Satz von Schur-Horn

In der Mathematik charakterisiert der Satz von Schur-Horn die möglichen Eigenwerte einer hermiteschen Matrix mit gegebener Hauptdiagonale.

Formulierung des Satzes

Eine hermitesche Matrix mit Diagonaleinträgen $d_{1}\geq d_{2}\geq \ldots \geq d_{n}$ und Eigenwerten $\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \ldots \geq \lambda _{n}$ existiert genau dann, wenn die Schur-Horn-Ungleichungen

$d_{1}\leq \lambda _{1}$

$d_{1} d_{2}\leq \lambda _{1} \lambda _{2}$

$\ldots$

$d_{1} \ldots d_{n-1}\leq \lambda _{1} \ldots \lambda _{n-1}$

und die Gleichung

$d_{1} \ldots d_{n}=\lambda _{1} \ldots \lambda _{n}$

erfüllt sind.

Die Notwendigkeit der Bedingung wurde von Issai Schur bewiesen, die umgekehrte Richtung von Alfred Horn.

Literatur

• I. Schur: Über eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf die Determinantentheorie, Sitzungsber. Berl. Math. Ges. 22 (1923), 9–20.
• A. Horn: Doubly stochastic matrices and the diagonal of a rotation matrix, American Journal of Mathematics 76 (1954), 620–630.
• Andreas Knauf: Mathematische Physik: Klassische Mechanik. Springer, 2017, ISBN 978-3-662-55776-1, S. 349 ff.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Horn's Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Terry Tao: 254A, Notes 3a: Eigenvalues and sums of Hermitian matrices
• Sheela Devadas, Peter J. Haine, Keaton Stubis: The Schur-Horn Theorem