Alternierende Abbildung/Vertauschungseigenschaft/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$-Vektorräume und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Es sei

$\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W$

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

$\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r 1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s 1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r 1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s 1},\ldots ,v_{n})\,.$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen