Fermita aro

En topologio, fermita aro estas speco de aro.

En topologia spaco, aro estas fermita se kaj nur se ĝi koincidas kun sia fermaĵo. Ekvivalente, aro estas fermita se kaj nur se ĝi enhavas ĉiujn siajn limigajn punktojn.

Komplemento de fermita aro estas malfermita aro.

Ĉi tiu estas ne al esti konfuzita kun fermita dukto.

Ecoj

Fermita aro enhavas sian randon. En aliaj vortoj, se esti sur la rando kie iri eksteren iel ajn proksime oni okazos ekster la aro. Notu, ke ĉi tiu estas vera ankaŭ se la rando estas la malplena aro, ekzemple en la metrika spaco de racionalaj nombroj, por la aro de nombroj kies la kvadrato estas malpli ol granda ol 2.

Ĉiu komunaĵo de ajne multaj fermitaj aroj estas fermita kaj ĉiu kunaĵo de finia kvanto de fermitaj aroj estas fermita.
La malplena aro kaj la tuta spaco estas fermitaj.
La komunaĵa propraĵo ankaŭ permesas difini la fermaĵon de aro A en spaco X, kiu estas difinita kiel la plej malgranda fermita subaro de X kiu estas superaro de A. Aparte, la fermaĵo de A povas esti konstruita kiel la komunaĵo de ĉiuj fermitaj superaroj.
Aro povas estas nek fermita nek malfermita.
Aro povas esti fermita kaj malfermita, ĉi tia aro estas nomata kiel fermita-malfermita aro.

Aro kiu povas esti konstruita kiel kunaĵo de kalkuleble multaj fermita aroj estas F-sigma aro (F_σ). Ĉi tia aro ne nepre estas fermita.

Ekzemploj

La segmento [a,b] de reela linio estas fermita.
La unua intervalo [0,1] estas fermita en la metrika spaco de reelaj nombroj, kaj la aro [0,1] ∩ Q de racionalaj nombroj inter 0 kaj 1 (inkluzive) estas fermita en la spaco de racionalaj nombroj, sed [0,1] ∩ Q ne estas fermita en la spaco de reelaj nombroj.
La duono-malfermita intervalo [0,1) de la reelaj nombroj estas nek fermita nek malfermita.

Vidu ankaŭ