Grupa alĝebro

En matematiko, la grupa alĝebro estas ĉiu el diversaj konstruoj por asigni al grupo (loke kompakta topologia grupo, aŭ grupo sen topologio, kio estas diskreta grupo) ringon aŭ alĝebron, tiel ke la grupa multipliko igas la multiplikon en la ringo aŭ alĝebro. Tiel ili estas similaj al la grupa ringo asociita al diskreta grupo.

Grupa alĝebro de finia grupo

Estu donita finia grupo G, difinu la grupan alĝebron Cg kiel la vektoran spacon super la kompleksaj nombroj, kun bazvektoroj $\{e_{g}\}$ korespondantaj al eroj $g\in G$. La alĝebra strukturo sur ĉi tiu vektora spaco estas difinita kiel

$e_{g}\cdot e_{h}=e_{gh}$.

Prezento de la alĝebro Cg sur vektora spaco V estas la alĝebra homomorfio

$\mathbb {C} G\rightarrow {\mbox{End}}(V)$.

Tiel, prezento estas maldekstra Cg-modulo. Ĉiu grupa prezento $\rho :G\rightarrow {\mbox{Aut}}(V)$ tiam etendas al alĝebra prezento ${\overline {\rho }}:\mathbb {C} G\rightarrow {\mbox{End}}(V)$. Tial, prezentoj de la grupo korespondas akurate al prezentoj de la alĝebro, kaj do, en certa senco, konsidero de la unua estas samtiel konsidero de la alia.