Probablo

La termino probablo referencas al nombro, kiu estas proksima al la relativa ofto de difinita okazaĵo en longa serio de ripetoj de pli ĝenerala okazaĵo kaj al nombro, kiu iusence esprimas la gradon de kredindeco de aserto.^[1] Sinonimoj de la komunuza vorto "probabla" estas kredebla, supozebla, verŝajna. Probabla estas io, kio tre verŝajne estas vera, ekzistas, okazos ktp.

Precize kiel la klasika mekaniko asignas precizan difinon al ĉiutagaj terminoj kiel laboro kaj forto, la probablo-teorio provas kvantigi la nocion de verŝajneco.

Etimologio

La vorto probablo derivas precize de la latina probabilitas, kiu povas signifi ankaŭ "honestecon", nome mezuro de la aŭtoritato atestanto en jura proceso aŭ juĝo en Eŭropo, kaj iam ofte rilata al la nobela deveno de la menciita atestanto. Iasence, tio diferencas multe disde la nuntempa signifo de probablo, kiu male estas mezuro de la pezo de la empiria pruvaro, kaj oni alvenas al ĝi el la indukta logiko kaj el la statistika inferenco.^[2]

La vorto probablo derivas larĝasence de la Latina probare (pruvi, provi). Neformale, verŝajna estas unu el kelkaj vortoj aplikita al malcerta evento aŭ scio, estante proksime rilatanta en signifo al verŝajna, riska, danĝera, kaj duba. Ŝanco kaj veto estas aliaj vortoj esprimantaj similajn nociojn.

Historiaj rimarkoj

La scienca studo de probablo estas moderna evoluo. Vethazardludo montras, ke tie estas intereso kvantigi la ideon de probablo de jam jarmiloj, sed akurata matematika priskribo taŭga en tiuj problemoj aperis nur multe pli poste.

Girolamo Cardano, unu el la plej fruaj probablistoj.

La unuaj elementaj konsideroj pri probablo estis faritaj de Girolamo Cardano en la 16-a jarcento. Kardano estis hazardludanto, kiu kutimis fari longajn feriojn de sia scienca laboro por fari vetludojn. En la procezo, li disvolvis la fundamentojn de probablo-teorio, kiujn li prezentis en sia libro "La Libro de Bonŝanco kaj Ludoj" (latine: Liber de ludo aleae), kiu estis kompletigita en 1563 sed eldonita jarcenton poste, en 1663. La libro konsistas el 32 ĉapitroj - la unuaj ĉapitroj estas dediĉitaj al konsiloj por ludantoj en kartludoj kaj ĵetkuboj. Ili ankaŭ inkluzivas priskribon de oftaj trompaj metodoj. En la sekvaj ĉapitroj, Kardano provas montri la regulojn, kiuj regas la hazardludojn, kaj montras, ke ĝi ne dependas nur de la hazardo, sed ke ĉiu evento en la ludo havas kalkuleblan probablon.

La teknika doktrino pri probablo fontas el la koresponda rilato inter Pierre de Fermat kaj Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) verkis la plej frue konatan sciencan traktaton pri la temo. Post tio sekvis la Kybeia de Juan Caramuel (1670). Kelkaj el la menciitaj verkistoj -Fermat, Pascal kaj Caramuel- mencias en siaj respektivaj korespondaĵojn verkon Ars Commutationes de Sebastiano de Rocafull (1649), nuntempe perdita. La fundamenta verko Ars Conjectandi de Jakob Bernoulli (postmorta, 1713) kaj Doktrino de Ŝancoj de Abraham de Moivre (1718) traktas la subjekton kiel branĉon de matematiko. Estas menciinda la fakula verko de sugesta titolo "La apero de la probablo" (The Emergence of Probability, 1975) de Ian Hacking kiu pritraktas historion de la frua disvolvigo de la propra koncepto de matematika probablo.

La teorio de eraroj povas estis spurita reen en la historio ĝis Opera Miscellanea (postmorta, 1722) de Roger Cotes, sed disertacio preparita de Thomas Simpson en 1755 (presita en 1756) aplikis por la unua fojo la teorion por la studo de observeraroj. La represo (1757) de tiu disertacio eksponas la aksiomojn, ke la eraroj pozitivaj kaj negativaj estas same probablaj, kaj ke estas certaj limoj atribueblaj, ene de kiuj oni supozas, ke estas ĉiuj eblaj eraroj; tie oni studas la kontinuajn erarojn kaj oni proponas kurbon de la probablo.

Pierre-Simon Laplace (1774) faris la unuan klopodon dedukti regulon por la kombino de observoj el la principoj de la teorio de la probabloj. Laplace kreis formulon por esprimi la verŝajnecon de la tagiĝo. Li diris, ke la verŝajneco estis (d 1)/(d 2), kie d estas la nombro de tagoj, kiam tagiĝis en la paseo. Laplace diris ke ĉi tiu formulo, kies nomo estis "Regulordo" (de Laplace), taŭgas en ĉiuj kazoj, kie oni nenion scias aŭ kie, aĵo kiun oni scias, oni ŝanĝis (aŭ ŝanĝos) pro aĵo kion oni ne scias. Li deduktis formulon por la averaĝo de tri observoj. Li atingis ankaŭ (1781) formulon por la leĝo de facileco de eraro (termino kreita de Lagrange, 1774), sed lia formulo kondukis al malfacile uzeblaj ekvacioj.

Daniel Bernoulli (1778) enkondukis la principon de la maksimuma produto de la probabloj de sistemo de kunestantaj eraroj.

Siaflanke la metodo de kvadrataj minimumoj estis kreitaj de Adrien-Marie Legendre (1805), kiu enkondukis ĝin en sia verko Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Novaj metodoj por la determinado de la orbitoj de la kometoj). Senscie pri la kontribuo de Legendre, irland-usona verkisto, Robert Adrain, redaktoro de "The Analyst" (1808), deduktis por la unua fojo la leĝon de facileco de eraro:

\phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}

kie $c$ kaj $h$ estas konstantoj kiuj dependas de la precizeco de la observado. Li eksponis du pruvojn, el kiuj la dua estas esence la sama de John Herschel (1850). Gauss eksponis ŝajne la unuan pruvon konata en Eŭropo (nome la tria post tiu de Adrain) en 1809. Aldonaj pruvoj estis eksponitaj de Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) kaj Morgan Crofton (1870). Aliaj fakuloj kiuj kontribuis al la fako estis Ellis (1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) kaj Giovanni Schiaparelli (1875). La formulo de Peters (1856) por $r$ , la probabla eraro de ununura observo, estas tre bone konata.

En la 19-a jarcento, la aŭtoroj de la ĝenerala teorio estis Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, kaj Karl Pearson. Augustus De Morgan kaj George Boole plibonigis la eksponon de la teorio.

En 1930 Andrej Kolmogorov disvolvigis la aksioman bazon de la probablo uzante la teorion de la mezuro.

Formaligo de probablo

Simile al aliaj teorioj, probablo-teorio estas prezento de probablecaj konceptoj en formalaj terminoj — do, en terminoj kiuj povas esti konsiderataj aparte de ilia signifo. Ĉi tiuj formalaj terminoj estas manipulitaj per la reguloj de matematiko kaj logiko, kaj ĉiuj rezultoj estas tiam interpretitaj aŭ tradukitaj malen en la probleman domajnon.

Estas almenaŭ du sukcesaj provoj formaligi probablon, nome formulaĵo de Kolmogorov kaj formulaĵo de Cox.

En formulaĵo de Kolmogorov, aroj estas interpretitaj kiel eventoj kaj probablo mem kiel mezuro sur klaso de aroj. En formulaĵo de Cox, probablo estas prenita kiel primitivo (do, ne plu analizita) kaj la emfazo estas sur konstruado de konsekvencaj asignoj de probablaj valoroj al propozicioj. En ambaŭ okazoj, la leĝoj de probabloj estas la samaj, krom teknikaj detaloj:

probablo (simbolita per p) estas nombro inter 0 kaj 1;
probablo de evento aŭ propozicio kaj ĝia komplemento sume donas 1;
kuna probablo de du eventoj aŭ propozicioj estas produto de probablo de la unua kaj probablo de la dua kondiĉo je la unua.

Prezento kaj interpretado de probablaj valoroj

La probablo de evento estas ĝenerale prezentita kiel reela nombro inter 0 kaj 1 inkluzive. Neebla evento havas probablon de akurate 0, kaj certa evento havas probablon de 1, sed la mala propozicio estas ne ĉiam vera: nek evento de probablo 0 estas ĉiam neebla, nek evento de probablo 1 estas certa. La iom subtila distingo inter "certa" kaj "probablo 1" estu traktita je pli granda longo en aparta studo pri "preskaŭ certa".

Probabloj kiuj okazas en praktiko estas nombroj inter 0 kaj 1, indikante pozicion de la evento sur la kontinuaĵo inter neebleco kaj certeco. Ju pli proksima la probablo estas al 1, des pli verŝajna estas ke la evento okazas.

Distribuoj

Probablodistribuo estas funkcio kiu asignas probablojn al eventoj aŭ propozicioj. Por ĉiu aro de eventoj aŭ propozicioj estas multaj manieroj asigni probablojn, do la elekto de unu distribuo aŭ alia estas ekvivalento al farado de malsamaj supozoj pri la eventoj aŭ propozicioj.

Estas kelkaj ekvivalentaj manieroj por difini probablodistribuon. Eble la plej komuna estas precizigi probablodensa funkcion. Tiam la probablo de evento aŭ propozicio estas ricevita per integralado de la denseca funkcio. La distribua funkcio povas ankaŭ esti difinita rekte. En unu dimensio, la distribua funkcio estas nomita kiel la tuteca distribua funkcio. Probablodistribuoj povas ankaŭ esti difinitaj tra momantoj aŭ la karakteriza funkcio, aŭ en ankoraŭ alia manieroj.

Distribuo estas nomita, kiel diskreta distribuo se ĝi estas difinita sur kalkulebla, diskreta aro, kiel subaro de entjeroj.
Distribuo estas nomita, kiel kontinua distribuo se ĝi estas kontinua distribua funkcio.

Problemo de Monty Hall

En tiu konkurso la serĉo de aŭto malantaŭ pordo, la ludanto elektas dekomence la pordon 1. La prezentisto malfermas tiam la pordon 3, kiu montras kapron kaj proponas la eblon elekti la pordon 2 anstataŭ la 1.

La problemo de Monty Hall estas matematika problemo de probablo bazita sur la usona televida konkurenco Let's Make a Deal (Ni faru interkonsenton). La problemo estis nomita laŭ la nomo de la prezentisto de tiu konkurenco: nome Monty Hall. La konkurencanto en la televida konkurenco devas elekti pordon el inter tri (ĉiuj fermitaj); la premio konsistas en akiri tion kio troviĝas malantaŭ tiu elektita. Oni scias certece ke malantaŭ unu el ili troviĝas aŭto, kaj malantaŭ la aliaj du estas po unu kapro.

Vidu ankaŭ

Notoj

↑ Probablo en PIV, Alirita la 15an de Oktobro 2021.
↑ Ian Hacking (2006) The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-68557-3)

Kategorio Probablo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

[1] Probablo en PIV, Alirita la 15an de Oktobro 2021.

[Emergence-2] Ian Hacking (2006) The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-68557-3)

[1]

[2]