Fibonaĉi-nombro

La fibonaĉi-nombroj sur fumtubo en Unna, Germanio

La nombroj de Fibonacci aŭ fibonaĉi-nombroj, estas elementoj de entjerosinsekvo

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (A000045 en OEIS),

en kiu la du unuaj elementoq estas aŭ 1 kaj 1, aŭ 0 kaj 1. Ili estis nomitaj honore de la itala matematikisto Leonardo Pisano, konata kiel Fibonaĉi. Pli formale tiun ĉi sinsekvon $\left\{F_{n}\right\}$ oni difinas per rikura formulo:

$F_{0}=0,\qquad F_{1}=1,\qquad F_{n}=F_{n-1} F_{n-2},\quad n\geqslant 2,\quad n\in \mathbb {Z} .$

aŭ

$F_{n}:=F(n):={\begin{cases}0&{\mbox{se }}n=0;\\1&{\mbox{se }}n=1;\\F(n-1) F(n-2)&{\mbox{se }}n>1.\\\end{cases}}$

Oni povas ĝeneraligi fibonaĉi-nombroj por negativaj $n$. Por trovi elementojn ĉe negativaj $n$ oni uzu la renversitan formulon $F_{n}=F_{n 2}-F_{n 1}$:

n	…	−10	−9	−8	−7	−6	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…
$F_{n}$	…	−55	34	−21	13	−8	5	−3	2	−1	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	…

Oni povas facile rimarki ke $F_{-n}=(-1)^{n 1}F_{n}$.

La kvanto da kuniklaj paroj formas la sinsekvon de Fibonaĉi

Historio

La sinsekvo estis konata ĉe barataj matematikistoj multe pli antaŭe ol la tempo de Fibonaĉi.

Ekster Barato la sinsekvo aperis en la libro Liber Abaci (1202) fare de Fibonaĉi. Li esploris la kreskadon de ideala (biologie neebla) populacio de kunikloj. En ĉiu paro de tiuj kunikloj ino ekde la dua monato de sia vivo naskas unu plian paron ĉiumonate kaj kunikloj neniam mortas. Do se komence estas unu paro ĵus naskitaj kunikloj, post monato estas ankaŭ unu paro, post du monatoj estas 2 paroj (la unua paro komencas naski), post tri monatoj — 3 paroj, post kvar monatoj — 5 paroj (naskas du paroj) k.t.p. Post n-a monato la kvanto da paroj egalas sumon de la kvanto post (n-1)-a monato (tiuj paroj jam estis kaj restis plu) kaj la kvanto post (n-2)-a monato (tiom da paroj estis naskitaj ĉi-monate).

La nomon “fibonaĉi-nombroj” unuafoje uzis en 19-a jarcento la franca matematikisto Édouard Lucas.

Rekta (ne rikura) formulo

Ekzistas formulo por kalkuli nur la n-an Fibonaĉi-nombron ne kalkulante ĉiujn antaŭajn. Oni konas ĝin kiel la formulo de Binet, kvankam ĝin pli frue konas Abraham de Moivre:

$f(n)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left[\left({\frac {1 {\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right].$

Ligo kun la triangulo de Pascal

La fibonaĉi-nombroj estas la sumoj de elementoj laŭ la ruĝaj strekoj en la triangulo de Pascal

La fibonaĉi-nombroj aperas en la triangulo de Pascal kiel sumoj de ĝiaj elementoj laŭ strekoj, indikitaj sur la bildo dekstre. La sumojn oni povas esprimi tiel:

$F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\tbinom {n-k-1}{k}}$

Ligo kun la Ora proporcio

Laŭ la formulo de Binet:

$F_{n}={\frac {\left({\frac {1 {\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}}{\sqrt {5}}}$

${\frac {1 {\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.6180339887\dots$ (A001622 en OEIS)

${\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi =-{1 \over \varphi }=(-\varphi )^{-1}\approx -0.6180339887\cdots$;

$\varphi$ estas la ora proporcio; $\varphi$ kaj $(-\varphi )^{-1}$ estas solvoj de la kvadrata ekvacio $x^{2}-x-1=0$.

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\varphi -(-\varphi )^{-1}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}$

Rondiga kalkulado

Ĉar $\left|{\frac {(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}$ por ĉiu $n>0$, do ${\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}$ estas la plej proksima entjero por $F_{n}$:

$F_{n}=\left[{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right],\ n\geq 0,$

aŭ, uzante la plankan funkcion:

$F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}} {\frac {1}{2}}\right\rfloor ,\ n\geq 0.$

Sciante, ke $F$ estas fibonaĉi-nombro oni povas trovi ĝian numeron:

$n(F)={\bigg \lfloor }\log _{\varphi }\left(F\cdot {\sqrt {5}} {\frac {1}{2}}\right){\bigg \rfloor }$

La spiralo de Fibonaĉi proksimumas al la ora spiralo

Limeso de kvociento de fibonaĉi-nombroj

Johano Keplero trovis, ke ekzistas limeso de kvociento de $(n 1)$-a fibonaĉi-nombro per la $n$-a, kaj tiu limeso estas $\varphi$.

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n 1}}{F_{n}}}=\varphi$

Eblas ĝeneraligi tiun ĉi formulon:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n \alpha }}{F_{n}}}=\varphi ^{\alpha }$

Potencoj de la ora proporcio

Estas vera la sekva egalaĵo:

$\varphi ^{2}=\varphi 1,$

Uzante ĝin kiel la bazon por indukto oni povas pruvi, ke

$\varphi ^{n}=F_{n}\varphi F_{n-1}.$

Vidu la sekvantan demonstron por n ≥ 1:

$\varphi ^{n 1}=(F_{n}\varphi F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2} F_{n-1}\varphi =F_{n}(\varphi 1) F_{n-1}\varphi =(F_{n} F_{n-1})\varphi F_{n}=F_{n 1}\varphi F_{n}.$

Identaĵoj

1). $\sum _{k=1}^{n}F_{k}=F_{n 2}-1$.

Pruvo

Ni pruvu laŭ indukto:

La bazo de la indukto

$\sum _{k=1}^{1}F_{k}=F_{1}=1=2-1=F_{1 2}-1$.

La paso de la indukto

Se estas vere ke:

$\sum _{k=1}^{n-1}F_{k}=F_{n 1}-1$,

Do

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}=\sum _{k=1}^{n-1}F_{k} F_{n}=F_{n 1}-1 F_{n}=F_{n 2}-1$.

 

Same per indukto oni povas facile pruvi la tri sekvajn identaĵojn:

2). $\sum _{k=1}^{n}F_{2k-1}=F_{2n}$;

Ilustraĵo de la formulo 4

3). $\sum _{k=1}^{n}F_{2k}=F_{2n 1}-1$;

4). $\sum _{k=1}^{n}F_{k}^{2}=F_{n 1}F_{n}$.

La lastan identaĵon oni povas ilustri, tranĉante la ortangulon kun lateroj je $F_{n}$ kaj $F_{n 1}$ en kvadratojn kun lateroj je $F_{n},F_{n 1},\cdots ,F_{1}$ (vidu la bildon dekstre).

La identaĵoj de Cassini kaj de Catalan

La identaĵo de Cassini deklaras ke:

5.) $F_{n}^{2}-F_{n 1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}$

Ĝia ĝeneraligo estas identaĵo de Catalan:

6.) $F_{n}^{2}-F_{n r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}$

Aliaj

7). $F_{m}F_{n 1}-F_{m 1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}$

8). $F_{2n}=F_{n 1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n 1} F_{n-1}\right)$

9). $F_{3n 1}=F_{n 1}^{3} 3F_{n 1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}$

10). $F_{3n 2}=F_{n 1}^{3} 3F_{n 1}^{2}F_{n} F_{n}^{3}$

11). $F_{4n}=4F_{n}F_{n 1}\left(F_{n 1}^{2} 2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2} 2F_{n 1}^{2}\right)$

Pli ĝenerala:

12). $F_{kn c}=\sum _{i=0}^{k}{k \choose i}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n 1}^{k-i}.$

---

13). ${\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n 1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}$

Se oni kalkulos la determinantojn do oni ricevos la identaĵon de Cassini.

---

14).$F_{n 1}={\frac {F_{n} {\sqrt {5F_{n}^{2} 4(-1)^{n}}}}{2}}$

Ĝeneraligoj

Ekzistas multaj ĝeneraligoj de fibonaĉi-nombroj:

• Por negativaj $n$ — “negafibonaĉi”.
• Ĝeneraligoj por reeloj kaj kompleksaj nombroj. Por tio oni uzas oran proporcion kaj kaj modifitan formulo de Binet.
• Starto de aliaj entjeroj. Ekzemple, la nombroj de Lucas (A000032 en OEIS): $L_{0}=2,$ $L_{1}=1,$ $L_{n}=L_{n-1} L_{n-2}$.
• La sekvantan nombron oni kalkulas el du antaŭaj per iu lineara formulo. Ekzemple, nombroj de Pell (A000129 en OEIS): $P_{0}=0,$ $P_{1}=1,$ $P_{n}=2P_{n-1} P_{n-2}$.
• Por kalkuli la sekvantan nombron oni adicias nombrojn ne tuj antaŭajn. Ekzemple, la sinsekvo de Padovan (A000931 en OEIS): $P(0)=P(1)=P(2)=1,$ $P(n)=P(n-2) P(n-3)$.
• Por kalkuli la sekvantan nombron oni adicias la 3 antaŭajn nombrojn (tribonaĉi-nombroj: A000073 en OEIS), la 4 antaŭajn nombrojn k.t.p.
• Oni konsideras sinsekvon de iuj objektoj (ne entjeroj), kiu formiĝas per reguloj similaj al fobonaĉaj. Ekzemple, fibonaĉi-polinomoj:

$F_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=1;\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{se }}n=2;\\x\cdot F_{n-1}(x) F_{n-2}(x),&{\mbox{se }}n\geq 3.\end{matrix}}\right.$

Vidu ankaŭ

• Teoremo de Carmichael pri primaj faktoroj.
• Fibonaĉi-poemo
• Fibonaĉi-polinomoj
• Logaritma spiralo
• Penrosa kahelaro
• Sistemo L

Eksteraj ligiloj

• Listo de 300 unuaj fibonaĉi-nombroj (angle).