In seinem 9. Weltcuprennen kam Heinzer mit Rang 8 in der Hahnenkamm-Abfahrt am 17. Januar 1981 erstmals in die Weltcupränge, sein erstes Podest folgte am 6. März 1981 bei der Abfahrt in Aspen. In seiner aktiven Zeit im Skiweltcup zwischen 1981 und 1994 konnte er besonders in der Disziplin Abfahrt zahlreiche Erfolge feiern. Er gewann mindestens ein Rennen auf den bedeutendsten Abfahrtsstrecken (Val-d’Isère, Wengen, Kitzbühel, Gröden, Garmisch-Partenkirchen, Aspen, Lake Louise) und stand insgesamt 17 Mal zuoberst auf dem Podest. Zwischen 1991 und 1993 gewann er dreimal hintereinander den Abfahrtsweltcup, 1991 zusätzlich den Super-G-Weltcup.
Sein grösster Erfolg war der Gewinn des Abfahrtsweltmeistertitels in Saalbach-Hinterglemm 1991. Davor hatte Franz Heinzer bei Weltmeisterschaften bei den WM-Abfahrten von Schladming (1982), Bormio (1985) und Crans-Montana (1987) jeweils den vierten Platz belegt. 1989 war er in Vail in der teaminternen Qualifikation gescheitert. Bei den Olympischen Winterspielen 1994 in Lillehammer kam er nur wenige Meter weit, da gleich nach dem Start die Skibindung brach. Wenige Wochen später beendete Heinzer seine Karriere.
Seither leitet er einen Sportartikelmarkt – derzeit in Altdorf – und betreut seit dem Winter 2004 das Schweizer Abfahrerteam als Assistenztrainer. Er lebt in Brunnen im Kanton Schwyz.
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