Diskreta spaco

En topologio, diskreta spaco estas topologia spaco, kiu estas speciale triviala — kies ĉiu subaro estas kaj malfermita aro kaj fermita aro, ĉiu funkcio sur kiu estas kontinua bildigo. Iasence, la punktoj en diskreta spaco estas "disaj" aŭ "izolitaj".

Difino

Sur aro $X$, la diskreta topologio estas la unika topologio, kiu plenumas la jenajn (ekvivalentajn) kondiĉojn:

• ĉiu subaro estas malfermita aro.
• ĉiu subaro estas fermita aro.
• pri ĉiu elemento $x\in X$, la aro $\{x\}$ estas malfermita.
• ĉiu bildigo $X\to Y$ al ajna topologia spaco $Y$ estas kontinua bildigo.

Diskreta topologia spaco estas topologia spaco, kies topologio estas diskreta.

La diskreta spaco estas ankaŭ triviale metrika spaco kaj eĉ glata sternaĵo. Sur la aro $X$, difinu

$d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&x\neq y.\end{cases}}$

Do, la ĉi-supra metriko difinas la diskretan topologion. La konstanto 1 estas arbitra; ajna pozitiva reelo estus same taŭga.

Sur la aro $X$, uzante la malfermitan kovraĵon de unuelementaj subaroj

${\mathcal {U}}=\{\{x\}\colon x\in X\}$,

difinu la trivialan atlason

$\phi _{x}\colon \{x\}\to \mathbb {R} ^{0}$

$\phi _{x}\colon x\mapsto 0$.

Do, la ĉi-supra atlaso igas la spacon $X$ 0-dimensia glata sternaĵo.

Propraĵoj

La diskreta topologia spaco plenumas ĉiujn apartigajn aksiomojn; specife, ĉiu diskreta spaco estas Hausdorff-a spaco.

Diskreta spaco estas kompakta spaco se kaj nur se ĝi estas finia aro.

Bildigo

$f\colon Y\to X$,

kies cela aro $X$ estas diskreta, estas kontinua se kaj nur se ĝi estas loke konstanta funkcio — t.e. ĉiu punkto $y\in X$ havas ĉirkaŭaĵon, sur kiu $f$ estas konstanta bildigo.

Ĉiu 0-dimensia glata sternaĵo estas diskreta topologia spaco.

Uzoj

La diskreta topologio estas ofte uzata kiel la "implicita strukturo" sur aro, kiu ne portas iun ajn alian naturan topologion aŭ metrikon. Ekzemple, ĉiu grupo estas triviale topologia grupo, se oni donas al ĝi la diskretan topologion.

Malgraŭ ke diskretaj spacoj estas ne tre interesa per si mem, oni povas konstrui interesajn spacojn el ili. Ekzemple, produto de kalkuleble malfiniaj kopioj de la diskreta spaco de la entjeroj estas homeomorfa al la spaco de neracionalaj nombroj; la homeomorfio estas la ĉena frakcio. Simile, la produto de kalkuleble malfiniaj kopioj de la duelementa diskreta spaco {0,1} estas homeomorfa al la aro de Cantor.

Vidu ankaŭ

• Maldiskreta spaco. La mala nocio de la diskreta topologio estas la maldiskreta topologio, kiu havas la plej malgrandan kvanton de malfermitaj aroj.