Entropio

Entropio (greke τρoπή, ‚transformo‘) estas mezuro de malordo de sistemo. Ĝi estas koncepto de termodinamiko ankaŭ uzebla pli aŭ malpli metafore en aliaj sciencoj, ekzemple ankaŭ en filozofio kaj eĉ komun-uze (kie ĝi kvazaŭ sinonimas al la ĥaoseco, ĥaosemo, ĥaosiĝo de sistemo).

Tombo de Ludwig Boltzmann en la Centra Tombejo de Vieno kun la formulo de entropio.

Termodinamiko

La entropio termodinamika $S$, simple nomata „la entropio“ en la kunteksto de kemio kaj fiziko, estas mezuro de kvanto da energio en fizika sistemo kiu ne povas esti uzata por fari laboron.

Rudolf Clausius, en 1865, enkondukis la koncepton de entropio. Li difinis la ŝanĝon $\partial S$ kiel entropio de termodinamika sistemo dum reversebla procedo.

$\partial S={\frac {\partial Q}{T}}\ ,$

kie $\partial Q$ estas la kvanto da infinitezima varmo ŝanĝita dum la tempo $\partial t$ en kiu la momenta absoluta temperaturo estas $T\$; do en la SI-sistemo, la mezurunuo estas Ĵulo/Kelvino (J.K⁻¹).

Clausius donis al kvanto $S$ la nomon entropio. Notu ke tiu ekvacio envolvas nur ŝanĝon en entropio, do la entropio estas nur difinita kiel konstanta aldono. Sekve, statistika difino alternativa de entropio estos diskutita por difini tion.

En 1877, Ludwig Boltzmann ideigis ke la entropio de sistemo povas esti ligita al eblaj nombroj da „mikrostatoj“ laŭ ĝiaj termodinamikaj proprecoj. Li konsideris, ekzemple, idealan gason en ĝia ujo. Mikrostato estas determinita laŭ la pozicio kaj movokvanto de ĉiu atomo. Pro tio, oni bezonas konsideri nur tiujn mikrostatojn, al kiuj (1) la pozicio de ĉiuj partikloj estas lokitaj en la volumeno de la ujo, (2) la sumo de la kinetaj energioj de la atomoj estas egala al tuta energio de la gaso. Boltzmann ankaŭ postulis:

$S=k\cdot \ln(\Omega )\ \,,$

kie $k$ estas la Boltzmann-a konstanto, kaj $\Omega$ estas la nombroj de taŭgaj mikrostatoj. Tiu postulato, kiu oni konas kiel Boltzmann-a principo, povas esti konsiderata kiel la fundamento de la statistika meĥaniko, kiu priskribas la termodinamikajn sistemojn uzante la statistikan disvolviĝon de ĝiaj eroj. Tio rilatas al mikroskopa propreco de la sistemo $\Omega$, al ĝiajn termodinamikajn proprecojn, t. e. al la entropio $S$. Sub la difino de Boltzmann, la entropio estas klare funkcio de stato. Krome, ĉar $\Omega$ estas nepre natura numero (1, 2, 3, …), la entropio estu pozitiva.

Oni povas vidi $\Omega$ kiel mezuron de la malordigo de sistemo. Tio okazas, ĉar tio, kion ni konsideras „ordiĝaj“ sistemoj, tendencas havi malmultajn konformiĝajn eblojn, kaj „malordiĝaj“ havas multajn konformiĝajn eblojn.

Kazo de ideala gaso

Konsideru ni nun unu molon de ideala gaso en la normaj kondiĉoj pri temperaturo kaj premo. La nombro da partikloj $N_{A}=6,022\cdot 10^{23}$ estas grandega. Ĉiu partiklo de gaso estas difinita per la tri parametroj de spaca pozicio kaj la energia parametro (termika agitiĝo). La nombro da eblaj statojn estas altega. Tamen, danke al la statistika termodinamiko, eblas kalkuli ĝin pri la kazo de ideala gaso konsiderata sub la normaj kondiĉoj (mola volumeno = 22,4 l):

$\Omega =10^{5\;10^{24}}$

Krome, rimarkendas, ke pro la termika agitiĝo la sistemo estas por senfinia ŝanĝo. Kompreneble la malordigitaj statoj estas la plej multaj. Estas ĉi tiuj malordigitaj statoj, kiuj okazas la plej grandan parton de la tempo kaj difinas la staton de ekvilibro de la sistemo macroskopaskale.

Per apliko de la formulo de Boltzmann, eblas liveri valoron de entropio al nia skalo:

$S=k\cdot \ln(\Omega )=k\cdot \ln(10^{5\;10^{24}})\ \,,$

kun la konstanto de Boltzmann = R/N_A = 1,381.10^-23 J.K^-1,

$S$ = 159 J.K^-1; kiu estas la entropio de unu molo de ideala gaso sub normaj kondiĉoj de temperaturo (T) kaj premo (P).

Pri la kazo de T = 0 kelvino, la termika agitiĝo haltas, la gaso estas tiam en la fundamenta stato de pli malalta energio. Du kazoj eblas:

• se la fundamenta stato estas ne-degenera, ekzistas nur unu aranĝo, tiu pri kiu entropio estas nula: $S$ = 0;
• se la fundamenta stato estas degenera, ekzistas ĝenerale finia nombro da degeneraj statoj; se g estas tiu nombro, entropio trafas sian minimuma valoro, t.e.: $S_{0}=k\cdot \ln(g)$ (vidu la trian leĝon de termodinamiko).

Entropio kaj energio

Konsideru ni sistemon de N partikloj. Supozu, ke ĉiu partiklo i havas energion ε_i ≥ 0, oblo de δ, kaj ke la partikloj povas interŝanĝi po du energion tiel ke la tuta energio inter la du konserviĝas. Ekzemple:

se la partiklo 1 kun energio 5.δ kaj la partiklo 2 kun energio 103.δ interŝanĝas energion 3.δ, de 2 ĝis 1,

tial post la interŝanĝo, la partiklo 1 havas energion 8.δ kaj la partiklo 2 energion 100.δ; kaj tiel plu.

Pro la fakto, ke la interŝanĝoj estas konservativaj, la tuta ennergio de la sistemo estas konstanta:

$E=\sum _{i}\epsilon _{i}=\mathrm {konstanta} .$

La makroskopa stato de la sistemo konsistas el la kvantoj da energio de ĉiuj partikloj; ĝi ne dependas de la nombro da partikloj pri ĉiu energinivelo. Efektive, ĉe la macroskopa nivelo, ne gravas ĉu estas la partiklo u, kiu havas energian nivelon i kaj la partiklo v nivelon 1, aŭ inverse. Estu N_i la nombro de partikloj kun energio ε_i = i.δ. La multobligo de la sistemo estas difinita per la nombro da permutaĵoj de partikloj inter la energiaj niveloj antaŭkonservantaj la nombron da partikloj en ĉiu nivelo:

$\Omega ={\frac {N!}{N_{1}!N_{2}!N_{3}!...}}\,.$

La entropio de la sistemo $S$ estas difinita proporcie al la logaritmo de la multobligo Ω. Per uzo de la proksimuma kalkulado de Stirling de la faktorialoj pri grandaj nombroj:

${\frac {S}{N}}\sim -k\sum _{i}{\frac {N_{i}}{N}}\ln {\frac {N_{i}}{N}}=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}\,,$

kie p_i = N_i/N estas la probablo, laŭ kiu unu partiklo apartenus al la energinivelo i.

Ĝeneraligo

Post tiu eltrovo, la ideo ke la malordigo tendencas kreski eniris en aliajn branĉojn de la pensado, eĉ konfuze. Unu el la miskomprenoj estas la fakto ke la rezulto de $\Delta S\geq 0$ (vidu la duan leĝon de termodinamiko) aplikiĝas nur por izolaj sistemoj. Oni scias ke la Tero ne estas izolata sistemo, ĉar ĝi daŭre ricevas energion de la Suno; sed la universo estas izolata sistemo, sekve, ĝia tuta malordiĝo konstante plikreskos, ĝis ekvilibro. De tio, oni spekulacias ke la universo estas destinita al termika morto, kiam tuta energio finos per la homogena distribuado, do sekvos ke estos nenia fonto de laboro.

Informadiko

Sistemo tendencas pasi de stato de ordo, aŭ malalta entropio, al stato de plej granda malordo aŭ alta entropio. La entropio de iu sistemo estas rilata al la kvanto da informoj, kiun ĝi enhavas.

En informadiko, oni povas priskribi sistemon tre ordigatan uzante malpli da bitokoj ol bezonataj por priskribi malordigatan. Ekzemple, oni povas priskribi serion kiu havus dek 0-jn uzante simplan kodon kiel (0,10). Sed serio de simboloj hazardaj estas pli malfacile reprezentata; ekzemple, se serio havus tri 1-jn kaj sep 0-jn, ĝi bezonos kromajn etikedojn por esti reprezentata. Tiel (001100100) estos kodigita kiel (0,2,1,2,1,2,1,1,1,2) kun nula avantaĝo. Tio okazas ĉar ekzistas nur unu kombino por la unua serio, ekz. (0000000000), sed ekzistas ${\frac {10!}{3!7!}}$ = 120 kombinoj por la dua serio, ekz. (1110000000), (1101000000), ktp.

La formulo de Shannon (vidu la informteorion), kiu baziĝas sur la analogio kun la termodinamika entropio:

$H(M)=-\log _{2}p(M)\$

rezultigas la entropion $H(M)$ (nombro sen unuo) de mesaĝo $M$ en bitokoj, estante $p(M)$ la probablo de la mesaĝo $M$. Tiel, la probablo de la mesaĝo unua $M_{1}$ konsistigita de serio de dek 0-j estas egala al nur unu, kaj $H(M_{1})=\log _{2}(1)=0$. La probablo de la mesaĝo $M_{2}$ konstituita de tri 1-j kaj sep 0-j estas $p(M_{2})={1 \over 120}$, kaj la entropio de tiu mesaĝo estas $H(M_{2})=-\log _{2}\left({\frac {1}{120}}\right)\approx 6{,}9\ .$

Eksteraj ligiloj

• Entropy en Project PHYSNET angle
• Blidoj pri pluso da informoj kaj entropio Arkivigite je 2019-02-07 per la retarkivo Wayback Machine angle
• Roger Balian; Entropio, informado: proteoforma koncepto: teksto el lekcio donita en la Universitato de ĉiuj sciaĵoj (239-a prelego: La statoj de materio, 26-an de aŭgusto 2000, Conservatoire national des Arts et Métiers, Parizo). Eldonita de Yves Michaud; Universitato de ĉiuj sciaĵoj (Vol. 4), Odile Jacob (2001) p. 947-959 / re-eldonita: Universitato de ĉiuj sciaĵoj (vol. 17), Poche Odile Jacob (2002) p. 20-220. france
• Roger Balian; La makroskopa tempo : teksto el lekcio pri malinversebleco kaj entropio donita dum la unua simpozio Physique & Interrogations Fondamentales, organizita de la Société Française de Physique, la 8-an de decembro 1993 en Parizo. Eldonita de Étienne Klein & Michel Spiro; Les Editions Frontières (1994) pp. 155–211 / Re-eldonita Poche Flammarion, Collection Champs (1995). france