^{\circ }\,$	$60^{\circ }\,$	$75^{\circ }\,$

$90^{\circ }\,$	$105^{\circ }\,$	$120^{\circ }\,$	$135^{\circ }\,$	$150^{\circ }\,$	$165^{\circ }\,$

$180^{\circ }\,$	$195^{\circ }\,$	$210^{\circ }\,$	$225^{\circ }\,$	$240^{\circ }\,$	$255^{\circ }\,$

$270^{\circ }\,$	$285^{\circ }\,$	$300^{\circ }\,$	$315^{\circ }\,$	$330^{\circ }\,$	$345^{\circ }\,$

$360^{\circ }\,$

Pozitivaj kaj negativaj anguloj

En du-dimensia kartezia koordinata sistemo] angulo estas tipe difinita per ĝiaj du lateroj, kun ĝia vertico ĉe la origino. La komenca latero estas sur la pozitiva x-akso, dum la alia latero estas difinita per la mezuro de la komenca flanko en radianoj, gradoj aŭ turnoj. Kun pozitivaj anguloj reprezentantaj turnoj al la pozitiva y-akso kaj negativaj anguloj reprezentantaj turnoj al la negativa y-akso. Kiam karteziaj koordinatoj estas reprezentitaj per norma pozicio, difinitaj per la x-akso dekstre kaj la y-akso supren, pozitivaj rotacioj estas kontraŭhorloĝodirekte kaj negativaj rotacioj estas horloĝodirekte.

Konstruado de anguloj

Iuj anguloj estas konstrueblaj per rektilo kaj cirkelo. Tiuj estas la 90-grada, 60-grada, 72-grada kaj 54-grada kaj ĉiuj anguloj estigeblaj per duobligado, duonigado, adicio, aŭ subtraho de ili.

Por la anguloj $0^{\circ }<\alpha \leq 180^{\circ }$ , proksimiĝa konstruo estas farebla per helpo de la Tria Teoremo de Tranĉataj Paralelaĵoj kombinata kun nombraj aksoj.

Konstruo de 90-grada angulo (orto)

Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Orto.

La konstruo de 90-grada angulo rezultigas la rekton tra donita punkto P ortan al donita rekto $r$ .

Desegnu cirklon ĉirkaŭ $P$ kun radiuso pli granda ol la proksimo de la punkto al la rekto. (Se la punkto $P$ estas sur la rekto $r$ , la radiuso de la cirklo povas esti arbitra). Ĝi sekcas $r$ ĉe du punktoj.
Desegnu ĉirkaŭ ambaŭ sekcoj cirklon tiel, ke la du cirkloj sekcas unu la alian ĉe du punktoj.
Desegnu rekton tra la du sekcopunktoj de la novaj cirkloj. Tiu rekto sekcas $r$ orte kaj trairas $P$ .

Ĉiutaga kaj figura senco

Angulo estas nefermita spaco limigita de du aŭ kelkaj sin reciproke renkontantaj surfacoj; ekzemple "La veturilo turnis angulen." En figura senco angulo estas malvasta, malofte vizitata aŭ rigardata loko. Angulo ankaŭ povas esti nedifinita loko ("la kvar anguloj de la tero").

Vidu ankaŭ

Notoj

Bibliografio

Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, eld. (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espasa. ISBN 84-239-7921-0.
[1] descartes.cnice.mec.es. Konsultita la 27an de Novembro 2017.
Gilles Cohen (dir.), Les angles sous tous les angles, Bibliothèque Tangente , Numéro 53, Editions Pôle Paris, 2015, (rete) [2].
David A. Wallis, «History of Angle Measurement», en Proceedings, FIG Workshop Week 2005 & 8th International Conference on the Global Spatial Data Infrastructure, Kairo, aprilo 2005 [3] Konsultita la 27an de Novembro 2017.