Σύστημα Λόρεντζ

Ο ελκυστής του Λόρεντζ

Το Σύστημα Λόρεντζ είναι μια μορφοκλασματική δομή που αντιστοιχεί στη μακροχρόνια συμπεριφορά του ταλαντωτή Λόρεντζ. Ο ελκυστής δείχνει πώς οι διάφορες μεταβλητές του δυναμικού συστήματος εξελίσσονται με την πάροδο του χρόνου σε μια μη περιοδική τροχιά.

Το 1963, ο μετεωρολόγος Έντουαρντ Λόρεντζ ήταν ο πρώτος που τόνισε την πιθανή χαοτική φύση της μετεωρολογίας. Το μοντέλο Λόρεντζ, επίσης γνωστό ως δυναμικό σύστημα Λόρεντζ ή ταλαντωτής Λόρεντζ, είναι ένα απλουστευμένο πρότυπο των μετεωρολογικών φαινομένων που βασίζεται στη ρευστομηχανική. Το μοντέλο αυτό είναι ένα τρισδιάστατο δυναμικό σύστημα που παράγει χαοτική συμπεριφορά υπό ορισμένες συνθήκες.

Το πρότυπο του Λόρεντζ είχε σημαντικό αντίκτυπο στην ανάδειξη των πιθανών ορίων της ικανότητας πρόβλεψης της μακροπρόθεσμης κλιματικής και μετεωρολογικής εξέλιξης. Αποτελεί σημαντικό στοιχείο της θεωρίας ότι η ατμόσφαιρα των πλανητών και των αστέρων μπορούν να περιλαμβάνουν μια μεγάλη ποικιλία οιονεί περιοδικών καθεστώτων και υπόκεινται σε απότομες και φαινομενικά τυχαίες μεταβολές. Αποτελεί επίσης ένα χρήσιμο παράδειγμα στη θεωρία των δυναμικών συστημάτων, χρησιμεύοντας ως πηγή νέων μαθηματικών εννοιών.

Πρότυπο Λόρεντζ

Ο ελκυστής και οι σχετικές εξισώσεις δημοσιοποιήθηκαν το 1963 από τον Έντουαρντ Λόρεντζ.

Από μαθηματική άποψη, η σύζευξη της γήινης ατμόσφαιρας με τον ωκεανό περιγράφεται από το σύστημα συζευγμένων μερικών διαφορικών εξισώσεων Ναβιέρ-Στόκες της ρευστομηχανικής. Αυτό το σύστημα εξισώσεων ήταν πολύ περίπλοκο για να επιλυθεί αριθμητικά με τους υπολογιστές που υπήρχαν την εποχή του Λόρεντζ. Έτσι, ο Λόρεντζ είχε την ιδέα να αναζητήσει ένα εξαιρετικά απλουστευμένο πρότυπο αυτών των εξισώσεων για τη μελέτη μιας συγκεκριμένης φυσικής κατάστασης: του φαινομένου της συναγωγής Ρέιλεϊ-Μπενάρ. Το αποτέλεσμα ήταν ένα δυναμικό διαφορικό σύστημα με τρεις μόνο βαθμούς ελευθερίας, το οποίο ήταν πολύ πιο απλό να ολοκληρωθεί αριθμητικά από τις αρχικές εξισώσεις.

Δυναμικό διαφορικό σύστημα Λόρεντζ

Αυτό το διαφορικό σύστημα γράφεται ως εξής:

${\begin{cases}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=\sigma \left[y(t)-x(t)\right]\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}=\rho \,x(t)-y(t)-x(t)\,z(t)\\{\dfrac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}=x(t)\,y(t)-\beta \,z(t)\end{cases}}$

όπου σ, ρ και β είναι τρεις αυστηρά θετικές, σταθερές παράμετροι. Δεδομένου ότι το σύστημα προκύπτει από την απλοποίηση των εξισώσεων που διέπουν τη συναγωγή Rayleigh-Mπενάρ, οι παράμετροι ονομάζονται από τη φυσική τους προέλευση: σ είναι ο αριθμός Prandtl, και ρ, που καταχρηστικά αναφέρεται ως "αριθμός Rayleigh", είναι στην πραγματικότητα ο λόγος του αριθμός Rayleigh Ra προς τον κρίσιμο αριθμό Rayleigh Ra_c (Ra_c είναι η τιμή του Ra πάνω από την οποία το φυσικό σύστημα δεν μπορεί να παραμείνει αναλλοίωτο με την πάροδο του χρόνου, όπου επομένως υπόκειται σε κινήσεις συναγωγής).

Οι δυναμικές μεταβλητές x, y και z αντιπροσωπεύουν την κατάσταση του συστήματος σε κάθε χρονική στιγμή. Η φυσική ερµηνεία είναι η εξής: x(t) είναι ανάλογη της έντασης της κίνησης συναγωγής, y(t) είναι ανάλογη της διαφοράς θερµοκρασίας µεταξύ των ανοδικών και καθοδικών ρευµάτων και z(t) είναι ανάλογη της απόκλισης του κατακόρυφου προφίλ θερµοκρασίας από ένα γραµµικό προφίλ..

Συχνά υποθέτουμε σ = 10 και β = 8/3, με το ρ να παραμένει μεταβλητό. Το σύστημα παρουσιάζει χαοτική συμπεριφορά για ρ = 28, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα στο ψευδο-περιοδικό καθεστώς (της τάξης των 30 δευτερολέπτων). Ο χρόνος αυτός εξαρτάται από το ρ : μπορεί να φτάσει τα 180 δευτερόλεπτα για ρ = 24,3. Το κατώφλι για την εγκαθίδρυση του χαοτικού καθεστώτος είναι μεταξύ 24,29 και 24,30 για αυτές τις τιμές σ και β.

Σημεία ισορροπίας

Τα σημεία ισορροπίας ή σταθερά σημεία του συστήματος είναι οι σταθερές (x,y,z) λύσεις του διαφορικού συστήματος. Υπάρχουν ένα ή τρία τέτοια σημεία:

• το σταθερό σημείο (0, 0, 0) υπάρχει ανεξάρτητα από τις τιμές των πραγματικών παραμέτρων σ, ρ και β. Είναι σταθερό όταν $\rho <1$ (σύγκλιση στην κατάσταση ηρεμίας, χωρίς συναγωγή), ασταθές διαφορετικά (συναγωγή) ,
• τα δύο συμμετρικά σταθερά σημεία $\left(-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},-{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ και $\left({\sqrt {\beta (\rho -1)}},{\sqrt {\beta (\rho -1)}},\rho -1\right)$ υπάρχουν μόνο για την $\rho \geq 1$. Ανάλογα με τις τιμές των σ και ρ, είναι σταθερές (σταθερή συναγωγή) ή ασταθείς (περιοδικά κυμαινόμενη συναγωγή ή χαοτική).

Περιγραφή

Απορρόφηση 25.000 σημείων από έναν ελκυστή Λόρεντζ.

Ο ελκυστής Λόρεντζ ορίζεται ως το σύνολο των μακροχρόνιων τροχιών του παραπάνω δυναμικού συστήματος Λόρεντζ.

Πράγματι, όταν οι παράμετροι σ, ρ και β παίρνουν τις ακόλουθες τιμές: σ = 10, ρ = 28 και β = 8/3, το διαφορικό δυναμικό σύστημα Λόρεντζ παρουσιάζει έναν παράξενο ελκυστή με τη μορφή φτερών πεταλούδας, που απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα.

Για σχεδόν όλες τις αρχικές συνθήκες (εκτός από εκείνες για τα σταθερά σημεία), η τροχιά του συστήματος πλησιάζει γρήγορα τον ελκυστή, με την περιφορά της τροχιάς αρχικά να τυλίγεται γύρω από τη μία πτέρυγα, στη συνέχεια να πηδά από τη μία πτέρυγα στην άλλη για να αρχίσει να τυλίγεται γύρω από την άλλη πτέρυγα, και ούτω καθεξής, με έναν προφανώς ακανόνιστο τρόπο.

Η ύπαρξη ενός παράξενου ελκυστή για ορισμένες τιμές παραμέτρων είχε πιθανολογηθεί από τον Έντουαρντ Λόρεντζ ήδη από το 1963 βάσει αριθμητικών προσομοιώσεων. Ωστόσο, έπρεπε να περιμένουμε μέχρι το 2001 για μια αυστηρή απόδειξη του γεγονότος αυτού από τον Ουόρικ Τάκερ.

Σε αυτές τις περιπτώσεις, ο ελκυστής είναι ένα φράκταλ με διάσταση Χάουστορφ μεταξύ 2 και 3.

• 
  ρ = 28, σ = 10, β = 8/3
• 
• 
  ρ = 28
• 
  ρ = 15
• 
  Κινούμενη εικόνα του ρ = 0 ως 28

Παραλλαγές

Προκειμένου να μελετηθεί μαθηματικά ο ελκυστής Λόρεντζ, εμφανίστηκαν στην επιστημονική βιβλιογραφία αυστηρά αλλά διακριτά πρότυπα . Το κύριο πλεονέκτημά τους ήταν ότι ήταν ευκολότερο να μελετηθούν και, κυρίως, ότι μπορούσαμε να είμαστε σίγουροι για την ύπαρξή τους (αν και δεν γνωρίζαμε αν ο ελκυστής Λόρεντζ περιγράφεται σωστά από αυτά τα πρότυπα, βλ. παραπάνω).

Ανάλυση

Προσομοίωση στο Julia.

Προσομοίωση στο Julia

using Plots
# define the Lorenz attractor
@kwdef mutable struct Lorenz
    dt::Float64 = 0.02
    σ::Float64 = 10
    ρ::Float64 = 28
    β::Float64 = 8/3
    x::Float64 = 2
    y::Float64 = 1
    z::Float64 = 1
end

function step!(l::Lorenz)
    dx = l.σ * (l.y - l.x);         l.x  = l.dt * dx
    dy = l.x * (l.ρ - l.z) - l.y;   l.y  = l.dt * dy
    dz = l.x * l.y - l.β * l.z;     l.z  = l.dt * dz
end

attractor = Lorenz()

# initialize a 3D plot with 1 empty series
plt = plot3d(
    1,
    xlim = (-30, 30),
    ylim = (-30, 30),
    zlim = (0, 60),
    title = "Lorenz Attractor",
    marker = 2,
)

# build an animated gif by pushing new points to the plot, saving every 10th frame
@gif for i=1:1500
    step!(attractor)
    push!(plt, attractor.x, attractor.y, attractor.z)
end every 10

Προσομοίωση με το MATLAB

% Resolver para el intervalo de tiempo [0,100] con condiciones iniciales [1,1,1]
% ''f'' es un conjunto de ecuaciones diferenciales
% ''a'' es un arreglo que contiene variables x, y, z
% ''t'' es la variable de tiempo

sigma = 10;
beta = 8/3;
rho = 28;
f = @(t,a) [-sigma*a(1)   sigma*a(2); rho*a(1) - a(2) - a(1)*a(3); -beta*a(3)   a(1)*a(2)];
[t,a] = ode45(f,[0 100],[1 1 1]);     % Solución de EDO de Runge-Kutta de 4.º/5.º orden
plot3(a(:,1),a(:,2),a(:,3))

Προσομοίωση με το Python

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

rho = 28.0
sigma = 10.0
beta = 8.0 / 3.0

def f(state, t):
    x, y, z = state  # Desempaqueta el vector de estado
    return sigma * (y - x), x * (rho - z) - y, x * y - beta * z  # Derivadas

state0 = [1.0, 1.0, 1.0]
t = np.arange(0.0, 40.0, 0.01)

states = odeint(f, state0, t)

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(projection='3d')
ax.plot(states[:, 0], states[:, 1], states[:, 2])
plt.show()

Βιβλιογραφία

• G.A. Leonov; N.V. Kuznetsov (2015). «On differences and similarities in the analysis of Lorenz, Chen, and Lu systems». Applied Mathematics and Computation 256: 334–343. doi:10.1016/j.amc.2014.12.132. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2017-08-08. https://web.archive.org/web/20170808165508/http://www.ee.cityu.edu.hk/~gchen/pdf/LN2015.pdf. Ανακτήθηκε στις 2023-12-14. 
• Pchelintsev, A.N. (2022). «On a high-precision method for studying attractors of dynamical systems and systems of explosive type». Mathematics 10 (8): 1207. doi:10.3390/math10081207. https://www.mdpi.com/2227-7390/10/8/1207/pdf. 

Δημοσιεύσεις

• Bergé, Pierre· Pomeau, Yves· Vidal, Christian (1984). Order within Chaos: Towards a Deterministic Approach to Turbulence. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-84967-4. 
• Cuomo, Kevin M.; Oppenheim, Alan V. (1993). «Circuit implementation of synchronized chaos with applications to communications». Physical Review Letters 71 (1): 65–68. doi:10.1103/PhysRevLett.71.65. ISSN 0031-9007. PMID 10054374. Bibcode: 1993PhRvL..71...65C. 
• Gorman, M.; Widmann, P.J.; Robbins, K.A. (1986). «Nonlinear dynamics of a convection loop: A quantitative comparison of experiment with theory». Physica D 19 (2): 255–267. doi:10.1016/0167-2789(86)90022-9. Bibcode: 1986PhyD...19..255G. 
• Grassberger, P.; Procaccia, I. (1983). «Measuring the strangeness of strange attractors». Physica D 9 (1–2): 189–208. doi:10.1016/0167-2789(83)90298-1. Bibcode: 1983PhyD....9..189G. 
• Haken, H. (1975). «Analogy between higher instabilities in fluids and lasers». :Physics Letters A 53 (1): 77–78. doi:10.1016/0375-9601(75)90353-9. Bibcode: 1975PhLA...53...77H. 
• Hemati, N. (1994). «Strange attractors in brushless DC motors». IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications 41 (1): 40–45. doi:10.1109/81.260218. ISSN 1057-7122. 
• Hilborn, Robert C. (2000). Chaos and Nonlinear Dynamics: An Introduction for Scientists and Engineers (second έκδοση). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850723-9. 
• Hirsch, Morris W.· Smale, Stephen· Devaney, Robert (2003). Differential Equations, Dynamical Systems, & An Introduction to Chaos (Second έκδοση). Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-349703-1. 
• Knobloch, Edgar (1981). «Chaos in the segmented disc dynamo». Physics Letters A 82 (9): 439–440. doi:10.1016/0375-9601(81)90274-7. Bibcode: 1981PhLA...82..439K. 
• Kolář, Miroslav; Gumbs, Godfrey (1992). «Theory for the experimental observation of chaos in a rotating waterwheel». Physical Review A 45 (2): 626–637. doi:10.1103/PhysRevA.45.626. PMID 9907027. Bibcode: 1992PhRvA..45..626K. 
• Leonov, G.A.; Kuznetsov, N.V.; Korzhemanova, N.A.; Kusakin, D.V. (2016). «Lyapunov dimension formula for the global attractor of the Lorenz system». Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 41: 84–103. doi:10.1016/j.cnsns.2016.04.032. Bibcode: 2016CNSNS..41...84L. 
• Lorenz, Edward Norton (1963). «Deterministic nonperiodic flow». Journal of the Atmospheric Sciences 20 (2): 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. Bibcode: 1963JAtS...20..130L. 
• Mishra, Aashwin; Sanghi, Sanjeev (2006). «A study of the asymmetric Malkus waterwheel: The biased Lorenz equations». Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science 16 (1): 013114. doi:10.1063/1.2154792. PMID 16599745. Bibcode: 2006Chaos..16a3114M. 
• Pchelintsev, A.N. (2014). «Numerical and Physical Modeling of the Dynamics of the Lorenz System». Numerical Analysis and Applications 7 (2): 159–167. doi:10.1134/S1995423914020098. 
• Poland, Douglas (1993). «Cooperative catalysis and chemical chaos: a chemical model for the Lorenz equations». Physica D 65 (1): 86–99. doi:10.1016/0167-2789(93)95006-M. Bibcode: 1993PhyD...65...86P. 
• Saltzman, Barry (1962). «Finite Amplitude Free Convection as an Initial Value Problem—I». Journal of the Atmospheric Sciences 19 (4): 329–341. doi:10.1175/1520-0469(1962)019<0329:FAFCAA>2.0.CO;2. Bibcode: 1962JAtS...19..329S. 
• Shen, B.-W. (2015-12-21). "Nonlinear feedback in a six-dimensional Lorenz model: impact of an additional heating term". Nonlinear Processes in Geophysics. 22 (6): 749–764. doi:10.5194/npg-22-749-2015. ISSN 1607-7946.
• Sparrow, Colin (1982). The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors. Springer. 
• Tucker, Warwick (2002). «A Rigorous ODE Solver and Smale's 14th Problem». Foundations of Computational Mathematics 2 (1): 53–117. doi:10.1007/s002080010018. https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s002080010018.pdf. 
• Tzenov, Stephan (2014). «Strange Attractors Characterizing the Osmotic Instability». .[[arXiv]]:[http://arxiv.org/abs/1406.0979v1 1406.0979v1]