Vikipedio

Aritmetiko

Aritmetiko estas branĉo de matematiko, studanta la naturon kaj proprecojn de nombroj kaj speciale la proprecojn de la tradiciaj operacioj kiujn oni faris pere de ili — nome adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĝi inkluzivas ankaŭ la studon pri algoritmoj kaj operacioj super entjeroj kaj frakcioj, kvocientoj, proporcioj, procentoj. La nomo devenas de la vorto greke ἀριθμός arithmos, kiu signifas "nombron" en greka lingvo.

Aritmetikajn tabelojn por infanoj, Laŭzano, 1835.

La moderna aritmetiko ne okupiĝas nur pri elementaj kalkuloj, sed pri gravaj ecoj de entjeroj (primeco, plej granda komuna divizoro, primaj faktoroj ktp.) kaj similaj ecoj de aliaj objektoj (ekzemple elementoj de ringoj). Evoluo de Aritmetiko venigis al apartigo de novaj matematikaj branĉoj: Algebro kaj Nombroteorio.

Historio

redakti

La prahistorio de aritmetiko estas limigita al malgranda nombro de artifaktoj kiuj povas indiki la koncepton de adicio kaj subtraho, kies plej bone konata restaĵo estas la Iŝanga osto el centra Afriko, kiu datas el iam inter 20,000 kaj 18,000 jaroj a.K., kvankam ties interpretado estas disputata.[1]

La plej fruaj verkitaj registroj indikis ke jam en Antikva Egipto kaj Babilono oni uzis ĉiujn operaciojn de elementa aritmetiko tiom frue kiom ĉe 2000 a.K. Tiuj artifaktoj ne ĉiam pruvas la specifan procezon uzitan por solvi numerajn problemojn, sed la karakteroj de la partikulara nombrosistemo forte influas la komplikecon de metodoj. La hieroglifa sistemo de la egiptaj ciferoj, same kiel la postaj Romaj ciferoj, descendis el la kalkulaj markoj uzitaj populare por kalkuladi. Ambaŭokaze, tiu deveno rezultis en valoroj kiuj uzis dekuman bazon, sed ne inkludis pozician nombrosistemon. Kompleksa kalkulado pere de romaj ciferoj postulis la helpon de kalkultabulo aŭ de abako por havi la rezultojn.

La plej fruaj nombrosistemoj kiuj inkludis pozician nombrosistemon ne estis dekumaj, kiel la sesdekuma sistemo (kun bazo de 60) de la Babilonaj ciferoj kaj la dudekuma sistemo (kun bazo de 20) en kiu konsistis la ciferoj de Majaoj. Pro tiu pozici-valora koncepto, la kapablo reuzi la samajn ciferojn por diferencaj valoroj kontribuis al pli simplaj kaj pli efikaj metodoj de kalkulo.

 
Skulptaĵo reprezentanta Eŭklidon, Oxford University Museum.

La kontinua historia disvolvigo de la moderna aritmetiko startas ĉe la Helenisma Epoko de Antikva Grekio, kvankam ĝi originiĝis multe pli poste ol la menciitaj ekzemploj de Babilonanoj kaj Egiptianoj. Antaŭ la verkoj de Eŭklido de ĉirkaŭ la jaro 300 a.K., Grekaj matematikistoj koincidis kun la filozofiaj kaj mistikismaj kredoj. Por ekzemplo, Nikomaĥo resumis la vidpunktojn de la pli frua Pitagorisma alproksimiĝo al nombroj, kaj ties rilataro de unu kun alia, en sia Enkonduko al Aritmetiko.

La Grekaj ciferoj estis uzitaj de Arkimedo, Diofanto kaj aliaj en pozicia notacio ne tre diferenca el la nuntempa. Mankis al la antikvaj grekoj simbolo por nulo ĝis la Helenisma Epoko, kaj ili uzis tri apartajn seriojn de simboloj kiel ciferoj: nome unu serio por la lokoj de unuoj, alia por la lokoj de dekoj, kaj alia tria por la lokoj de centoj. Por la loko de miloj ili uzis la simbolojn de la unuoloko, kaj tiel plu. Ties aldona algoritmo estis sama al tiu nuntempa, kaj ties multiplika algoritmo estis nur tre malmulte diferenca. Ties longa divida algoritmo estis la sama, kaj la algoritmo por kalkuli kvadratajn radikojn, populare uzita ĝis tiom ĵuse kiom ĝis la 20a jarcento, estis konata jam de Arkimedo, kiu eble inventis ĝin. Li fakte preferis ĝin al la metodo de Herono de sinsekva alproksimiĝo ĉar, kalkulita, cifero ne ŝanĝas, kaj la kvadrataj radikoj de perfektaj kvadratoj, kiaj 7 485 696, finas tuj kiel 2736. Ĉe ciferoj kun frakcia parto, kiel 546,934, ili uzis negativajn potencojn de 60 anstataŭ negativajn potencojn de 10 por la frakcia parto, nome 0,934.[2]

La antikvaj ĉinoj progresis en aritmetikaj studoj el la Dinastio Ŝang kaj pluis tra la Dinastio Tang, el bazaj ciferoj al antaŭenirinta algebro. La antikvaj ĉinoj uzis pozician notacion similan al tiu de la grekoj. Ĉar ankaŭ al ili mankis simbolo por nulo, ili havis unu serion de simboloj por la loko de unuoj, kaj duan serion por la loko de dekoj. Por por la loko de centoj, ili reuzis la simbolojn de la loko de unuoj, kaj tiel plu. Iliaj simboloj estis bazitaj sur la antikvaj kalkulbastonoj. Estas komplika demando determini precize kiam la ĉinoj ekkalkulis per pozicia reprezentado, sed ĝi certe okazis definitive antaŭ la jaro 400 a.K.[3] La antikvaj ĉinoj estis la unuaj kiuj klare malkovris, komprenis, kaj aplikis negativajn nombrojn kiel oni klarigas en la verko Naŭ ĉapitroj pri la matematika arto (Ĝiuĵang Suanŝu), kiu estis verkita de Liu Hui.

La laŭgrada disvolvigo de la Hind–arabaj ciferoj sendepende de la difinita loko-valora koncepto kaj pozicia notacio, kiu kombinis la pli simplajn metodojn por kalkuloj per dekuma bazo kaj la uzadon de cifero reprezentante nulon. Tio ebligis ke la sistemo konsiste reprezentu kaj grandajn kaj malgrandajn entjerojn. Tiu alproksimiĝo finfine anstataŭis ĉiujn aliajn sistemojn. En la komenco de la 6a jarcento p.K., la hindia matematikisto Aryabhata aligis ekzistintan version de tiu sistemo en sia verko, kaj eksperimentis per diversaj notacioj. En la 7a jarcento, Brahmagupta establis la uzadon de 0 (nulo) kiel aparta cifero kaj determinis la rezultojn por multiplikado, divido, sumo kaj subtraho de nulo kaj de ĉiuj aliaj ciferoj, escepte ĉe la rezulto de divido per nulo. Liatempa, la siriaka episkopo Severo Seboĥt (650) diris, "Hindianoj posedas kalkulmetodon kiu ne estas sufiĉe laŭdita. Ties racia sistemo de matematiko, aŭ ties kalkulmetodo. Mi celas la sistemon kiu uzas naŭ simbolojn."[4] Ankaŭ la araboj lernis tiun novan metodon kaj nomis ĝin ĥesab (la arablingva radiko por kalkulo).

 
La Radokalkulilo de Leibniz estis la unua kalkulilo kiu povis plenumi la kvar aritmetikajn operaciojn.

Kvankam la Codex Vigilanus priskribis fruan formon de Arabaj ciferoj (sen 0) ĉirkaŭ la jaro 976, Leonardo de Pisa (Fibonacci) estis ĉefa respondeco pri la etendo de ties uzado tra Eŭropo post la publikigo de sia libro Liber Abaci en 1202. Li verkis, "La metodo de hindianoj (latine Modus Indoram) surpasas ajnan konatan metodon por kalkuli. Ĝi estas mirinda metodo. Ili faras siajn kalkulojn uzante naŭ ciferojn kaj simbolon por nulo".[5]

En la Mezepoko, aritmetiko estis unu el la sep liberaj artoj instruataj en universitatoj.

La florado de algebro en la mezepoka Islama mondo kaj en la renesanca Eŭropo estis elkreskaĵo de la enorma simpligo de kalkulado pere de dekuma notacio.

Variaj tipoj de iloj estis inventitaj kaj amplekse uzataj por helpi en la tasko de nombra kalkulado. Antaŭ la Renesanco, ili estis variaj tipoj de abakoj. Pli ĵusaj ekzemploj estas glitkalkuliloj, nomografoj kaj mekanikaj kalkuliloj, kiaj la paskala kalkulilo. Nuntempe, ili estis anstataŭitaj de elektronikaj kalkuliloj kaj komputiloj.

Aritmetikaj operacioj

redakti

La bazaj aritmetikaj operacioj estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido. Ĉiuj el ili estas duargumenta operacio, t.e. ĝi ricevas du nombrojn kaj finkalkule eldonas alian trian. Kvankam oni inkludas ankaŭ pliajn antaŭnirintajn operaciojn, kiel manipulado de procentoj, kvadrataj radikoj, eksponentado, kaj logaritmaj funkcioj. Aritmetiko estas plenumita laŭ ordo de operacioj.

En matematiko, la bazaj duargumentaj operacioj estas la jenaj:

Adicio

redakti
  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Adicio.
 
La ĉefaj aritmetikaj operacioj estas adicio, subtraho, multipliko kaj divido.

Adicio estas operacio por trovi la sumon de nombroj aŭ kvantoj. La signo de adicio estas (plus). Se oni adicias 5 kaj 3, oni ricevos 8. 5 kaj 3 estas la adiciatoj, 8 estas la sum-valoro. Precize, oni nomu la termon '5 3' sum-termon aŭ sum-esprimon, sed fak-mallonge ofte ankaŭ nur sumon.

La tradicia maniero koncerne la skribforman adicion - ekz-e de la naturaj nombroj 295 kaj 107 (dekume prezentitaj) - okazus jene:

 

La kalkulado reduktiĝas al relative facila (elementa) sumado de unu-ciferaj nombroj. Unu-cifera nombro de unuoj de la sum-valoro estas skribenda sub la sum-streko, kaj la unucifera nombro de dekoj estas ŝovenda maldekstren super la strekon. Tiu restaĵo estas la ŝovenda nombro (de:Übertrag). La ruĝaj ciferoj sur la bildo estas tia ŝovenda nombro (de dekoj), kiu estas ricevita post for-apartigo de la dekstraflanka cifero (nombro de unuoj).

Subtraho

redakti
  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Subtraho.

Subtraho estas operacio por trovi la diferencon inter unua nombro (aŭ kvanto) kaj dua nombro (aŭ kvanto), en tiu ordo; la signo de subtraho estas − (minus). Ekz. ĉe la subtraho: 9−6=3 oni diras, ke 9 estas la malpliigato, 6 estas la subtrahanto, 3 estas la diferenco. Ĝia kontraŭa operacio estas la adicio.

Multipliko

redakti
  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Multipliko.

En matematiko, multipliko aŭ obligo estas duargumenta operacio. Ĝi povas esti aplikata al diversaj objektoj. Argumentoj de multipliko estas faktoroj kaj la rezulto estas produto.

Multipliko povas esti skribata per kelkaj manieroj. Ekzemple multipliko de 5 kaj 2:

5×2
5·2
5*2

La asterisko (*) estas ofte uzata en komputiloj ĉar ĝi estas simbolo sur ĉiu klavaro, sed ĝi estas malofte uzata kiam oni skribas permane. Ĉi tiu uzado devenis en la programlingvo Fortrano.

Ofte, multipliko estas subkomprenata sen uzo de aparta signo. Ĉi tiu estas normo en algebro, ekzemple:

5x
xy

Ĉi tiu potenciale povas misigi se nomoj de variabloj povas havi pli ol unu literon. Ĉi tiu skribmaniero estas ne uzata inter nombroj sola: 52 ne estas 5 × 2. Kodo de la multiplika signo × estas deksesuma D7 en unikodo, en HTML ĝi povas esti skribata kiel ×.

Divido

redakti
  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Divido.

En matematiko, aparte en elementa aritmetiko, divido estas aritmetika operacio kiu estas la inverso de multipliko.

Specife, se   kie b estas ne nulo, tiam

 

kio estas, a dividita per b egalas al c. Oni povas pli koncize legi kiel "a sur b egala al c".

Ekzemple,   ĉar  .

En la pli supre esprimo, a estas nomita la dividato aŭ numeratoro, b la dividanto aŭ denominatoro kaj c la kvociento.

Divido per nulo (do kiam la dividanto estas nulo) estas kutime ne difinita.

Divido estas plej ofte montrita per skribado de la dividato super la dividanto kun horizontalo inter ili. Ekzemple, a dividita per b estas skribata kiel  .

Maniero esprimi dividon tute sur unu linio estas skribi la dividaton, tiam oblikvon, tiam la dividanton, tiamaniere:  . Ĉi tio estas la kutima maniero precizigi dividon en plej multaj komputilaj programadaj lingvoj ĉar ĝi povas facile esti tajpita kiel simpla vico de signoj.

Presa variado kiu estas meze inter ĉi tiuj du formoj uzas oblikvon sed altigas la dividaton, kaj malaltigas la dividanton: a⁄b

Iu ajn el tiuj formoj povas ordinare elmontri frakcion. Frakcio estas divida esprimo kie kaj dividato kaj dividanto estas entjeroj (kvankam tipe nomitaj la numeratoro kaj denominatoro respektive), kaj ne estas implico, ke la divido bezonas esti plue pritaksita.

Nombroteorio

redakti
  Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Nombroteorio.

Nombroteorio estas branĉo de matematiko, dediĉita al la studo de proprecoj de entjeroj kaj ĝiaj ĝeneraligoj (ekz. algebraj entjeroj). La demandoj pri la plej granda komuna divizoro, la plej malgranda komuna oblo, malkomponado je primoj, prezento de natura nombro en iu certa formo, ĝia dividebleco kaj aliaj temoj estas studobjektoj de la nombroteorio. Ĝi inkluzivas ankaŭ: teorion de komparoj, diofantaj ekvacioj, ĉena frakcio, diofantaj alproksimiĝoj, transcendaj ekvacioj k.a. Ekde la 1980-aj jaroj nombroteorio trovis surprizajn aplikojn en ĉifrado (kriptografio); ĝi ebligis la unuajn nesimetriajn ĉifrojn. En speciala literaturo oni ofte trovas ankaŭ sinonimajn terminojn – Teorio de Nombroj aŭ Teorio pri Nombroj.

Aritmetikaj konceptoj

redakti

Operacioj

redakti

Vidu ankaŭ

redakti

Notoj

redakti
  1. ↑ Rudman, Peter Strom. (2007) How Mathematics Happened: The First 50,000 Years. Prometheus Books, p. 64. ISBN 978-1-59102-477-4.
  2. ↑ The Works of Archimedes, Chapter IV, Arithmetic in Archimedes, eldonita de T.L. Heath, Dover Publications Inc, New York, 2002.
  3. ↑ Joseph Needham, Science and Civilization in China, Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.
  4. ↑ Reference: Revue de l'Orient Chretien de François Nau pp.327-338. (1929)
  5. ↑ Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.

Bibliografio

redakti
  • (2017) “Developing Students' Mathematical Skills Involving Order of Operations”, International Journal of Research in Education and Science, p. 373. doi:10.21890/ijres.327896. 
  • Asano, Akihito. (2013) An Introduction to Mathematics for Economics. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-00760-4.
  • Askew, Mike. (2010) “It Ain't (Just) What You Do: Effective Teachers of Numeracy”, Issues In Teaching Numeracy In Primary Schools (angle). McGraw-Hill Education (UK). ISBN 978-0-335-24153-8.
  • Set Theory. Metaphysics Research Lab, Stanford University (2023). Alirita 19 November 2023 .
  • Barnes, Andrew J.. (2017) “Using Behavioral Economics to Improve People's Decisions About Purchasing Health Insurance”, Behavioral Economics and Healthy Behaviors: Key Concepts and Current Research (angle). Taylor & Francis. ISBN 978-1-317-26952-6.
  • . Introduction to Measurement. Carleton College Science Education Resource Center; American Association of Physics Teachers (2009). Alirita 2024-03-06 .
  • Brown, David. (2010) “The Measurement of Time and Distance in the Heavens Above Mesopotamia, with Brief Reference Made to Other Ancient Astral Science”, The Archaeology of Measurement: Comprehending Heaven, Earth and Time in Ancient Societies (angle). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11990-0.
  • Arithmetic. Springer (2020). Alirita 23an de Oktobro 2023 .
  • Cafaro, Massimo. (2018) “Techniques for Designing Bioinformatics Algorithms”, Encyclopedia of Bioinformatics and Computational Biology: ABC of Bioinformatics (angle). Elsevier. ISBN 978-0-12-811432-2.
  • Campbell, Stephen R.. (2012) “Understanding Elementary Number Theory in Relation to Arithmetic and Algebra”, Number Theory in Mathematics Education: Perspectives and Prospects (angle). Routledge. ISBN 978-1-136-50143-2.
  • (2022) “Concerning Three Classes of Non-Diophantine Arithmetics”, Involve, A Journal of Mathematics 15 (5), p. 763–774. doi:10.2140/involve.2022.15.763. 231847291. 
  • Carraher, David W.. (2015) “Powerful Ideas in Elementary School Mathematics”, Handbook of International Research in Mathematics Education (angle). Routledge. ISBN 978-1-134-62664-9.
  • Cavanagh, Joseph. (19a de Decembro 2017) “6. Fixed-Point Multiplication”, Computer Arithmetic and Verilog HDL Fundamentals (angle). CRC Press. ISBN 978-1-351-83411-7.
  • Cignoni, Gioanni A.. (2016) “The Global Virtual Museum of Information Science & Technology, a Project Idea”, International Communities of Invention and Innovation: IFIP WG 9.7 International Conference on the History of Computing, HC 2016, Brooklyn, NY, USA, May 25-29, 2016, Revised Selected Papers (angle). Springer. ISBN 978-3-319-49463-0.
  • Gallistel, C. R.. (2005) “Mathematical Cognition”, The Cambridge Handbook of Thinking and Reasoning. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53101-6.
  • Geary, David C.. (2006) “Development of Mathematical Understanding”, Handbook of Child Psychology, Cognition, Perception, and Language (angle). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-05054-5.
  • (1935) “Significant Figures”, National Mathematics Magazine 10, p. 20–24. doi:10.2307/3028249. 
  • Numeral. HarperCollins (2022). Alirita 11 November 2023 .
  • Number System. HarperCollins (2022a). Alirita 11 November 2023 .
  • Arithmetic. HarperCollins (2022b). Alirita 19 October 2023 .
  • Husserl, Edmund. (2012) “Translator's Introduction”, Philosophy of Arithmetic: Psychological and Logical Investigations with Supplementary Texts from 1887–1901 (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-010-0060-4.
  • Jackson, Janna M.. (2008) “Reading/Writing Connection”, Handbook of College Reading and Study Strategy Research (angle). Routledge. ISBN 978-1-135-70373-8.
  • Karlsson, Anders. (2011) “Applications of Heat Kernels on Abelian Groups”, Number Theory, Analysis and Geometry: In Memory of Serge Lang (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4614-1259-5.
  • (2010) “To Carry or Not to Carry — Is This the Question? Disentangling the Carry Effect in Multi-digit Addition”, Acta Psychologica 135 (1), p. 67–76. doi:10.1016/j.actpsy.2010.06.002. 
  • Real Number. Springer (2020). Alirita 23an de Oktobro 2023 .
  • (2015) “What Makes Mathematics Manipulatives Effective? Lessons From Cognitive Science and Montessori Education”, SAGE Open 5 (2). doi:10.1177/2158244015589588. 11722953. 
  • (2019) “Problematizing Teaching and Learning Mathematics as 'Given' in STEM Education”, International Journal of STEM Education 6 (1). doi:10.1186/s40863-019-0197-9. 
  • (1997) “The Numbers Game: Playing up the importance of significant figures and scientific notation”, The Science Teacher 64, p. 16–18. 
  • Monahan, John F.. (2012) “2. Basic Computational Algorithms”, Handbook of Computational Statistics: Concepts and Methods (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-21551-3.
  • Nurnberger-Haag, Julie. (2017) “Borrow, Trade, Regroup, or Unpack? Revealing How Instructional Metaphors Portray Base-Ten Number”, Transdisciplinarity in Mathematics Education: Blurring Disciplinary Boundaries (angle). Springer. ISBN 978-3-319-63624-5.
  • Odom, Samuel L.. (2009) “Applying Lessons from Developmental Science to Early Education”, Handbook of Child Development and Early Education: Research to Practice (angle). Guilford Press. ISBN 978-1-60623-302-3.
  • Page, Robert L.. (2003) “Number Theory, Elementary”, Encyclopedia of Physical Science and Technology. Academic Press. ISBN 978-0-12-227410-7.
  • Pomerance, Carl. (2010) “IV.3 Computational Number Theory”, The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, p. 348–362. ISBN 978-1-4008-3039-8.
  • Pomerance, C.. (11a de Decembro 1995) “Combinatorial Number Theory”, Handbook of Combinatorics (angle). Elsevier. ISBN 978-0-08-093384-9.
  • Ponticorvo, Michela. (2019) “How to Improve Spatial and Numerical Cognition with a Game-Based and Technology-Enhanced Learning Approach”, Understanding the Brain Function and Emotions: 8th International Work-Conference on the Interplay Between Natural and Artificial Computation, IWINAC 2019, Almería, Spain, June 3–7, 2019, Proceedings, Part I (angle). Springer. ISBN 978-3-030-19591-5.
  • Ruthven, Kenneth. (2012) “12. Calculators in the Mathematics Curriculum: The Scope of Personal Computational Technology”, International Handbook of Mathematics Education (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-009-1465-0.
  • Sierpinska, Anna. (1996) “Epistemologies of Mathematics and of Mathematics Education”, Alan J. Bishop: International Handbook of Mathematics Education: Part 1, Kluwer International Handbooks of Education, vol. 4 (angle). Springer Netherlands, p. 827–876. doi:10.1007/978-94-009-1465-0_23. ISBN 978-94-009-1465-0.
  • Swartzlander, Earl E.. (2017) “High-Speed Computer Arithmetic”, Digital Design and Fabrication (angle). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8604-6.
  • Tiles, Mary. (2009) “A Kantian Perspective on the Philosophy of Mathematics”, Philosophy of Mathematics (angle). Elsevier. ISBN 978-0-08-093058-9.
  • Uspenskii, V. A.. (2001) “Solvable and Unsolvable Algorithmic Problems”, Kvant Selecta: Combinatorics, I: Combinatorics, I (angle). American Mathematical Soc.. ISBN 978-0-8218-2171-8.
  • Verschaffel, Lieven. (2011) “Mental Arithmetic”, Encyclopedia of the Sciences of Learning (angle). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4419-1427-9.
  • Wedell, Moritz. (2015) “Numbers”, Handbook of Medieval Culture. Volume 2 (angle). Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-037763-7.


Eksteraj ligiloj

redakti
Bibliotekoj
Elŝutita el "https://eo.wikipedia.org/w/index.php?title=Aritmetiko&oldid=8722568"