Ταυτοδύναμος πίνακας

Στην γραμμική άλγεβρα, ένας πίνακας $A$ λέγεται ταυτοδύναμος (ή αδύναμος) όταν

$A^{2}=A$.

Οι ταυτοδύναμοι πίνακες αντιστοιχούν σε γραμμικούς μετασχηματισμούς που είναι προβολές. Αυτό σημαίνει ότι το να εφαρμόσουμε τον μετασχηματισμό πάνω από μία φορά είναι ισοδύναμο με το να τον εφαρμόσουμε μία φορά.

Παραδείγματα

• Ο ταυτοτικός πίνακας είναι ταυτοδύναμος, καθώς $I^{2}=I\cdot I=I$. Το ίδιο και ο μηδενικός καθώς $0^{2}=0\cdot 0=0$.
• Μερικά συγκεκριμένα παραδείγματα ταυτοδύναμων πινάκων είναι

$A={\begin{bmatrix}0&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}5&2\\-10&-4\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}.$

• Πιο γενικά, ένας πίνακας $A$ διαστάσεων $2\times 2$ είναι ταυτοδύναμος ανν έχει την μορφή

$A={\begin{bmatrix}a&0\\0&d\\\end{bmatrix}}$ για $a,d\in \{0,1\}$ ή $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&1-a\end{bmatrix}}$ και $a^{2}-a=-bc$.

Ιδιότητες

• Για κάθε $n\in \mathbb {N} _{ }$, $A^{n}=A$.
• Κάθε ιδιοτιμή ενός ταυτοδύναμου πίνακα είναι είτε $0$ ή $1$.

Απόδειξη  

Από τον ορισμό της ιδιοτιμής $\lambda$ με ιδιοδιάνυσμα $x$ έχουμε ότι:

$Ax=\lambda x.$

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με $A$ έχουμε ότι

$A^{2}x=\lambda Ax\Rightarrow Ax=\lambda ^{2}x\Rightarrow \lambda x=\lambda ^{2}x\Rightarrow \lambda (\lambda -1)x=0\Rightarrow \lambda \in \{0,1\}.$

• Το ίχνος ενός ταυτοδύναμου πίνακα $A$ είναι φυσικός αριθμός.

Απόδειξη  

Από τις ιδιότητες για το ίχνος έχουμε ότι:

$\operatorname {tr} (A)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i},$

που είναι φυσικός αριθμός καθώς $\lambda _{i}\in \{0,1\}$.

• Η ορίζουσα $\operatorname {det} (A)$ ενός ταυτοδύναμου πίνακα $A$ είναι είτε $0$ είτε $1$.

Απόδειξη  

Από τις ιδιότητες τις ορίζουσας

$\operatorname {det} (A)=\operatorname {det} (A^{2})=\operatorname {det} (A)^{2}\Rightarrow \operatorname {det} (A)\cdot (\operatorname {def} (A)-1)=0$,

και προκύπτει το ζητούμενο.

Το ίδιο συμπέρασμα λαμβάνουμε και αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

$\operatorname {det} (A)=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i},$

και ότι $\lambda _{i}\in \{0,1\}$ για ταυτοδύναμους πίνακες.

• Ένας πίνακας $A$ είναι ταυτοδύναμος ανν o $I-A$ είναι ταυτοδύναμος.

Απόδειξη  

Αν ο $A$ είναι ταυτοδύναμος τότε,

$(I-A)\cdot (I-A)=I-2A A^{2}=I-2A A=I-A$.

Αν ο $I-A$ είναι ταυτοδύναμος τότε,

$(I-A)\cdot (I-A)=I-A\Rightarrow A=A^{2}$.

Εφαρμογές

Γραμμική Παλινδρόμιση

Στο πρόβλημα της γραμμικής παλινδρόμισης δοσμένων $X$ και $y$ καλούμαστε να βρούμε το $\beta$ ώστε να ελαχιστοποιήσουμε την παράσταση

$(y-X\beta )^{T}(y-X\beta )$.

Το βέλτιστο $\beta$ δίνεται από τον τύπο

${\hat {\beta }}=(X^{T}X)^{-1}X^{T}y$

με βέλτιστη τιμή είναι ${\hat {e}}^{T}{\hat {e}}$ όπου

${\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=(I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T})y$.

Ο πίνακας $M=I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}$ είναι ταυτοδύναμος και επομένως ${\hat {e}}^{T}{\hat {e}}=y^{T}My$,

${\begin{aligned}M^{2}&=(I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T})\cdot (I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T})\\&=I-2X(X^{T}X)^{-1}X^{T} X(X^{T}X)^{-1}X^{T}\\&=I-X(X^{T}X)^{-1}X^{T}\\&=M.\end{aligned}}$