Konjekto pri ĝemelaj primoj

La konjekto pri ĝemelaj primoj estas fama problemo en nombroteorio kiu engaĝas primojn. Ĝi estis unue proponita de Eŭklido ĉirkaŭ jaro -300 kaj ĝia senco estas:

Estas malfinie multaj primoj p tiaj ke ankaŭ p 2 estas primo.

Tia paro de primoj estas nomata ĝemelaj primoj. La konjekto estas esplorata de multaj teoriistoj. Matematikistoj kredas ke la konjekto estas vera, bazante nur sur cifereca indikaĵo kaj heŭristiko engaĝante la probablecan distribuon de primoj.

En 1849 De Polignac faris la pli ĝeneralan konjekton, ke por ĉiu natura nombro k, estas malfinie multaj primaj paroj p kaj p′ tiaj ke p - p′ = 2k. La okazo de k = 1 estas la ĝemela prima konjekto.

Partaj rezultoj

En 1915, Viggo Brun montris ke sumo de inversoj de la ĝemelaj primoj konverĝas. Ĉi tiu fama rezulto estis la unua uzo de la kribrilo de Brun kaj helpis eki evoluon de moderna kribrila teorio. La moderna versio de argumento de Brun montras ke la kvanto de ĝemelaj primoj malpli ol N ne superas valoron

${\frac {CN}{\log ^{2}{N}}}$

por iu absoluta konstanto C > 0.

En 1940, Paŭlo Erdős montris ke estas konstanto c < 1 kaj malfinie multaj primoj p tiaj ke p′ - p < c ln p kie p′ estas la venonta primo post p. Ĉi tiu rezulto estis sukcese plibonigita; en 1986 Helmut Maier montris ke konstanto c < 0.25 povas esti uzata. En 2004 Daniel Goldston kaj Cem Yıldırım montris ke la konstanto povis esti plibonigita plui al c = 0.085786… En 2005, Goldston, Pintz kaj Yıldırım montris ke c povas elektiĝi arbitre malgranda [1], [2]; fakte, se oni alprenas la konjekton de Elliott-Halberstam, ili montris ke estas malfinie multaj n tiaj ke almenaŭ du el n, n 2, n 6, n 8, n 12, n 18, n 20 estas primoj.

En 1966, Chen Jingrun montris ke estas malfinie multaj primoj p tiaj ke p 2 estas primo aŭ duonprimo (produto de du primoj). La maniero de li uzata estas kribrila teorio, kaj li traktis la ĝemelan priman konjekton kaj konjekton de Goldbach en simila manieroj. Primo p tia ke p 2 estas primo aŭ duonprimo estas Primo de Chen.

Konjekto de Hardy-Littlewood

Estas ankaŭ ĝeneraligo de la ĝemela prima konjekto, sciata kiel la konjekto de Hardy-Littlewood (post Godfrey Harold Hardy kaj John Littlewood), kiu koncernas la distribuon de ĝemelaj primoj, en analogio al la prima teoremo. Signifu π₂(x) la kvanton de primoj p≤x tiaj ke ankaŭ p 2 estas primo. Estu la ĝemela prima konstanto C₂:

$C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.66016118158468695739278121100145\dots$

(ĉi tie la produto etendas tra ĉiuj primoj p≥3). Tiam la konjekto estas ke:

$\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}$

en la senco ke la kvociento de la du esprimoj strebas al 1 kiam x proksimiĝas al malfinio.

Ĉi tiu konjekto povas esti pravigita (sed ne pruvita) per alpreno ke

${\frac {1}{\ln {t}}}$

priskribas la densecan funkcion de la prima distribuo, supozo sugestita de la prima teoremo.

Vidu ankaŭ

• Teoremo de Brun
• Konstanto de Brun
• Lasta teoremo de Fermat
• Dua konjekto de Hardy-Littlewood
• Ĝemela primo