Skalarprodukt/K/Polarisationsformel mit Norm/Fakt/Beweis/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

a) Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

gilt.

b) Zeige, dass bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2} {\mathrm {i} }\Vert {v {\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

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