Diofanta ekvacio

Diofanta ekvacio estas matematika ekvacio pri unu aŭ pluraj nekonatoj, kun entjeraj koeficientoj, pri kiu oni serĉas entjerajn solvojn. La adjektivo "diofanta" rilatas al Diofanto de Aleksandrio, greka matematikisto de la 3-a jarcento, kiu studis tiutipajn ekvaciojn kaj estis inter la unuaj matematikistoj, kiuj enkondukis simbolan notacion en algebron.

En lineara diofanta ekvacio la nekonatoj aperas nur en la unua potenco.

La studado de diofantaj ekvacioj, foje nomata diofanta analitiko, okupiĝas pri jenaj temoj:

• Ĉu ekzistas solvoj (de iu certa ekvacio)?
• Ĉu ekzistas pliaj solvoj krom la facile troveblaj?
• Ĉu ekzistas nefinie da solvoj?
• Ĉu teorie eblas listigi ĉiujn solvojn?
• Ĉu praktike eblas rekte kalkuli ĉiujn solvojn?

Tiutipaj problemoj dum jarcentoj estis nesolvitaj, kaj la matematiko pli kaj pli komprenis ilian (partan) profundecon, ne plu traktante ilin kiel banalajn enigmojn. En 1637 En 1900 Pierre De Fermat en la granda teoremo de Fermat asertis, ke la ekvacio aⁿ bⁿ = cⁿ estas entjere solvebla nur por n=2 (pitagora triopo). David HILBERT prezentis la solveblecon de diofantaj ekvacioj kiel sian 10-an problemon (el listo de 23). En 1970 estis trovita teoremo, nomata de Matijaseviĉ, kiu montris, ke ne eblas esperi je kompleta teorio, kiu solvas tiun problemon.

Ekzemploj de diofantaj ekvacioj estas:

• $a^{n} b^{n}=c^{n}$: Starigita jam de Diofanto; kiel menciite, Fermat asertis, ke ĝi estas entjere solvebla nur por n=2. Tiam ekzistas senfine da solvoj, la pitagoraj triopoj. Nur en 1995 ĝi estis pruvita de Andrew Wiles kaj Richard TAYLOR.
• $x^{2}-ny^{2}=1$: nomata kiel ekvacio de Pell.
• $ax by=c$: lineara diofanta ekvacio (Idento de Bézout); solvoj ekzistas kutime $c$ divizas plej granda komuna divizoro de $a$ kaj $b$.
• $x^{y}=y^{x}$: kutime $x\neq y$ ekzistas 2 solvoj: $(2,4)$ kaj $(4,2)$