Diskussion:Quaternion

Inkongruenzen

In der englischen Wikipedia heisst es: "In mathematics, the quaternions are a number system that extends the complex numbers." In der deutschen: "Die Quaternionen sind ein Zahlbereich, der den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitert". Was denn nun, komplexe oder nur reele Zahlen-Erweiterung? (nicht signierter Beitrag von 178.165.130.177 (Diskussion) 08:58, 25. Apr. 2015 (CEST))

Beides ist richtig. Die komplexen Zahlen sind ein Unterkörper der Quaternionen. Und es gibt ungeheuer viele Unterkörper der Quaternionen, die zu den komplexen Zahlen isomorph sind. Insofern ist die Weiterentwicklung von reell über komplex zu Quaternion zwar unstrittig, aber nicht so geradlinig wie von reell zu komplex. So in etwa steht es auch da. Ob das so früh im Artikel schon zu kompliziert ist? --Nomen4Omen (Diskussion) 11:49, 25. Apr. 2015 (CEST)

Polardarstellung - Addition von Skalar und Quaternion?

$x=\cos \alpha v\cdot \sin \alpha$

Bin ich der einzige, der die Addition von Skalar $\cos \alpha$ und Quaternion $v\cdot \sin \alpha$ verwirrend findet? Das wird wohl auf eine Kombination aus Real- und Imaginärteil ähnlich wie bei komplexen Zahlen $a bi$ hinhauslaufen... Aber ist die Betrachtung von reinen Quaternionen (hier v) als Äquivalent zu imaginären Zahlen (b i) so üblich? Oder geht man einfach davon aus, dass in solchen Fällen die reelle Zahl automatisch als ein Quaternion mit Vektorteil 0 betrachtet wird? --134.109.192.54 16:24, 12. Feb. 2008 (CET)

Muss man wohl, so wie bei der Addition einer komplexen mit einer reellen Zahl. Die zu addierende Zahl muss aber einen praktischen Bezug haben, der sich darstellen lässt, sonst man sowas ja physikalisch keinen Sinn.

Fraktal

Kann jemand erläutern, was genau das Bild darstellt? Wäre nett. --Night Ink 21:09, 20. Jul 2004 (CEST)

Ich vermute, dass es ein Fraktal ist, zu dessen Erstellung Quaternionen benutzt werden. Den Hochlader dieses Bildes, Benutzer:Asb, hab ich gefragt, und warte auf seine Antwort hier. --SirJective 21:40, 20. Jul 2004 (CEST)

Ja, die Vermutung ist richtig. Ob die Visualisierung korrekt oder sinnvoll ist, kann ich allerdings nicht beurteilen; interessant für mich war hauptsächlich die Möglichkeit der Visualisierung eines dreidimensionalen "Sub-Space" aus einem vierdimensionalen "Quaternion-Space"; das machen nämlich andere Fraktalgeneratoren i.d.R. nicht, weil die Berechnung viel aufwändiger, also sowohl algorothmisch komplizierter umzusetzen als auch bei der Berechnung viel länger dauernd ist.

Das Quaternion-Fraktal ist mit der Windows-Freeware "ChaosPro" von Martin Pfingstl (http://www.chaospro.de/) gerechnet, deren Hilfe-Datei auch sehr ausführlich auf die vordefinierten Fraktaltypen wie Julia- und Mandelbrotmengen, aber eben auch IFS und Quaternionen eingeht. Neben der Theorie wird dort sogar der mathematische Anteil erörtert, mit dem ich allerdings nichts anfangen kann ("The product of q1q2 is: q1q2 = [(s1s2 - x1x2 - y1y2 - z1z2) (s1x2 s2x1 y1z2 - y2z1)i (s1y2 s2y1 z1x2 - z2x1)j (s1z2 s2z1 x1y2 - x2y1)k]"...), deshalb wäre es auch Unsinn, wenn ich mehr zu diesem Fraktal erörtern wollte. Wer sich dafür interessiert, sollte sich das Programm und die Hilfedatei einfach selbst anschauen. asb 01:09, 21. Jul 2004 (CEST)

Singular oder Plural

Singular oder Plural?? Wäre es nicht konsequent, diesen Artikel Quaternionen zu nennen, nachdem die Artikel über die anderen Zahlen auch rationale Zahlen, reelle Zahlen und komplexe Zahlen heissen? — Nol Aders 2. Jul 2005 23:25 (CEST)

Uff! Es ist spät! — Die haben alle einen #REDIRECT auf den Singular; wäre schon konsequent! — Nol Aders 2. Jul 2005 23:28 (CEST)

Es ist eine Konvention, die Artikel im Singular zu betiteln. Nach einer ausführlichen Konvention hatte man sich darauf geeinigt, dass diese Konvention auch für Zahlen-Artikel zur Anwendung kommen soll.--MKI 3. Jul 2005 11:15 (CEST)

Komplexe Zahlen

Zu jedem Quaternion $J=x_{1}\mathrm {i} x_{2}\mathrm {j} x_{3}\mathrm {k}$ mit $x_{1}^{2} x_{2}^{2} x_{3}^{2}=1$ definiert

$a b\mathrm {i} \mapsto a bJ$

eine Einbettung $\mathbb {C} \to \mathbb {H}$. Wenn man das in den Artikel aufnimmt, sollte man das in einen geeigneten Kontext einbetten: Kommutative Unteralgebren, Grad einzelner Elemente über $\mathbb {R}$.--Gunther 20:13, 10. Dez 2005 (CET)

Rotation im Hyperkomplexen Raum

Im Artikel steht, dass sich mit Quaternionen Drehungen im Raum beschreiben lassen. Das Grundprinzip habe ich hoffentlich verstanden - Eine Methode die man scheinbar auch in der Quantenphysik anwendet. Allerdings sollte man ein wenig erläutern wie dies funktioniert.

Ich persönlich arbeite gerade an dem Artikel Quantengatter und benötige dabei etwas unterstützung bei der Mathematik.

Beispielsweise sollte man die Matrixdarstellung in eine (Hyper-)Polardarstellung, und zurück, konvertieren können:

$\left|1\right\rangle \cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\to \left|1\right\rangle \cdot e^{i{\frac {\pi }{\pi }}}\cdot e^{j{\frac {\pi }{\pi }}}\cdot e^{k{\frac {\pi }{\pi }}}$

Wobei es sich bei $\left|1\right\rangle$ um einen Einheitsvektor im hyperkomplexen Raum in Bra-Ket-Notation handelt.

Außerdem gibt es afaik die Möglichkeit der Darstellung als periodische Schwingung:

$\left|1\right\rangle \cdot \sin \varphi \left|1\right\rangle \cdot \cos \varphi j\cdot \left|1\right\rangle \cdot \sin \theta j\cdot \left|1\right\rangle \cdot \cos \theta$

Allerdings weiß ich weder wie die korrekte Syntax aussieht, noch wie die entsprechende Transformation funktioniert.

Kann mir hier jemand weiterhelfen? MovGP0 22:13, 12. Dez 2005 (CET)

Problem gelöst: Quaternion#Achsenwinkel Darstellung

MovGP0 22:01, 18. Jan 2006 (CET)

Rotation versus Drehung

Rotation im hiesigen Zusammenhang ist ein Anglizismus. Siehe auch Diskussion:Drehmatrix#Rotationsmatrix_versus_Drehmatrix. --Wolfgangbeyer 00:26, 15. Jan 2006 (CET)

Mein Lateinwörterbuch sagt dazu: lat. rotatio, rotationis = kreisförmige Bewegung

Funktionen

Dieser Teil wirkt auf mich etwas ausufernd. Natürlich kann man Quaternionen in jede komplexe Funktion formal einsetzen, aber wozu?--Gunther 19:42, 18. Jan 2006 (CET)

Ich habe es aus der englischen Wikipedia übernommen, um anderen Wikipedia-Lesern das Nachschlagen in der englishen Wikipedia zu ersparen. Ich weiß zwar keinen konkreten Anwendungsfall, finde die Vorgehensweise aber interessant - immerhin dachte ich bis zum Lesen des englischen Artikels, dass trigonometrische Funktionen nur für skalare Werte definiert sind...

Zudem kannte ich bis jetzt keinen Unterschied zwischen der Multiplikation und dem Punktprodukt, da sich im Fall der Skalare der selbe Wert ergibt. Das Punktprodukt hatte ich bisher zur besseren Lesbarkeit in Verwendung.

MovGP0 21:56, 18. Jan 2006 (CET)

Dann kann man ja einmal erklären, wie man Funktionen auf die Quaternionen fortsetzt und welche Probleme sich aus der Nichtkommutativität ergeben, aber alle möglichen einzelne Funktionen aufzuzählen, ist überflüssig und für den Leser auch nicht interessant.

Das Skalarprodukt mit einem Punkt zu bezeichnen halte ich für eine ganz schlechte Idee; wir müssen nicht jeden Unsinn aus der en-WP übernehmen.--Gunther 22:18, 18. Jan 2006 (CET)

Ich möchte dich nicht davon abhalten - ich selbst weiß leider nicht, wie man die Funktionen entsprechend fortsetzt.

Auch im Artikel Skalarprodukt wird der Punkt als alternative Schreibweise zu den spitzen Klammern verwendet - es dient zumindest der Lesbarkeit. Wenn du einen besseren Vorschlag anzubieten hast, würde ich mich über ein Beispiel freuen.

thx, MovGP0 19:33, 19. Jan 2006 (CET)

Punkte bezeichnen Multiplikation, Skalarprodukte kann man mit spitzen Klammern schreiben, wenn es dazu irgendetwas zu sagen gibt.--Gunther 22:56, 19. Jan 2006 (CET)

Vorschlag:

• $q_{1}\,q_{2}=q_{1}\cdot q_{2}$ für das Grassman Produkt
• $\langle q_{1},q_{2}\rangle =q_{1}\bullet q_{2}$ für das Skalarprodukt (Euklidsches gerades Produkt).

Zusätzlich müsste man den Artikel Wikipedia:Tabelle mathematischer Symbole entsprechend erweitern, wenn wir uns auf einen Standard einigen können. MovGP0 20:20, 21. Jan 2006 (CET)

Mal ganz grundsätzlich:

• Entweder wir stellen eine allgemein übliche Notation vor. Dann müssen wir recherchieren, was denn tatsächlich allgemein verwendet und verstanden wird (dazu gehören definitiv $a\cdot b$ für die Multiplikation, ${\bar {a}}$ für die Konjugation und $|a|$ oder $\|a\|$ für den Betrag; viel mehr wird es nicht sein). Da müssen nicht wir uns einigen, sondern das gibt uns der Rest der Welt vor.
• Oder es geht nur um die Belange dieses Artikels. Dann brauchen aber auch nur die Konstruktionen eine Bezeichnung, die nochmal vorkommen. Das trifft auf die exotischen Produkte momentan nicht zu; für sie könnte man ohnehin statt einer Bezeichnung den expliziten Ausdruck verwenden.

Für das Skalarprodukt würde ich spitze Klammern verwenden: Das ist in der Mathematik generell die Standardnotation, die dicken Punkte kenne ich nur aus Schulbüchern.--Gunther 20:47, 21. Jan 2006 (CET)

Frage:

Normierte Quaternionen werden im Artikel so beschrieben, dass $\|q_{n}\|=1$ gelten muss für ${\|q\|}={\|a i\,b j\,c k\,d\|}={\sqrt {a^{2} b^{2} c^{2} d^{2}}}$. Im Abschnitt über die Rotationsmatrix eines Quaternions steht nun als Voraussetzung, dass das Quaternion normiert sein muss... aber die Bedingung die dort vermerkt ist lautet aber $w x y z=1$. Ich würde da ${\sqrt {w^{2} x^{2} y^{2} z^{2}}}=1$ erwarten... Ist da evtl. ein Fehler?

Ja, Du hast recht.--Gunther 16:39, 29. Jan 2006 (CET)

Allgemeine Regel zur Berechnung von Funktionen mit Quaternion als Argument

Man kann den Vektorteil einer Quaternion (wie jeden Vektor) als Produkt aus Betrag und Signum (Einheitsrichtungsvektor) schreiben. Ersetzt man in der Quaternion das Signum des Vektorteils durch die komplexe Imaginäreinheit i, hat man eine komplexe Zahl (Realteil = Skalarteil, Imaginärteil = Betrag des Vektorteils). Von dieser Zahl (ich würde sie als komplexe Adjunkte der Quaternion bezeichnen; da ich in der Literatur keinen Terminus dafür gefunden habe, habe ich mir erlaubt ihn selbst zu kreieren) berechnet man die gewünschte Funktion - sofern sie die Bedingung der Einbettung erfüllt {Dank an Nomen4Omen für den Hinweis} - nach den Regeln der komplexen Analysis und ersetzt im Ergebnis das i wieder durch das Signum des Vektorteils der ursprünglichen Quaternion. Das war's!
Begründung: Wenn u eine reine Einheitsquaternion (also ein Einheitsvektor) ist, dann ist u² = -1, d.h. jede reine Einheitsquaternion ist eine Imaginäreinheit.
--GerdW62 (Diskussion) 15:19, 17. Feb. 2013 (CET)

Ich habe das auch eine Weile gedacht. Die „Begründung“ ist in sich stimmig, reicht aber nicht aus für alle komplexen Funktionen (s. Quaternion#Fortsetzungen komplexer Funktionen). Das dort gebrachte Beispiel $g(z):=\mathrm {i}$ ist zwar signifikant. Aber intuitiv würde ein jeder ${\tilde {g}}(x):=\mathrm {i}$ für die einzig legitime Fortsetzung halten. Trotzdem kommt die »komplexe Adjunkte« zu einem anderen Ergebnis.

Noch deutlicher wird dies vllt mit der Funktion $h(z):=z\mathrm {i} =:u(\xi ,\eta ) v(\xi ,\eta )\mathrm {i}$, bei der $u(\xi ,\eta )=-\eta$ nicht gerade in $\eta$ ist. Die Bedingung Einbettung ist nicht erfüllt, und so lässt sich dieses $h(z)$ nicht mit der »komplexen Adjunkten« auf ganz $\mathbb {H}$ fortsetzen. Eine Fortsetzung auf den Halb-4-Raum $\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {H} \mid x_{1}>0$ ist ${\tilde {h}}(x):=x\mathrm {i}$ und auf die andere Hälfte $\{(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {H} \mid x_{1}<0$ ist ${\hat {h}}(x):=-x\mathrm {i}$. (Der Knackpunkt ist evtl, dass das Koeffizienten-$\mathrm {i}$ genauso „mitgenommen“ werden muss wie das in der quaternionischen Variablen.)

Ansonsten bin ich ebenfalls der Meinung, dass man die »komplexe Adjunkte« oft brauchen kann, und etwas verwundert, dass ich in meiner Literatur und in den von mir verstehbaren Wikis keinen Terminus technicus dafür finden kann. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:00, 5. Mär. 2013 (CET)

Aufteilung?

Was man relativ gut abspalten könnte, wäre der Themenkomplex Einheitsquaternionen und Drehungen; das hat mit der additiven Struktur nur noch wenig zu tun. Ein geeignetes Lemma müsste allerdings erst noch gefunden werden.--Gunther 16:42, 29. Jan 2006 (CET)

Fermionen

Auch nach Fermion ist Fermion ein Elementarteilchen, wieso steht dann weiter unten:

Gilt nicht für Fermionen. Diese benötigen eine 720° Drehung um in die Ausgangslage zurück zu kommen.

(nicht signierter Beitrag von 84.176.243.69 (Diskussion) 00:31, 1. Feb 2006)

Die ganze Tabelle ist mir unklar, was sind $q_{A},q_{B}$?--Gunther 00:39, 1. Feb 2006 (CET)

Die Tabelle soll ausdrücken wie sich die Konjugation und Negation auf die Drehrichtung auswirkt.

Eine konjungierte Drehung von Punkt A nach Punkt B ergibt eine Drehung von Punkt B nach Punkt A. Hierbei ist:

q_r: Ein Rotations-Quaternion.

q_A: Eine, durch einen Vektor beschriebene, Position im Raum.

q_A: Eine andere, durch einen Vektor beschriebene, Position im Raum.

Fermionen: Fermionen sind Elementarteilchen mit einem nicht ganzzahlingen Spin. Diese benötigen bei einer Drehung - im Gegensatz zu Elementarteilchen mit ganzzahligem Spin bzw. Objekten im makroskopischen Maßstab - nicht 360° sondern 720° um wieder in die Ausgangslage zurückzukehren. Da jedoch bei der Negation das Quaternion nur um -360° "verdreht" wird, gelten die entsprechenden Formel nicht für Fermionen.

MovGP0 10:40, 2. Feb 2006 (CET)

Bei diesem Effekt geht es aber nicht um Raumpunkte.--Gunther 22:17, 2. Feb 2006 (CET)

afaik ist aber die dazugehörige Mathematik die selbe. Aber villeicht könntest du mich auch in diesem Punkt eines besseren belehren. -- MovGP0 00:22, 3. Feb 2006 (CET)

Grob gesagt: Im Raumanteil verhalten sich Fermionen genau wie andere Teilchen auch, aber sie haben noch den Spin-Anteil; in Quaternionen dürfte das $x\mapsto qx{\bar {q}}$ für den Raumanteil $x$, aufgefasst als reines Quaternion, und $y\mapsto qy$ für den Spin-Anteil sein. (Aber ich bin kein Physiker, also ohne Gewähr.)--Gunther 00:54, 3. Feb 2006 (CET)

Gerades Produkt

Ich denke ich habe hier einen Übersetzungsfehler. Übersetzt man "Euklid odd Product" besser mit "gerades euklidsches Produkt" oder mit "euklisches Geradenprodukt"? Das selbe gilt natürlich auch für die Grassman- bzw. [U|u]ngeraden-Produkte. MovGP0 23:03, 18. Feb 2006 (CET)

Brücke in Dublin

Sollte man erwähnen, dass er seine Entdeckung in die "Broom Bridge" in Dublin eingeschnitzt hat, wo auch eine Plakette als Denkmal angebracht ist.

Geklärt und enthalten - siehe Text

Argumentationsfehler / Zeitablauf ?

Es steht sinngemäß vermerkt, daß es Ansätze für die Zahlen schon früher gegeben hätte, jedoch ist die Jahreszahl später datiert. (????) -> "Andere, auch allgemeinere Multiplikationsregeln wurden von Hermann Graßmann untersucht (1855)."

Anwendungen Elektrotechnik

Es fehlen IMHO die Anwendungen in der Beschreibung der theoretischen Elektrotechnik ub Sachen Magnetpotenzial etc...217.194.34.103 18:10, 15. Okt. 2008 (CEST)

Geschlecht: Die oder das Quaternion?

Mir ist aufgefallen, dass der Begriff des Quaternions nicht mit einheitlichem Geschlecht verwendet wird. Viele sagen offensichtlich auch "die Quaternion" (so auch mein Dozent), was sich auch durch eine entsprechende Google-Suche bestätigen lässt. Allerdings scheint das Neutrum verbreiteter zu sein. Dem Duden scheint das Wort ohnehin nicht bekannt zu sein. Vielleicht wäre ein Hinweis auf diese Problematik im Artikel angebracht?

"die Quaternion" bezieht sich darauf, dass es sich um eine Größe handelt, die aus 4 Komponenten besteht, also eine "Mehrzahl" ist. Das Neutrum macht die Quaternion zu einem Ion, was inhaltlich irreführend ist. Außerdem gibt es noch mehr Worte die auf -ion enden und trotzdem kein Neutrum sind wie z.B. die Nation.

Die Frage habe ich mir auch gestellt. Die meisten -ion Wörter dürften weiblich sein (Union, Information, Fraktion, Fusion, ...) Als Ausnahmen fallen mir nicht sehr viele ein: Ion(n), Fermion(n), Spion(m) :-) -- 194.237.142.21 09:13, 16. Okt. 2008 (CEST)

http://wortschatz.uni-leipzig.de bestätigt den weiblichen Artikel: "die Quaternion" - Es wäre wohl sinnvoll, im Artikel an den (zahlreichen) Stellen das Geschlecht anzupassen, die derzeitige Inkonsistenz ist wirklich nicht schön. Werde das wohl demnächst mal machen... --Daniel Strobusch 00:48, 16. Mär. 2010 (CET)

Ich schließe mich den Ausführungen der Vorredner an. Mein "wohl irrtümlich: das Quaternion" sollte den Gebrauch des neutralen Geschlechts etwas zurückdrängen. Das ist nun rausgeschmissen worden. Wie gehen wir vor? Im Artikel ist es ja schon einheitlich. Der Nachweis, dass die Autoren, die das Quaternion schreiben, auf dem Holzweg sind, dürfte sehr schwierig sein. Also einfach ignorieren! --Nomen4Omen (Diskussion) 10:47, 30. Aug. 2015 (CEST)

"Einfach ignorieren" erscheint mir unangemessen. Google Books liefert für "die quaternion" knapp doppelt so viele Treffer wie für "das quaternion", aber in beiden Fällen überwiegend alte Bücher (mit der Beschränkung auf das 21. Jahrhundert je 6 valide Treffer). Hier die ersten 20 Treffer für "das quaternion", darunter auch ein Wörterbuch und gewichtige Autoren:

• Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen, ISBN 3642475361, Adolf Hurwitz - 2013 (tatsächlich 1919, Prof. für Höhere Mathematik ETH Zürich)
• gleiches Werk, andere ISBN: 5876445134
• Anwendungsorientierte Mathematik für ingenieurwissenschaftliche ... ISBN 3446439781, Rudolf Taschner - 2014
• Automatische Konfiguration der Bewegungssteuerung von Industrierobotern, ISBN 3832520570, Michael Wenz - 2008
• Ein Steuersystem für die telemanipulierte und autonome ... ISBN 3866447779, Holger Mönnich - 2012
• A dictionary of the German and English languages id=v1AMAAAAYAAJ, 1849
• Das Monochord und Farbenspectrum id=8wMCAAAAYAAJ, Franz Melde - 1864
• Untersuchungen ueber die Summen von Quadraten id=ZfMGAAAAYAAJ, Rudolf Lipschitz - 1886
• Vorlesungen über Grundlagen der Geometrie ISBN 3662400782, Kurt Reidemeister - 2013 (tatsächlich 1930)
• Forschung und Technik: Im Auftrage der Allgemeinen ... ISBN 3642920942, W. Petersen - 2013 (tatsächlich 1930)
• Mathematische Werke: Zahlentheorie, Algebra und Geometrie. Zweiter Band id=t2pbAAAAcAAJ, Adolf Hurwitz - 1933
• Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu ... id=-GpCAQAAMAAJ, Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen - 1896
• Nachrichten von der Königl..., gleiches Werk, andere id=ZjRGAQAAMAAJ
• Mathematische Werke von Adolf Hurwitz - Band 2 id=-N7uAAAAMAAJ, Adolf Hurwitz, George Pólya, 1933
• dito, id=b0A8AQAAMAAJ
• dito, id=NeQcAAAAMAAJ
• Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik id=8dsLAAAAYAAJ, 1899
• Novum Testamentum id=loATAAAAIAAJ, 1956, Zitat: ... Paulusvita. Diese endet hier mit Bl. 9 r t. Bl. 8r hat das Quaternion a. Das sind 32 Columnen zu 22-23 Zeilen.
• Journal für die reine und angewandte Mathematik id=BQYPAAAAIAAJ, 1940
• Elemente der quaternionen id=ddcrAAAAYAAJ, Sir William Rowan Hamilton, William Edwin Hamilton - 1884, wäre eine gewichtige Quelle, aber Google zeigt leider nicht einmal ein Snippet.

So geht das weiter mindestens bis Treffer 50, aber unter den Treffern ab 80 sind viele Nieten ("das quaternion" kommt nicht vor).

Im Französischen gibt es die Regel -tion → weiblich, aber Google Books liefert nur 9 Treffer für das weibliche "la quaternion", "Ungefähr 2.820" für "le quaternion", von denen 140 auch angezeigt werden, beide Suchen ohne Zeitbeschränkung, das Geschlecht Neutrum gibt es im Französichen nicht.--Rainald62 (Diskussion) 12:49, 21. Aug. 2018 (CEST)

Nun, da sind wirklich gewichtige Autoren dabei. Es wäre aber zu klären, ob es zu das Quaternion eine Herleitung, Regel oder Etymologie gibt. Im Artikel wird die Etymologie

lat. quaternio, -ionis f. „Vierheit“

bemüht. Allerdings ohne direkt nachschlagbaren Beleg. Wenn das belegt ist – ein lat. Lexikon habe ich leider nicht –, dann ist das Quaternion falsch. (Diese Leute argumentieren möglicherweise in der Linie Kation, Anion, Fermion, Neutron, Neuron – also auf der griechischen Schiene. Aber Quater (quatuor=4) ist eindeutig lateinischen Ursprungs; im Griechischen heißt das tetra, Präfixform von τέτταρα=4.)
Allerdings spielt – anders als in der Rechtsprechung – die „Volksmeinung“ bei den Sprachen am allerletzten Ende des allerletzten Tages die entscheidende Rolle. Dennoch sollten wir nicht gegen wirklich gute Argumente ihr „einfach so“ nachgeben.
Vielleicht kann man es landschaftlich eingrenzen. So wie bei das Tetraëder, wo die Österreicher anscheinend der Tetraëder sagen, obwohl es von -ἕδρον (n., „Sitzfläche“) kommt. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:30, 21. Aug. 2018 (CEST)

Das Problem ist wohl, dass das Wort über das Englische ins Deutsche gekommen ist und es im Englischen kein grammitikalisches Geschlecht gibt. --Digamma (Diskussion) 20:58, 21. Aug. 2018 (CEST)

Das kann natürlich sein. Gibt es dann Vorbilder, wie in solchen Fällen vorgegangen wurde?
Was übrigens Hurwitz angeht, finde ich hier einen leicht verifizierbaren Beleg "eine primitive Quaternion" für grammatikalisch weiblich!
Vielleicht kann man sich auf grammatikalisch weiblich einigen unter Erwähnung von gelegentlichem grammatikalisch sächlichem Gebrauch? --Nomen4Omen (Diskussion) 09:49, 22. Aug. 2018 (CEST)

Der angeführte Beleg ist mit Prof. Hecke unterzeichnet, stammt also nicht von Hurwitz. Wie man indes in der Leseprobe der Hurwitz-Vorlesungen sehen kann, verwendet Hurwitz mindestens auf den ersten Seiten durchgehend das neutrale Geschlecht. Da das Wort vermutlich eine künstliche Bildung ist, kann auch nicht unbedingt etymologisch argumentiert werden. Denn warum sollen künstlich geschaffene Wörter nicht Teile aus verschiedenen Ursprungssprachen kombinieren? --2003:EB:FF1C:DF28:3130:12BD:6AED:C34C 18:03, 9. Mai 2024 (CEST)

Hinweis

Ich versuche mich gerade an einer grundlegenden Überarbeitung, Änderungen sind also derzeit nicht sinnvoll.--Gunther 01:24, 14. Okt. 2006 (CEST)

Abgeschlossen. Bei Bedarf kann ich auch gerne ein bisschen erklären, was warum jetzt wie anders ist.--Gunther 03:33, 15. Okt. 2006 (CEST)

Euler-Winkel Darstellung Umkehrung

Habe die hinterlegte Formel (EulerWinkel -> Quadernion) mit mehrmals durchgerechnet und die Ergebnisse mit existierenden Anwendungen vergleichen. Die Zahlenwerte stimmen überein, es schein nur die falsche Reigenfolge zu sein Q(w,x,y,z) -> Q(w,y,z,x) => Drehung um Euler ZYX. Auch mit den Vorzeichen komme ich laut Definition Vz=q/|q| nicht auf die richtigen Werte...vielleicht wäre ein Beispiel zur Umrechnung mit gegebenen Euler Winkel hilfreich. (nicht signierter Beitrag von Hawk8977 (Diskussion | Beiträge) 14:11, 14. Okt. 2006)

Ich werde es bei der Überarbeitung (s.o.) mit kontrollieren, danke für den Hinweis.--Gunther 14:14, 14. Okt. 2006 (CEST)

Ich habe es auf die Z-X'-Z''-Konvention umgeschrieben, das schien mir insgesamt nicht zu stimmen.--Gunther 03:01, 15. Okt. 2006 (CEST)

Hallo Gunther! Der Ansatz war nicht schlecht, nur schienen die Winkel irgendwie verdreht (s.o.)->Gibt es hierzu eine Literaturempfehlung wo man das ganze mal erörtern könnte?

Noch eine wichtige Frage (bin noch nirgends auf eine Antwort gestoßen): Gibt es eine Möglichkeit einen Einheitsvektor (bzw. seine Winkel zu den Ebenenen XYZ) irgendwie direkt oder über den Eulerwinkel auf Quaternionen umzurechnen? -> Vielen Dank für einen Tipp!.--Hawk8977

Nein, wirklich akzeptable Literatur habe ich zu diesem Punkt nicht gefunden. Deine Frage ist mir nicht klar, ein Einheitsvektor im dreidimensionalen Raum definiert ja keine Drehung?--Gunther 14:29, 4. Nov. 2006 (CET)

Hallo Gunther! Das ist richtig, ein Einheitsvektor definiert keine Drehung sondern eine Orientierung im Raum - Genauso geben im übertragenen Sinn aber auch die Quaternionen bzw. die Eulerwinkel eine Orientierung des Koordinatensystem im Raum bezüglich des Ursprungkoordinatensystems an. Hier suche ich nach einem Zusammenhang, da der Einheitsvektor eines Ursprung- oder Bildkoordinatensystems bzw. dessen Winkel zu den Ebenen eigentlich direkt mit den Eulerwinkeln zusammenhängen müssten. Oder anders herum gefragt: Lassen sich ein Quaternion bzw. die Euler Winkel aus einem Einheitsvektor errechnen? Vielen Dank für einen Tipp!.--Hawk8977

Euler-Winkel oder Quaternionen enthalten mehr Information, als man mit einem einzelnen Einheitsvektor ausdrücken kann. Ich weiß nicht, was Du meinst.--Gunther 10:19, 14. Nov. 2006 (CET)

>Euler-Winkel oder Quaternionen enthalten mehr Information, als man mit einem einzelnen Einheitsvektor ausdrücken kann.

Ja bei der Umrechnung ist die Eindeutigkeit wohl dahin. Trotzdem müsste es in einem definierten Raum möglich sein, Einheitsvektoren in Euler-Winkel bzw. Quaternionen umzurechnen. Beispiel für einen Anwendungsfall wären hier die Übertragung von CNC-Code an Bearbeitungsmaschinen (Werkzeugstellung->Einheitsvektor) auf Roboter (Manipulatorstellung->Quaternionen) -> Die Frage ist 1.) ob es dafür eine fertige Formel gibt 2.) ob man dieses Beispiel als "praktisches Besipiel" in der sonst doch so "trockenen" Umgebung der Quaternionen anfügen könnte. Vielen Dank für einen Tipp!.--Hawk8977

Diskussion aus dem Review (November 2006)

Mit Ausnahme der physikalischen Teils (dazu siehe hier) vor einigen Tagen von mir grundlegend überarbeitet. Quaternionen gehören zu den Themen, die typischerweise nicht mehr von Schulbüchern abgedeckt werden, aber dennoch relativ bekannt sind und eine gewisse Faszination ausüben; deshalb sollte dieser Artikel im Kern verständlich sein, zumindest wenn man komplexe Zahlen schon kennt.--Gunther 13:35, 8. Nov. 2006 (CET)

Erstmal vorweg: schöner Artikel. Bis zu den Drehungen habe ich es verstanden und danach dann nur noch überflogen. Wenn ich den Artikel jedoch vor einem Jahr gefunden hätte, zu einer Zeit als ich komplexe Zahlen nur vom Namen kannte, hätte ich ihn gleich wieder bei Seite gelegt. Es wäre meiner Meinung demnach besser, am Anfang ohne Mathematik zu beschreiben wozu das ganze gut ist und welche Erkenntnisse daraus gewonnen wurden. Je länger dieser Absatz wird, desto mehr könnten nicht so mathematikbegabte aufschnappen. --Träumer 09:50, 9. Nov. 2006 (CET)

Ist schon ein lustiger Zufall: Heute Nachmittag wurden bei mir im Studium zum ersten mal Quaternionen erwähnt. Unser Dozent wollte uns Kreisel näher bringen und hatte deshalb dahin einen abstecher gemacht. Wie man also sieht: Reviewartikel lesen lohnt sich ;) --Träumer 16:24, 9. Nov. 2006 (CET)

Komplexe Zahlen sind mMn eine sinnvolle Voraussetzung für diesen Artikel, weil sie wichtiger sind und auf demselben Prinzip aufbauen, nämlich einfach neue Zahlen als Buchstaben hinzuschreiben und Regeln festzulegen, wie mit ihnen zu rechnen ist. Im Prinzip könnte man die zugehörigen Fragen, allen voran "Darf man das überhaupt?", auch hier nochmals abhandeln, das scheint mir aber überflüssig.--Gunther 12:36, 14. Nov. 2006 (CET)

Die Quaternionenphysik war ja schon mal im Portal Physik angesprochen worden. Ich finde, sie nimmt sich in dem Artikel eher störend aus und ist sowieso eine heute kaum noch verfolgte Kuriosität. Eventuell könnte das ausgelagert werden. Im Geschichtsteil fehlt mir der "Epilog", also das Erlahmen der Euphorie. Außerdem steht die abfällige Ansicht von Felix Klein gänzlich unreflektiert als Abschluss des Kapitels. Zumindest in einem Satz könnte man darauf eingehen, dass sich unter Mathematikern allgemein die Euphorie heute wie damals in Grenzen hält. So kommt es halt so rüber, dass ein anderer Mathematiker Hamiltons Arbeit (vielleicht gar aus Neid) gering schätzt. Man erhält keine Information, ob er damit allein stand oder nicht. -- 217.232.23.120 20:14, 9. Nov. 2006 (CET)

Klein schreibt das ja in der Rückschau, als die Euphorie abgeklungen war. Damals war Hamilton schon seit 50 Jahren tot.--Gunther 20:31, 9. Nov. 2006 (CET)

Nachtrag: „Seine Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert sind ein Klassiker der mathematikhistorischen Literatur.“--Gunther 22:27, 9. Nov. 2006 (CET)

Der Artikel deckt so ziemlich alles ab, was ich über Quaternionen bisher gehört habe. Für einen Mathematiker als Leser ist der Artikel (mindestens) lesenswert; Die Verständlichkeit des Textes dürfte aber nur bei einem gewissen mathematischen Hintergrund möglich sein, also wenigstens eine gute Matura und die Bereitschaft, auch noch einige Links anzuklicken. Dann sollten aber die Teile zumindest bis zur Polardarstellung keine Probleme bereiten. Der Abschnitt zur Universellen Überlagerung von SO(3) sollte nochmals überarbeitet werden, die einzelnen Zutaten dazu liegen ein bisschen zu weit über den vorangehenden Text verstreut:

• S^3 = SU(2) = Einheitsquaternionen.
• Zuerst ist nur von Gruppen die Rede, dann von einer Überlagerungsabbildung. Klar angeben, in welcher Kategorie man nun ist, also z.B. topologische/Lie-Gruppe und welche Topologie SO(3) trägt.
• Die obige Konstruktion – darüber stehen die Eulerwinkel, gemeint ist aber die Abbildung $q\mapsto \rho _{q}$ von S^3 nach SO(3) mit $\rho _{q}(x)=qx{\overline {q}}$. Ich kann mir nicht vorstellen, dass jemand diesen Abschnitt versteht, wenn er/sie sowieso nicht schon weiss, worum es geht.

Abgesehen von diesem Abschnitt habe ich nichts Störendes gefunden. --Enlil2 19:17, 12. Nov. 2006 (CET)

Dieser Abschnitt ist eigentlich tatsächlich an diejenigen gerichtet, die wissen, was SU(2) und SO(3) sind. Für den Gelegenheitsleser müsste man wesentlich weiter ausholen (allerdings könnte man dann erwähnen, dass die Überlagerungseigenschaft gerade den Vorteil gegenüber den Eulerwinkeln hinsichtlich des Gimbal-Lock-Problems beschreibt).--Gunther 12:05, 14. Nov. 2006 (CET)

Hiho, einige Kommentare: i) Mir wird nicht klar, was bei den Konstruktionen die Bemerkungen "muss man im Detail nachweisen" sollen. Willst du damit ausdruecken, dass man bei der Konstruktion mit Vierervektoren mehr nachweisen muss, als bei der Konstruktion ueber komplexe Matrizen? Ich nehme an, dass die Konstruktion mittels Vierervektoren die von Hamilton ist? Wenn ja, sollte man das IMHO direkt da erwaehnen. ii) Heisst es mit Hilfe oder mithilfe? iii) Programmierung von Industrierobotern? iv) Den Abschnitt mit Felix Klein finde ich etwas seltsam, aus dem selben Grund der bereits oben angemerkt wurde: Sein Zitat steht einfach voellig ohne Kontext da. --P. Birken 18:04, 15. Nov. 2006 (CET)

i) Ja, ich will zumindest erwähnen, wie weit die jeweilige Skizze von einer vollständigen Konstruktion entfernt ist. Mir ist nicht klar, inwieweit der Begriff "Vierervektor" zu diesem Zeitpunkt bereits existierte. ii) Anscheinend ist beides erlaubt, "mithilfe" finde ich besser. iii) k.A., kann ich nichts dazu sagen. iv) Habe vier Wörter ergänzt, genügt das?--Gunther 18:17, 15. Nov. 2006 (CET)

Ich hab das mal im Konstruktionsabschnitt ergaenzt. Geschichte ist so wirklich besser. Wesentliches Manko des Artikels bleibt IMHO der Physik-Abschnitt. Insbesondere die Beschreibung einer Drehung ist denke ich zu aufgeblaeht. --P. Birken 11:10, 16. Nov. 2006 (CET)

Abschnitt "Anwendungen in der Physik"

Ich bin versucht, den ganzen Abschnitt zu streichen und bitte ggfs. um Gegenargumente.

• Der einzige Fall, bei der die spezifische Quaternionenstruktur ausgenutzt wird, sind die Maxwellschen Gleichungen. Das Thema ist aber so speziell und zumindest in der jetzigen Darstellung so schlecht zu lesen, dass kein Mehrwert für den Leser entsteht.
• Die anderen Fälle benutzen nur die Struktur als R⁴ bzw. eine eine sehr künstliche Konstruktion bei der Wellengleichung.
• Es handelt sich nicht um Anwendungen, sondern um mögliche Anwendungen, denn in der Praxis kommen sie fast nicht vor.

--Pjacobi 10:18, 21. Feb. 2008 (CET)

hab mich auch grad beim lesen des artikels gewundert, zumindest alle beispiele die die quaternionenstruktur nicht benutzen sollten raus, und gibts ne physikalisch sinnvolle begründung für die wellengleichungsformel? mir sieht das eher danach aus: welche quaternionen müssten wir multiplizieren damit ne wellengleichung rauskommt.. und wäre damit für den artikel auch ungeeignet --perk bekannt als 77.22.250.139 18:26, 24. Okt. 2009 (CEST)

Quaternionen im Roman: Pynchon

Ist es von Interesse, dass sich Th. Pynchon in seinem Roman "Gegen den Tag" auch mit den Quaternionen befasst? Ein hartes Brot für Nicht-Mathematiker.

Begriffsdefinition

Mit Quaternion bezeichnet man auch einen Satz von 4 Bögen gefalteten Papiers. Zufälligerweise taucht der Begriff im Artikel des Tages vom 16.10.2008 auf. Vielleicht könnte das noch jemand einbauen. Ich möchte am Aufbau des Artikels selbst nichts ändern. Auf der Englischen Wikipedia gibt es sogar noch eine 3. Definition.

Viele Grüße, Christoph

Zu Vektoranalysis

Hier steht:

$\nabla ^{2}f(x,y,z)=-\Delta f(x,y,z)\!\,$

Warum sollte das so sein, wo doch gilt:

$\nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial }{\partial x}} {\frac {\partial }{\partial y}} {\frac {\partial }{\partial z}}\right)f(x,y,z)\!\,$

,wenn ${\vec {e}}_{1,2,3}=1\!\,$. Weil der Laplace-Operator folgendes ist:

$\Delta f(x,y,z)=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}} {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}} {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)f(x,y,z)\!\,$

,sollte gelten:

$\nabla ^{2}f(x,y,z)=\Delta f(x,y,z)\!\,$

Hab ich mich vertan, oder ist n Fehler im Artikel? --Telli 17:46, 19. Nov. 2008 (CET)

Wenn man die reinen Quaternionen mit dem $\mathbb {R} ^{3}$ identifiziert ist nicht ${\vec {e}}_{1,2,3}=1\!\,$, sondern ${\vec {e}}_{1}=i,\;{\vec {e}}_{2}=j,\;{\vec {e}}_{3}=k$. Folglich ist ${\vec {e}}_{1}\,^{2}=i^{2}=-1$ und nicht 1 (j und k entsprechend). Da kommen die umgekehrten Vorzeichen her. --GluonBall 11:56, 16. Feb. 2009 (CET)

Definition

Wenn ich mir so den Artikel anschaue, kommt es mir vor, als wird vorausgesetzt zu Wissen, was Quaternion genau ist und man nur hier nach den Formeln nachlesen kann. Oder übersehe ich da was? --79.199.81.134 23:40, 15. Feb. 2009 (CET)

Ja, Du hast den Abschnitt "Konstruktionen" überlesen. Die einfachste ist die, die den IR4 zu einer Algebra mit Vektormultplikation macht. Die logischste, aus der sich die Rechenregeln automatisch ergeben, ist die Matrixkonstruktion.--LutzL 08:01, 16. Feb. 2009 (CET)

Poynting-Gleichung

Hallo,

unter Quaternion#Erhaltungssatz: Mit der Poynting-Gleichung

$-\left({\vec {\nabla }}\,\left({\vec {E}}\times {\vec {B}}\right) {\frac {{\left(\delta {\vec {E}} \delta {\vec {B}}\right)}^{2}}{2\,\delta t^{2}}}\right)=4\pi {\vec {E}}\,{\vec {J}}$

ist doch sicher der Satz von Poynting

$\int _{V}\mathbf {j} \cdot \mathbf {E} \mathrm {d} V=-\int _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {S} {\frac {\partial u}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V$

gemeint, oder? Mindestens mal die differentielle Schreibweise von letzterem Satz ($\mathbf {j} \cdot \mathbf {E} =-\nabla \cdot \mathbf {S} -{\frac {\partial u}{\partial t}}$) sieht der obigen Gleichung verblüffend ähnlich, um nicht zu sagen quasi identisch. --87.166.239.16 21:30, 5. Nov. 2009 (CET) (aka Benutzer:Benji)

Eine Antwort nach über 13 Jahren: Ja, das sehe ich auch so. Hier habe ich einen Wikilink zum Satz von Poynting eingefügt.--Kallichore (Diskussion) 21:57, 15. Aug. 2023 (CEST)

unverständlicher Artikel

Quaternionen spielen in Thomas Pynchons wunderbarem Roman Gegen den Tag (dt. 2008) eine bedeutende Rolle. Daher steht zu vermuten, dass ich nicht der einzige mathematische Volllaie bin, der sich für diesen Artikel interessiert. Und ziemlich sicher sind dann alle anderen genau so enttäuscht wie ich, wenn sie feststellen, dass sich noch nicht einmal die Einleitung des Artikels um Allgemeinverständlichkeit bemüht. Ich bitte daher dringend, zumindest den Anfang im Sinne von WP:OMA umzuformulieren. Vielen lieben Dank im Voraus, euer --Φ 20:24, 7. Nov. 2009 (CET)

ich hab mir die einleitung mehrmals durchgelesen.. und verstehe nicht wo es da mit dem verständnis harpert.. das einzige was mir aufgefallen ist, ist die bezeichnung von i,j,k als zahlen, kannst du bitte präzissieren wo es hängt?--perk bekannt als 77.22.250.139 21:00, 7. Nov. 2009 (CET)

Die Einleitung des englischen WP-Artikels ist klarer, vielleicht weil die abschreckenden Formeln erst im Abschnitt 2. Definition kommen und weil der nicht auf Anhieb verständliche Begriff "mathematisches Objekt" (gemeint ist wohl: Objekt der Mathematik) vermieden wird. Bei Pynchon stehen sich Quaternionisten und Vektorianer übrigens in unverbrüchlicher Feindschaft gegenüber, weswegen das Verhältnis zur Vektorrechnung vielleicht auch in die Einleitung sollte. Danke aber für deine Mühe, Gruß, --Φ 10:51, 8. Nov. 2009 (CET)

verzeih aber ich komme mir ein wenig veralbert vor.. der englische wikipediaartikel verbaut wesentlich abstraktere und kompliziertere inhalte in der einleitung "Clifford algebra classifications Cℓ0,2(R) = Cℓ03,0(R)" und "Frobenius theorem (real division algebras)" und du sagst er ist einfacher weil er keine formeln enthält.... ich denke gerade für einen mathematiklaien ist ijk = i² =j² =k² =-1 wesentlich illustrativer als die bloße aussage "nichtkommutativ" ... ich hab n bissel was umgeschrieben und hoffe es hilft.. ansonsten kann ich nur raten keine angst vor mathematischen ausdrücken zu haben: denn jeder versuch mathematik zu begreifen ohne sich die mathematische formulierung anzuschauen ist von vorn herein zum scheitern verurteilt--perk bekannt als 77.22.250.139 18:12, 8. Nov. 2009 (CET)

Ich wollte dich nicht veralbern, ich finde aber den ersten Absatz in der englischen WP hilfreicher als unsere Einleitung. Und da mir die Formelwelt intellektuell verschlossen bleibt, bin ich einigermaßen darauf angewiesen, dass es mir wenigstens in groben Zügen in Worten erklärt: Nichtkommutativ leuchtet mir sofort ein, die Formel - ich kannte sie ja aus dem Roman - sagt mir leider nur banane. Andere sind vielleicht farbenblind, können keine Noten lesen oder kennen die griechischen Buchstaben nicht, so hat jeder sein Päckchen zu tragen ... Danke aber für deine Bemühungen! Gruß, --Φ 18:57, 8. Nov. 2009 (CET)

hat denn die umformulierung der einleitung irgendwas gebracht? ich habe ja versucht den ersten satz stärker an die englische version anzulehnen.. die formel sagt, dass jedes basiselement i,j,k eine quadratwurzel von -1 ist und aus ijk=-1 kann man sich leicht alle anderen ausdrücke errechnen (einfach diese gleichung von links mit i oder von rechts mit k multiplizieren)...

der veralberungsgedanke kam mir, da ihr profil einen gebildeten eindruck erweckt, der (verbeamtung) ohne abitur in deutschland nicht erreichbar ist und ich jedem, der sein abitur bestanden hat ohne addition multiplikation und die ²-schreibweise für quadrieren zu verstehen, selbiges sofort aberkennen würde (da es eine verhöhnung des bildungsideals wäre) --perk bekannt als 77.22.250.139 02:23, 9. Nov. 2009 (CET)

Divergent statt Gradient: unnötige Schlampigkeit

Der Abschnitt über die maxwellschen Gleichungen ist sehr interessant, leider aber schlecht lesbar, weil mehrfach das Zeichen für Gradient statt dem Zeichen für Divergent verwendet wird.

Der Divergent ist \nabla\cdot.

Ich korrigiere es einmal an einer Stelle. Wenn es beliebt kann man es auch an den übrigen tun. (Nicht, dass ich mir unnötig Arbeit mache und dann irgend ein Esel "rückgängig" eingibt.)

-- ThvAq 16:37, 15. Jan. 2010 (CET)

Du hast recht: Leider hat es sich durch allgemeine "Schlampigkeit" eingebürgert, dass der scheinbar so harmlose "$\cdot$" für das Skalarprodukt zweier Vektoren vielfach mehr oder minder systematisch "vergessen" wird , während das Entsprechende beim Vektorprodukt (=Kreuzprodukt) niemals der Fall ist. Natürlich ist das kein ernstes Problem, weil man meistens versteht, was gemeint ist. Aber es zeigt sich darin doch ein gewisser Mangel an Logik und Systematik, der zu Denken gibt und leider diesen und ähnliche Artikel unnötig unverständlich macht oder jedenfalls zu ihrer Unverständlichkeit unnötig beiträgt. Also: man soll das \cdot niemals verschlampen. - MfG, Meier99 19:52, 2. Mär. 2010 (CET)

Skalarprodukt "Wie bei der normalen Multiplikation kann das Multiplikationszeichen auch weggelassen werden" allgemein geltende und überall angewendete zeichenkonventionen sind keine schlampigkeit: es besteht schlicht keine gefahr da ein anderes zeichen zu erwarten, nur der cdot wird ausgelassen

an dieser stelle ein verständnisproblem herbeizureden halte ich für deutlich an der materie vorbei: überall in der mathematischen fachliteratur wird dort kein cdot eingebaut weil er nur möglich aber nicht nötig ist (und kaum ein mathematiker hat ein faible für unnötiges geschnörkel) warum sollte ausgerechnet die wikipedia eine in der literatur nicht verbreitete außenseiterlösung wählen die päpstlicher ist als der papst.. und diesen weg auch noch mit verständlichkeit titulieren obwohl doch verständlichkeit gerade durch etablierte und übliche und nicht durch besonders unnötig hyperkorrekte notation erreicht wird.. --perk bekannt als 77.22.250.139 22:26, 2. Mär. 2010 (CET)

Es gibt außer Mathematikern auch andere Wissenschaftler und Praktiker, z.B. Physiker und Ingenieure, und der Hauptfehler, der die Mathematiker so unverständlich macht, ist der systematische Verzicht auf jedwede Redundanz. Ich fürchte, wir werden uns nie einig werden, weil Du wie fast alle Mathematiker an den Leser (ich meine nicht den Leser mathematischer Fachliteratur, sondern die sprichwörtliche "Oma", hinter der sich vielleicht ein Ingenieur verbirgt),... weil Du, ich wiederhole,anscheinend an den oder die „zuletzt denkst“. Im Gegenteil: "Zuerst kommt der Leser", das sollte die Devise einer guten Enzyklopädie sein, und das gilt vor allem für die Wikipedia, wo der Leser die entscheidende Instanz ist und gegebenenfalls Artikel selbst verbessern kann. Jedenfalls: wenn auch nur eine "Oma" sich über Unverständlichkeit eines Artikels beschwert - ob zurecht oder zu Unrecht - dann ist schon etwas faul (wohlgemerkt: ich sage "faul" und nicht "falsch"). - In diesem Sinne m. f. G., Meier99 10:39, 3. Mär. 2010 (CET)

Nachtrag. Um konkret zu werden: Welchen Unterschied siehst Du zwischen dem "dyadischen Produkt" $\nabla {\vec {v}}$, einem 2-Tensor mit den Komponenten $\nabla _{i}v_{k}$, und dem Skalar $\nabla \cdot v$, identisch mit der Spur dieses Tensors ? Nur wenn man weiß, das Letzteres und nicht Ersteres gemeint ist, kann man das \cdot getrost weglassen , aber es hilft zum Verständnis , es auch in solchen unnötigen Fällen beizubehalten, zumal wenn sich, wie im vorliegenden Artikel \cdot und \times oft "parallel" vorkommen, z.B. im Absatz zur Elektrodynamik mit den vielen ("Gerade, Ungerade")-Paaren.

es müsste wenn ich mich nicht irre der 1,1 tensor $\nabla _{a}v^{b}$ sein damit $\langle \nabla ,v\rangle =\operatorname {tr} (\nabla v)=\nabla _{a}v^{a}$ in solchen anwendungen schreibt man das skalarprodukt nie mit nem cdot, weil es von der metrik abhängig ist.. da wird immer ne kompliziertere notation auf basis von $g(\cdot ,\cdot )$ oder $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ eingeführt um eindeutig zu machen das man grad ne 2-form einsetzt um ein skalar zu erzeugen--perk bekannt als 77.22.250.139 17:27, 3. Mär. 2010 (CET)

Physiker und Ingenieure benutzen meistens die "triviale" Metrik, oder eine "invariante" Schreibweise ganz ohne Indizes, und benutzen deshalb auch in Deinem Fall \cdot , während Mathematiker glauben, sie wüßten wesentlich mehr und könnten durch die Unterscheidung von oberen und unteren Indizes und mit Kleinschreibung glänzen. - Zugegeben: Für die besagte "Oma" ist das alles, was wir hier schreiben, wenig hilfreich. MfG, Meier99 19:38, 20. Mär. 2010 (CET)

nanu wo kam denn der ad hominem kram grad her?--perk bekannt als 77.22.250.139 20:08, 20. Mär. 2010 (CET)

Um mal zu den Vorurteilen beizutragen: Die Indizes oben und unten werden von (Quanten-)Physikern recht ausschließlich verwendet. Diese Notation wird auch von den Differentialgeometern gebraucht, wenn diese ihre üblicherweise koordinatenfreien Formeln (die dadurch automatisch "kovariant" sind) mal in Koordinaten ausdrücken müssen. Das Skalarprodukt als Punkt ist Ingenieurschreibweise, vielleicht auch in der klassischen und Exp.-Physik gebräuchlich, und damit auch in der angewandten Mathematik, die zu diesen Themen beiträgt. Desgleichen gilt für die nabla-Akrobatik. Ein reiner Mathematiker verwendet das nabla ausschließlich als kovariante Ableitung, was noch am ehesten dem oben angegebenen dyadischen Produkt nahe kommt. Skalarprodukte werden mit spitzen oder runden Klammern ausgedrückt, eine riemannsche Metrik als ortsabhängige bilineare Funktion $g(x)(v,w)$ geschrieben und die Divergenz eines Vektorfeldes als ${\text{div}}\,v$, der Gradient als ${\text{grad}}\,f$, etc. --LutzL 11:36, 22. Mär. 2010 (CET)

Abschnitt Physik Elektromagnetismus

Was ist gemeint mit der Formel gerade ( ( d/dt,Nabla),(0,vec B) ) = .... denn hier wird ein Operator benutzt der nicht kommutiert mit B. z.B. Nabla B B Nabla <> 0 (nicht signierter Beitrag von 217.50.183.167 (Diskussion) 23:45, 9. Sep. 2010 (CEST))

Acht Einheitsquaternionen?

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Quaternion&oldid=84118699#Einheitsquaternionen:

"Zu den Einheitsquaternionen zählen insbesondere die acht Quaternionen $\{\pm 1,\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} \}.$"

Sind das nicht 16 Stueck?

-- 131.169.184.103 11:57, 1. Feb. 2011 (CET)

Brille kaufen? 2*4=8.--LutzL 14:10, 1. Feb. 2011 (CET)

ääh, selber kaufen? die plus minus kann man doch paarweise tauschen --> 16 (nicht signierter Beitrag von 77.8.208.197 (Diskussion) 14:24, 5. Jul 2011 (CEST))

Das müsste jetzt genauer geklärt werden. Es sind in der Menge 4 Elemente in je zwei Vorzeichenvarianten, es ist kein 4-Tupel gemeint mit unabhängigen Vorzeichen und dann 2^4 Vorzeichenvarianten.--LutzL 16:23, 4. Jan. 2012 (CET)

cdots?

Ich finde es wahnsinnig verwirrend, überall cdots in den produkten zu haben. Ein cdot ist für mich ein 'dot-produkt', also ein skalarprodukt, und das ist etwas anderes als das geometrische- (clifford-, quaternion-) produkt. Das skalarprodukt zwischen i und j ist null, weil i und j aufeinander senkrecht stehen. Also: $i\cdot j=0$, hingegen $i\,j=k$. Ich würde vorschlagen, alle cdots durch ein kleines mathematisches leerzeichen (backslash-komma) zu ersetzen. -- 78.54.48.149 02:14, 4. Jan. 2012 (CET)

Die Mathematiker brauchen hier 3 verschiedene „Produkte“:

1. Die Skalarmultiplikation $\mathbb {R} \times \mathbb {H} \to \mathbb {H}$, die kommutativ ist und die man gerne ohne irdendwas notiert.
2. Das Skalarprodukt $\mathbb {H} \times \mathbb {H} \to \mathbb {R}$, das symmetrisch ist und das man $\langle x,y\rangle$ notiert.
3. Die volle Quaternionenmultiplikation $\mathbb {H} \times \mathbb {H} \to \mathbb {H}$; bei der man auf die Reihenfolge achten muss; wo man den Quotienten als $x^{-1}$ schreiben muss; welche die intrinsische Multiplikation ist, die man oft mit \cdot notiert; für die man eine extra Software braucht etc.

Mir ist das \cdot eine Hilfe! -- Nomen4Omen 16:12, 4. Jan. 2012 (CET)

Ich verstehe, das cdot soll hier der hinweis dafür sein, dass es sich nicht um eine gewöhnliche multiplikation handelt, wie man sie von der schule kennt. Ich sehe nur diese art der cdot-notation zum ersten mal, und finde es absolut ungebräuchlich, auch im internationalen vergleich. Ich habe aber z.B. festgestellt dass in der deutschen WP wohl grundsätzlich gerne cdots verwendet werden (vergl. QR-Zerlegung mit der englischen variante). Ich finde das ja absoluten horror! Die cdots sind wie syntaktisches rauschen, sie erschweren das visuelle erfassen der gleichungen! Gibt es dazu so etwas wie einen style-guide?

(Ich kann zumindest für den bereich aus dem ich komme sprechen (geometric algebra), wo quaternionen und die ihnen zugrunde liegende algebren täglich brot sind. Und da ist cdot ganz klar reserviert für das skalarprodukt. Das volle produkt schreibt keiner mit cdot. Siehe z.B. http://www.mrao.cam.ac.uk/~clifford/, http://www.geometricalgebra.net/quaternions.html, http://gaupdate.wordpress.com/ etc.) -- 80.171.107.20 22:41, 4. Jan. 2012 (CET)

Fehler im Abschnitt Quotientenalgebra

Ich habe gerade noch einen fehler (genauer gesagt, eine nachlässigkeit) im abschnitt über die Quotientenalgebra entdeckt. Es ist richtig, dass sich die Quaternionen in zweierlei weise aus der Clifford-Algebra erzeugen lassen. Allerdings haben die generatoren in der zweidimensionalen konstruktion ein negatives quadrat ($e_{i}^{2}=-1$), sie sind somit keine (!) euklidische ebene. In der dreidimensionalen konstruktion sind die generatoren hingegen identisch mit den basisvektoren des euklidischen raumes und haben positives quadrat ($e_{i}^{2}= 1$). Daher würde ich den abschnitt wie folgt umformulieren:

So ergibt sich die Quaternionen-Algebra als Clifford-Algebra auf zweierlei Weise: Einmal aus der zweidimensionalen Clifford-Algebra $Cl_{0,2}(\mathbb {R} )$, mit den Erzeugern $i\mapsto e_{1},\,j\mapsto e_{2},\,k\mapsto e_{1}\,e_{2}$; ein anderes mal aus dem geradstufigen Teil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen euklidischen Raumes $Cl_{3}^{ }(\mathbb {R} )$, mit den Erzeugern $i\mapsto -e_{2}\,e_{3},\,j\mapsto -e_{3}\,e_{1},\,k\mapsto -e_{1}\,e_{2}$. Im letztgenannten Fall sind die $e_{1},e_{2},e_{3}$ isomorph zu den Pauli-Matrizen und die Quaternionen ergeben sich als die Spingruppe des dreidimensionalen Raums. Für die Betrachtung von räumlichen Drehungen ist diese Interpretation die bedeutsamere. -- 78.54.48.149 03:02, 4. Jan. 2012 (CET)

Das ist wenn überhaupt ein Schönheitsfehler und allgemein eine Geschmacksfrage. In der Differentialgeometrie wird für einen Vektorraum V mit quadratischer Form q die Konvention $v\cdot v=-q(v)$ gewählt, also ist $e_{i}^{2}=-1$ konsistent mit dem euklidischen Skalarprodukt. Bitte nicht Skalarprodukt mit Clifford-Produkt verwechseln.--LutzL 14:15, 4. Jan. 2012 (CET)

Ja und nein. Sonlage du nur vektoren betrachtest und keine höherstufigen elemente, ist die signatur tatsächlich geschmackssache. Die von diesen basisvektoren generierte algebra ist aber ja nach fall verschieden, und die signatur von höherstufigen elementen (pseudovektor, pseudoskalar) nicht mehr isomorph; $Cl_{3}(\mathbb {R} )\neq Cl_{0,3}(\mathbb {R} )$. Quatenionische substrukturen entstehen in beiden fällen, der knackpunkt ist die signatur des pseudoskalars. Nur für $Cl_{3}(\mathbb {R} )$ hat der pseudoskalar negatives quadrat und kommutiert mit allen elementen der algebra, kann also die rolle der klassischen imaginären einheit spielen. Diese algebra ist wie zufällig isomorph zur algebra der Pauli-Matrizen, und verdient daher eine ausgezeichnete stellung aufgrund physikalischer relevanz. Salopp gesagt ist es "die algebra unserer 3-dimensionalen welt", und ich finde diesen zusammenhang einfach einen didaktischen mehrwert. -- 80.171.107.20 23:14, 4. Jan. 2012 (CET)

Definition: reine Quaternionen falsch?!

Mir ist aufgefallen, dass die nachfolgende Definition für die Menge der reinen Quaternionen nicht richtig sein kann.

$\mathbb {H} _{\text{Rein}}=\{x\in \mathbb {H} \mid x^{2}\in \mathbb {R} ,\ x^{2}\leq 0\}.$

Ein einfaches Gegenbeispiel ist:

${\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}}^{2}=-2$

Dieses Quaternion erfüllt die genannte Bedingung, ist jedoch nicht Element der reinen Quaternionen, da es keinen Realteil von 0, sondern 1 hat. Nicolas-- 149.203.98.107 16:16, 15. Mär. 2012 (CET)

Dein Gegenbeispiel funktioniert nicht.

$(1 i j k)^{2}=1 i^{2} j^{2} k^{2} (2i 2j 2k ij ji ik ki jk kj)=2(i j k-1)$.

--Daniel5Ko (Diskussion) 16:38, 15. Mär. 2012 (CET)

Quaternion#Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe

Lieber Meier99,
danke für die ausführlicheren Erklärungen.
Andererseits sieht jetzt der Unterabschnitt ganz eindeutig nach Physik aus und hat eigentlich mit Quaternionen ziemlich wenig zu tun.
Die Physik kommt ohne die Quaternionen nicht aus, und auch von den Quaternionen aus soll man zur Anwendung, und natürlich zur Physik, einen oder mehrere Wege finden. Dennoch finde ich, dass die Spingruppe nicht bei den Quaternionen beschrieben werden muss, und ein Querverweis zu einem physikalischen Artikel, der sie beschreibt, m.E. der bessere Weg ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:19, 31. Mär. 2012 (CEST)

Ich bin anderer Meinung: Man soll nichts übertreiben, aber sowohl für die Mathematiker als auch für die Physiker ist es wichtig, die Querbeziehungen zur jeweils anderen Wissenschaft zu vermitteln. Man sollte mal Hamilton und die Nachwelt fragen ob er "mehr ein großer Mathematiker oder mehr ein großer Physiker" gewesen sei. Schon die Frage ist grundfalsch: Er war beides, und es ist unsere Aufgabe, dies mit zu vermitteln. Dazu gehören auch Dinge wie der Spin, die immer nur Wolfgang Pauli zugeschrieben werden, obwohl letzten Endes hinter den Pauli-Matrizen die Hamiltonschen Quaternionen stecken, auch wenn Hamilton selbst - und auch Pauli - das sicher nicht gesehen haben. Es ist unsere Aufgabe, die heutige Sicht zu vermitteln. Schaue mal in die Englische Wikipedia! Da ist der Artikel viel besser, was die übergeordneten Gesichtspunkte anbetrifft. - Aber wie gesagt, unnötige Übertreibungen können in dieser Hinsicht kontraproduktiv sein. Nur danach sollte man Ausschau halten; ich werde das hiermit tun und versuchen, unter Vermeidung von Übertreibungen die Querbeziehungen herauszuarbeiten. - Dein Vorschlag läuft aber nach meiner Ansicht auf eine systematische Trennung "hie Mathematik, hie Physik" hinaus. Gerade das sollte man vermeiden. -- NfU, Meier99 (Diskussion) 18:12, 2. Apr. 2012 (CEST)

@Meier99, es geht nicht um hie Mathematik, dort Physik. Sondern es geht um Strukturierungs- und Gruppierungsmöglichkeiten, die für einen potentiellen Leser sofort klar sind. Und da passen die Pauli-Matrizen nun mal besser zu den Pauli-Matrizen als zu den Quaternionen. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:13, 2. Apr. 2012 (CEST)

Erneut Widerspruch: Wie schon gesagt zeigt das Englische Beipiel, dass die Pauli-Matrizen ebenso bei den Quaternionen erwähnt werden müssen wie die Quaternionen bei den Pauli-Matrizen: Alles Andere ist Verengung, um der angeblichen besseren Strukturierung willen. Es kann immer nur darum gehen, ein Gebiet optimal darzustellen, und dazu gehören auch die Querbeziehungen. Die Beschränkung auf rigorose Gruppierung sollte man nicht zu weit treiben, weil sie die Gefahr der Verengung birgt. Aber -wie gesagt - man sollte das Ganze nicht zu ernst nehmen, sondern immer nur das Optimum anpeilen statt Prinzipien zu reiten. - MfG, Meier99 (Diskussion) 11:26, 3. Apr. 2012 (CEST)

Nachtrag (3 Stunden später). Dein Tipp hat doch nachgewirkt und ich habe einerseits das abstraktere obere Drittel des betreffenden Absatzes belassen (mit einem konkreten Hinweis "Einzelheiten sind zu finden ..."), andererseits aber den konkreteren und längeren Restteil unter einem passenden Titel als Zusatzbeitrag zum Artikel Pauli-Matrix verschoben, wobei auch die Quaternionen besprochen sind. So passt es vermutlich in jeder Hinsicht.

So in etwa war's gedacht. Danke. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:31, 3. Apr. 2012 (CEST)

Universelle Überlagerung der Drehgruppe; Spingruppe

@Meier99: Die Paulimatrizen sind anscheinend nicht wirklich Generatoren der SU(2), wie Grip99 im dortigen Artikel richtiggestellt hat. Sie sind ja auch nicht Element. -- Nomen4Omen (Diskussion) 14:01, 10. Apr. 2012 (CEST)

Beiträge von Meier99 sind zu 99% mathematischer Unsinn. --84.166.219.155 14:19, 23. Apr. 2012 (CEST)

Automorphismen

Warum muss jeder Automorphismus die reelle Achse festhalten? Bei $\mathbb {C}$ ist das nicht der Fall (Automorphismen, die die reelle Achse festhalten, heißen $\mathbb {R}$-Automorphismen, es gibt aber viele andere). Ich sehe nicht, warum das bei Quaternionen anders sein sollte. --Digamma (Diskussion) 19:53, 13. Apr. 2012 (CEST)

Ich kenne mich in der Ecke zwar nicht besonders gut aus, aber die Aussage steht ja auch so mit Beweisidee im davor angegebenen Einzelnachweis (von Lam), sollte also wohl schon stimmen. -- HilberTraum (Diskussion) 21:41, 13. Apr. 2012 (CEST)

Ich denke schon auch, dass es stimmt. Denn ein Automorphismus, der für und × homomorph ist, muss den Primkörper Q festlassen. Dann auch die Vervollständigung R, oder etwa nicht? Damit müsste eigentlich auch jeder Ring-Automorphismus über C die reellen Zahlen festlassen. Und meines Wissens gibt es genau 2 Automorphismen, nämlich die Identität und die Konjugation. -- Nomen4Omen (Diskussion) 22:02, 13. Apr. 2012 (CEST)

@Nomen4Omn:Nein, denn C liegt auf mehr als eine Weise in den Quaternion.

@Digamma: Da H einfach ist, ist nach Skolem-Noether jeder Ring-Automorphismus f inner, d.h. es gibt eine Quaternion q ungleich Null mit $f(x)=q^{-1}xq$. Diese erhalten R punktweise fest. --Boobarkee (Diskussion) 22:25, 13. Apr. 2012 (CEST) Das Skolem-Noether-Theorem ist am Ende des Abschnitts Werk von Skolem beschrieben. --Boobarkee (Diskussion) 22:31, 13. Apr. 2012 (CEST)

@Boobarkee: Klar liegt C auf mehr als eine Weise in den Quaternionen. Steht ja auch so im Text.

Ich habe Digamma anders verstanden. -- Nomen4Omen (Diskussion) 22:34, 13. Apr. 2012 (CEST)

@Nomen4Omen: Ja, ich habe es anders gemeint:

A field automorphism is a bijective ring homomorphism from a field to itself. In the cases of the rational numbers (Q) and the real numbers (R) there are no nontrivial field automorphisms. Some subfields of R have nontrivial field automorphisms, which however do not extend to all of R (because they cannot preserve the property of a number having a square root in R). In the case of the complex numbers, C, there is a unique nontrivial automorphism that sends R into R: complex conjugation, but there are infinitely (uncountably) many "wild" automorphisms (assuming the axiom of choice).

(Aus en:automorphism, dort wird auf diese Arbeit verwiesen.) Vielleicht hat aber Boobarkees Aussage etwas damit zu tun.

@Boobarkee: Könntest du das ein bisschen genauer erklären? Ich bin da überhaupt nicht firm. Was bedeutet "einfach"? Und was ist bei den Quaternionen hier anders als bei den komplexen Zahlen? --Digamma (Diskussion) 22:45, 13. Apr. 2012 (CEST)

@Digamma: Beim ersten Versuch, das zu präzisieren, habe ich noch eine kleine lücke entdeckt. Ich schwenke daher auf die ähnliche, aber nicht identische Argumentation von Lam um. Zunächst die Grundlagen

• Ein Ring heißt einfach, wenn er keine echten beidseitigen Ideale besitzt. (Nach Wedderburn trifft das genau für die vollen Matrizenringe mit Koeffizienten in einem Schiefkörper zu.)
• Eine k-Algebra, k ein Körper, heißt zentral-einfach, wenn sie als Ring einfach ist und k als Zentrum besitzt. (Zentrum = alle z für die xz=zx gilt für alle x).
• Skolem-Noether: Je zwei Einbettungen f,g einer einfachen k-Algebra A in eine zentral-einfache k-Algebra B unterscheiden sich nur um eine Konjugation in B: Es gibt also ein invertierbares b in B mit $f(a)=b^{-1}g(a)b$ für alle a aus A.

So, jetzt zum Eigentlichen. Sei ψ ein Ring-Automorphismus von H.

1. Es gilt ψ(R)=R, da ψ das Zentrum erhält.
2. Folglich induziert ψ einen Ring-Automorphismus φ von R. Dabei muss es sich um die Identität handeln, vgl. Geordneter Körper (Dieser Schritt wird bei Lam nicht explizit erwähnt; der springende Punkt ist dabei, dass φ die Ordnung auf R erhält. Die Ordnung ist nämlich eindeutig über die Menge der positiven reellen Zahlen festgelegt. Dies sind in R genau die Quadratzahlen. Und φ bildet natürlich Quadrate auf Quadrate ab).
3. Jetzt ist also gezeigt, dass ψ sogar ein Automorphismus von R-Algebren ist. Nach Skolem-Noether handelt es sich also um die Konjugation mit einer Quaternion q (invertierbar, also ungleich Null).

Warum geht das für C anstelle von H nicht? Nun, ein Ring-Automorphismus von C muss keineswegs reelle Zahlen wieder auf reelle Zahlen abbilden. Falls er das tut, ist er mit 2) schon R-linear, und damit entweder die Identität oder die komplexe Konjugation. Aber es gibt auch nicht-R-lineare Ring-Automorphismen von C, wie Lam explizit in Fußnote 12 erwähnt. Übrigens soll (laut dieser Fußnote) kein geringer als Dedekind diesen Punkt übersehen haben. --Boobarkee (Diskussion) 02:00, 14. Apr. 2012 (CEST)

Danke. Jetzt hab ich's kapiert. Ein Automorphismus von H muss R festhalten, weil man R in H algebraisch charakterisieren kann als die Menge aller Quaternionen, die mit allen andern kommutieren. In C kann man R aber nicht algebraisch charakterisieren. --Digamma (Diskussion) 13:04, 14. Apr. 2012 (CEST)

Schöne Zusammenfassung. Den Begriff "algebraisch charakterisieren" sollte man wohl durch "ringtheoretisch charakterisieren" ersetzen, denn R ist natürlich als die unter Konjugation invariante Teilmenge von C "algebraisch charakterisierbar". Grüße --Boobarkee (Diskussion) 13:39, 14. Apr. 2012 (CEST)

So gesehen, sind die Automorphismen von H völlig manierlich, die "wilden" Automorphismen von C sind das Pathologische. Verständlich, dass da auch Dedekind nicht dran gedacht hat. Kaum glaublich, dass diese Viecher nicht zu bändigen sein sollen, müsste man doch auch ringtheoretisch in der Lage sein, über Q die positiven Zahlen zu charakterisieren. -- Nomen4Omen (Diskussion) 21:46, 16. Apr. 2012 (CEST)

Ich weiss nicht, ob man as pathologisch nennen sollte. Die Ring-Automorphismen von C dürften ja wohl in einem engen Zusammenhang zur absoluten Galois-Gruppe von Q stehen ... und die ist eben alles andere als übersichtlich. --Boobarkee (Diskussion) 22:22, 16. Apr. 2012 (CEST)

Physik

Im ganzen Abschnitt === Physik === ist stark zu vermuten, dass der Mittepunkt $\cdot$ als Dotprodukt = Skalarprodukt zu verstehen ist, und nicht als Quaternionenmultiplikation wie weiter oben. (Weiter oben ist zwar das Skalarprodukt in spitzen Klammern als $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle$ notiert.)

Aber da die Physiker sich außerordentlich schwer tun, eine ihnen fremde Notation zu lesen, muss man das wohl im Prinzip so lassen. Dennoch sollte ein Physiker, der sich ein bisschen um die umgebenden Texte kümmert, wenigstens kurz erläutern, was wie gelesen werden soll. Denn nicht jeder ist ein Physiker.

Des Weiteren findet sich im Unterabschnitt ===== Erhaltungssatz ===== ein einziges Mal \part= $\partial$, sonst nur noch \delta= $\delta$. Es ist sehr zu vermuten, dass überall $\partial$ gemeint ist.

-- Nomen4Omen (Diskussion) 10:25, 19. Apr. 2012 (CEST)

Vektoranalysis

Das Wichtigste hierin, nämlich

$\nabla {\vec {F}}=-\mathrm {div} \,{\vec {F}} \mathrm {rot} \,{\vec {F}}.$ (Dabei ist $-\mathrm {div} \,{\vec {F}}$ der Skalarteil, $\mathrm {rot} \,{\vec {F}}$ der Vektorteil der Quaternion.)

ist zumindest unvollständig erklärt und stimmt vllt nicht so ganz. Ich kommentier's mal raus. -- Nomen4Omen (Diskussion) 21:40, 23. Apr. 2012 (CEST)

Ich denke schon, dass das stimmt. Was gefällt dir daran nicht?

Ist $\nabla {\vec {F}}$ ein Skalarprodukt ?

$\nabla ,{\vec {F}}$ haben beide 3 Dimensionen, woher soll da $\nabla {\vec {F}}$ plötzlich viere haben?

Wie erklärt sich das Minus bei $-\mathrm {div}$ ?

-- Nomen4Omen (Diskussion) 22:50, 23. Apr. 2012 (CEST)

Nachtrag: OK, ich hab's kapiert. Es sind beides formale Quaternionen, und das Produkt ist das Quaternionenprodukt. -- Nomen4Omen (Diskussion) 10:51, 24. Apr. 2012 (CEST)

gewisse Umordnungen und Glattstriche; \cdot nur noch als Skalarprodukt

Ich habe an dem Artikel eine größere Änderung vorgenommen:

1. \cdot nur noch als Skalarprodukt und nicht mehr als Quaternionenmultiplikation. Ist bei der Juxtaposition einer der Faktoren ein Skalar, dann ist auch klar, dass es sich um die Skalarmultiplikation handelt. Die Physiker lieben es so, und die Mathematiker brauchen das \cdot für das Quaternionenprodukt nicht wirklich.
2. Gewisse (nicht ganz alle) Redundanzen sind heraus oder wenigstens in Nachbarschaft gebracht, so dass man leichter erkennen kann, dass es sich um ähnliche Konzepte handelt.
3. Der Abschnitt Vektoranalysis hat mehr Links und mehr Text.
4. Im Abschnitt Physik habe ich bei Gerade〈,〉 und Ungerade〈,〉 spitze Klammern genommen und hoffe, dass das auch anderen außer mir mehr Übersicht bringt. Ferner habe ich das nur suggestiv definierte Skalar() durch das weiter oben erklärte Skalarprodukt 〈,〉 ersetzt. (Skalar() wird dreimal als Skalar(()()) geschrieben und einmal als Skalar(()\cdot()). Ich habe unterstellt, dass es sich jedesmal um ()\cdot() handelt und es durch 〈(),()〉 ersetzt.)
5. Ich habe hoffentlich alles richtig verstanden oder zumindest nicht falsch umgesetzt.
6. An einer Stelle hätte ich selbst, aber auch für den Leser, gerne noch eine Erklärung, nämlich: Was bedeutet im Abschnitt Physik: Was ist q_2 q_1, wenn q_1 ein Differentialoperator ist?

-- Nomen4Omen (Diskussion) 11:21, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ohne deine Änderungen angeschaut zu haben: Ich denke, dass mit "Skalar( )" nicht das Skalarprodukt, sondern der "skalare Teil" der Quaternion, also der Realteil gemeint ist. --Digamma (Diskussion) 13:20, 24. Apr. 2012 (CEST)

Danke, das passt. (Warum sagt er nicht gleich Realteil ?) Ich hab's deutlich gemacht. Trotzdem bleibt noch das eine \cdot zuviel.
Dann bleibt noch meine Ahnungslosigkeit im Abschnitt Physik: Was ist q_2 q_1, wenn q_1 ein Differentialoperator ist? -- Nomen4Omen (Diskussion) 14:20, 24. Apr. 2012 (CEST)

Von dem, was unter "Physik" steht, verstehe ich auch nichts. Kann man herausbekommen, wer das "verbrochen" hat und ihn evtl. kontaktieren? Ich würde auf jeden Fall nichts editieren, was ich nicht verstehe, sonst besteht die Gefahr, dass man etwas, was schon schlecht aufgeschrieben ist, noch schlechter oder gar falsch macht. --Digamma (Diskussion) 19:49, 24. Apr. 2012 (CEST)

Nachtrag: Der Begriff "Skalarteil" taucht ganz oben unter "Grundlegende Begriffe" als Synonym für "Realteil" auf. --Digamma (Diskussion) 19:52, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ich denke, es ist geklärt. $\mathrm {Gerade} ()$ heißt im Jahr 2006 noch Grassman-Geradenprodukt und $\mathrm {Ungerade} ()$ Grassman-Ungeradenprodukt – bei gleicher Definition wie sie heute dasteht. Die Bezeichnungen möchte ich nicht ändern.
Wenn man die Kommutatoren ${\frac {x\,y-y\,x}{2}}$ ausrechnet, kann man zu einem Ergebnis kommen, wo x immer vor y steht, so dass man den Differentialoperator immer an erster Stelle halten kann. Diese Ergebnisse müssen auch in den Text.
Stichprobenweise habe ich nachgerechnet. -- Nomen4Omen (Diskussion) 07:39, 25. Apr. 2012 (CEST)

Grundrechenarten

Bei den Grundrechenarten wird gesagt, dass unter der Voraussetzung der ersten Regel die anderen beiden äquivalent zu dem darunterstehenden ijk = -1 wären. Das bezweifle ich stark bei der axiomatischen Lage, sprich, es ist vorher keine Regel oder Axiom(e) genannt, mit der diese Behauptung bewiesen werden könnte, denn die erste Regel (Axiom) reich da doch bei weitem nicht aus. Also rein mathematisch gesehen wäre das eine falsche Aussage, oder? -- Ilker Savas (Diskussion) 22:24, 27. Apr. 2012 (CEST)

Man braucht das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz und die Kommutativität für die Multiplikation mit reellen Zahlen. Vermutlich wird implizit vorausgesetzt, dass diese Gesetze gelten, also dass man es mit einer assoziativen Algebra zu tun hat. --Digamma (Diskussion) 22:34, 27. Apr. 2012 (CEST)

Dann fände ich es gut es auch da zu erwähnen, das tu ich jetzt mal. Du kannst das Ergebnis gerne verbessern. :) -- Ilker Savas (Diskussion) 15:12, 28. Apr. 2012 (CEST)

@Ilker Savas: Das Distributivgesetz braucht man an dieser Stelle nicht. -- Nomen4Omen (Diskussion) 17:45, 28. Apr. 2012 (CEST)

@Nomen4Omen Mag ja sein, dass man nicht alle Axiome braucht, aber warum löschst du meine sämtlichen Einträge? Ich glaube nicht, dass die da angegebene Äquivalenz allein durch i² = j² = k² = -1 zeigbar ist. Warum lässt du also nicht das was man dann bräuchte einfach stehen? (nicht signierter Beitrag von Ilker Savas (Diskussion | Beiträge) 21:43, 28. Apr. 2012 (CEST))

@Ilker Savas: Du hast recht, dass man ein bisschen mehr braucht (Assoz. in der Mult. und -1 im Zentrum). Aber sorry, ich meine, dass das, was man braucht, durch die Ringaxiome abgedeckt ist, die ich extra noch mal davor geschoben habe. Der Autor dieses Unterabschnitts hebt m.E. auf das Zyklische ab. Für den Leser sind das eine Art Merkregeln, die schon ganz nützlich sind.

Vielleicht tut man sie auch in den Abschnitt ==Konstruktion==, der ja ein bisschen kolloquial und historisch ist. Und klotzt in ==Grundrechenarten== nur die Formeln hin mit der Behauptung, dass die schon alles machen. -- Nomen4Omen (Diskussion) 22:05, 28. Apr. 2012 (CEST)

Alles klar Nomen, mach es so wie du es für richtig hältst. Mir geht es eigentlich auch die ganze Zeit um den Satz selbst als abgeschlossene Einheit: Da in dem Satz kein Bezug auf Ringaxiome o. ä. genommen wird, und nur die eine Regel darüber als Begründung genommen wird, ist er für mich mathematisch nicht vollständig und somit inkorrekt! Nur das wollte ich zum Ausdruck bringen :) -- Ilker Savas (Diskussion) 23:23, 28. Apr. 2012 (CEST)

Entdeckt oder erfunden?

Ohne zugegebenermaßen auch nur ansatzweise begriffen zu haben, worum es überhaupt geht, frage ich mich, wie man Quaternionen entdecken kann. Es sind doch keine Dinge, die uns bis zu einem gewissen Zeitpunkt verborgen waren wie Amerika, Saurierknochen, Bazillen oder Pluto. Sie sind Produkte menschlicher Gedanken und somit wurden sie nicht entdeckt, sondern erfunden. Oder gelten in der Mathematik andere Definitionen? --Plenz (Diskussion) 14:07, 6. Jun. 2012 (CEST)

3 oder 4 Algebren

In dem Kapitel "Die Quaternionen als Algebra" wird von 3 Algebren gesprochen. Wenn ich das richtig in Erinnerung habe, sind das 4, bis auf Isomorphie, nullteilerfreie Divisionsalgebren. Die reellen Zahlen, die komplexen Zalen, die Quarternionen und die Oktaven gehören dazu. --Uhennig (Diskussion) 09:29, 13. Jan. 2013 (CET)

Es steht dort:

Es gibt bis auf Isomorphie genau drei endlichdimensionale $\mathbb {R}$-Algebren, die Schiefkörper sind, nämlich $\mathbb {R}$ selbst, die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ und die Quaternionen $\mathbb {H}$ (Hervorhebung von mir)

Die Multiplikation der Okatven ist nicht assoziativ, deshalb bilden diese keinen Schiefkörper. --Digamma (Diskussion) 14:52, 13. Jan. 2013 (CET)

Ja, das hab' ich auch so gelesen, trotzdem ist meine Aussage richtig. Aber ich verstehe nicht, warum man die Oktaven hier nicht würdigen will.

Schließlich hat man mit den Oktaven dann die allgemeinere Aussage. --Uhennig (Diskussion) 16:56, 16. Jan. 2013 (CET)

Also ich finde die "Würdigung" der Oktaven echt ausreichend. Ich habe extra noch die Fußnote:

Die Cayleyschen Oktaven sind zwar Alternativkörper, aber mangels Assoziativgesetz kein Schiefkörper und zählen nicht dazu.

hinzugefügt. Das Thema in Quaternion#Die Quaternionen als Algebra sind "Algebren". Algebren sind assoziativ. Man müsste geradezu den Abschnitt umtaufen, z.B. in "Die Quaternionen als Algebren oder Alternativkörper", aber wer weiß, was Alternativkörper sind. Abgesehen davon werden die Oktaven unter Quaternion#Verwandte Themen und Quaternion#Siehe auch explizit erwähnt. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:34, 16. Jan. 2013 (CET)

Sorry, ich habe nachgelesen: die Multiplikation der Algebren muss nicht notwendig assoziativ sein. (Schiefkörper schon) --Nomen4Omen (Diskussion) 22:28, 16. Jan. 2013 (CET)

Nur noch ein Wort zu "Würdigung". Ich finde schon, dass es wichtig ist zu sagen, dass die reelen, complexen Zahlen, Quaternionen und Oktaven das komplette Bündel des Zahlenunversums sind. Aber vielleicht sollte diese Diskussion in Zahlen geführt werden.--Uhennig (Diskussion) 11:32, 17. Jan. 2013 (CET)

"geerbt"?

Was soll das Verb "geerbt" in dem zusammenhang hier bedeuten? --88.153.191.80 00:30, 5. Feb. 2013 (CET)

Die Qu. sind ein vierdimensionaler Vektorraum mit einer zusätzlichen Multiplikations-Struktur, aber die Addition läuft genauso ab wie in jedem anderen Vektorraum. In diesem Sinne ist die Vektorraum-Struktur übergeodnet und "vererbt" ihre Eigenschaften. Siehe auch Vererbung (Programmierung)#Beispiel. --χario 01:59, 5. Feb. 2013 (CET)

"Konjugation" bei erstem Gebrauch noch nicht definiert

Die Konjugation eines Quaternions wird im Unterabschnitt "Skalarteil und Vektorteil" das erste mal verwendet, ohne daß die Notation zuvor definiert oder erklärt worden wäre. Eventuell sollte der Unterabschnitt "Konjugation und Betrag" vorgezogen werden. Alternativ wäre zumindest eine kurze Erwähnung der Notation ratsam. -- 92.229.149.98 15:06, 16. Nov. 2013 (CET)

Hoffentlich erledigt. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:42, 16. Nov. 2013 (CET)

Layout

Bitte kein Formatierung mit <big> oder durch Fettdruck. Das stört die Lesbarkeit enorm. --Digamma (Diskussion) 17:51, 12. Mär. 2014 (CET)

@Digamma: Meinst Du die „universellen“ Gruppennamen wie S³ bzw. ${\mathsf {S}}^{3}$ ? Der Fettdruck soll – wie beim Zeichen $\mathbb {R}$ für die rellen Zahlen – ja nur ausdrücken, dass es sich um Konstante und nicht um Variable handelt, wie es bei S³ bzw. $S^{3}$ anzunehmen wäre. Ähnliches gälte dann für $\mathrm {i}$ zu $i$ bzw. i. --Nomen4Omen (Diskussion) 08:12, 14. Mär. 2014 (CET)

Ja, die meine ich. Meines Wissens ist da weder Fettdruck üblich noch serifenlose Schrift. Wenn man sie als Konstante von Variablen abgrenzen möchte (was meiner Meinung nach nicht unbedingt nötig ist, da es ziemlich offensichtlich ist, dass es sich nicht um Variable handelt), tut man das durch \mathrm. Bei der Sphäre ist auch \mathbb S ($\mathbb {S}$) Was mich aber ganz besonders stört, ist, dass du die Bezeichnungen im Text auch noch mit <big> vergrößerst. Das zerfleddert das Schriftbild. Wenn das bisher mit TeX der Fall ist, dann ist das ein Bug und kein Feature. Wenn man als Benutzer in den Einstellungen MathJax einstellt für die Anzeige von TeX, dann stimmt die Größe von mathematischen Zeichen mit der im Text überein. Es gibt also keinen sinnvollen Grund, <big> zu verwenden. --Digamma (Diskussion) 08:32, 14. Mär. 2014 (CET)

Also das <big> ist jetzt raus. (Aber die Abgrenzung von Eigennamen gegen Variable halte ich Neulingen gegenüber für etwas vom Wichtigsten.) --Nomen4Omen (Diskussion) 17:49, 14. Mär. 2014 (CET)

Danke. --Digamma (Diskussion) 20:18, 14. Mär. 2014 (CET)

Inverses

Ich finde, die Definition des multiplikativen Inversen sollte schon im Abschnitt "Konstruktion" auftauchen. Dort wird H nur als Algebra konstruiert. Das Besondere an H ist aber, dass es einen Schiefkörper bildet. --Digamma (Diskussion) 22:54, 14. Mär. 2014 (CET) Ergänzung: Nach dem Überfliegen der Versionsgeschichte habe ich den Eindruck gewonnen, dass der Abschnitt "Konstruktion" aus der ursprünglichen Einleitung hervorgegangen ist. Da würde er meiner Meinung nach auch besser hinpassen, weil er relativ informell geschrieben ist. Unter "Konstruktion" erwarte ich eigentlich einen etwas formeller geschriebenen Abschnitt, d.h. die Definition der Verknüpfungen sollten expliziter sein. Warum wurden die alternativen Konstruktionen nach hinten verschoben? Ich finde, dass diese, gerade die Matrizenkonstruktion, eben nicht nur eine alternative Art angeben, wie so ein Schiefkörper konstruiert werden kann, sondern selbst dazu beitragen, die Quaternionen besser zu verstehen. Deshalb gehören sie für mich nach vorne. Insofern fand ich die alte Struktur des Artikels besser. --Digamma (Diskussion) 23:14, 14. Mär. 2014 (CET)

1, der Abschnitt Konstruktion ist zu informell. Ich hab jetzt die history nicht genau angeschaut. ME: Zweiteilen in einen informellen und informativen (nichttechnischen) Abschnitt, dann die trockene Def.: Ist R^4, wobei e_2 mit i bezeichnet wird und die Multiplikation definiert wird durch...--Frogfol (Diskussion) 23:26, 14. Mär. 2014 (CET)

${\frac {1}{2}}$ statt ${\tfrac {1}{2}}$

@Benutzer:Boehm: Ehrlich gesagt, ich fand's vorher besser. ${\tfrac {1}{2}}$ ist eine Art Universalkonstante bei den Quaternionen und insofern nicht bloß der schlichte Bruch ${\frac {1}{2}}$. Aber so irre wichtig ist das nicht. --Nomen4Omen (Diskussion) 14:04, 3. Jun. 2014 (CEST)

tfrac steht für frac im textstyle. Bei abgesetzten Formeln ist textstyle aber nicht sinnvoll. Lediglich im Fließtext ist tfrac sinnvoll (und dort habe ich tfrac nicht ersetzt), da ein zu großer Bruch den Textfluß stören würde. Bei abgesetzten Formel kann der Textfluß nicht gestört werden. Also ist tfrac hier nicht notwendig und eher irritierend. --Boehm (Diskussion) 01:11, 4. Jun. 2014 (CEST)

OK, irritieren wollen wir natürlich niemand. --Nomen4Omen (Diskussion) 07:39, 4. Jun. 2014 (CEST)

Welchen Zahlenraum erweitern sie denn nun genau??

Das ist mal ein inhaltlicher Unterschied! Trifft man auch selten an. WP:DE sagt aus Die Quaternionen (...) sind ein Zahlbereich, der den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitert. Und bei unseren englischsprachigen Kollegen (en:Quaternion) liest man statt dessen In mathematics, the quaternions are a number system that extends the complex numbers. Das ist natürlich ein meilenweiter Unterschied: ob ich den komplexen Zahlenraum selbst erweitere oder nur eine alternative Erweiterung der reellen Zahlen liefere! Für mich sind das Aussagen, die zum größten Teil voneinander unabhängig bestehen, aber nicht zwingend dasselbe bedeuten. (WP:DE vs. WP:EN). Schreibt doch mal was dazu. -das_frustum- 2.242.122.73 16:15, 25. Jan. 2016 (CET)

Also so meilenweit finde ich den Unterschied nicht, wenn man die hier gewählte Formulierung „über die komplexen Zahlen hinaus“ gesehen hat. Tiefer drin im Artikel steht dann auch, dass sie kein C-Vektorraum sind, obwohl man C einbetten kann, allerdings auf unendlichviele verschiedene Weisen. Im Sinn der Algebra sind sie also kein Erweiterungskörper von C. Steht alles drin und ist m.E. genauer als „extends the complex numbers“. So legt der Artikel keine Fehlspuren. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:04, 25. Jan. 2016 (CET)

Die Quaternionen sind doch auch kein Erweiterungskörper von R. --Jobu0101 (Diskussion) 17:13, 25. Jan. 2016 (CET)

Wenn man als Körper auch nicht-kommutative zulässt, dann passt es zur Sprechweise in Erweiterungskörper. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:17, 25. Jan. 2016 (CET)

Schiefkörper als Körpererweiterung zulassen, das ist, soweit ich weiß, unüblich. Ansonsten sehe das alles wie du, Nomen4Omen. Eine Erweiterung der reellen und der komplexen Zahlen, das ist kein meilenweiter Unterschied. --Jobu0101 (Diskussion) 02:07, 26. Jan. 2016 (CET)

Was immer man erweitert, ob Körper, Schiefkörper oder Anderes, soweit ich sehe, gilt überall die Konvention, dass eine Erweiterung C einer Erweiterung B von A auch selbst eine Erweiterung von A ist. Wenn einer die Quaternionen als Erweiterung der komplexen Zahlen sieht, und ein Anderer als Erweiterung der reellen Zahlen, besteht da kein Widerspruch, da doch die komplexen die reellen Zahlen erweitern.

Wenn man übrigens die nichtkommutativen, also die Schief-Körper zu den Körpern zählt, sollte man das dazusagen. Ich kann das jetzt nicht nachsehen, aber möglicherweis bei den Franzosen, etwa N. Bourbaki, denke ich, war das üblich. Was wir Körper nennen, muss dann als kommutativer Körper bezeichnet werden. Auch in der mathematischen Sprache gibt es mitunter Dialekte.- Binse (Diskussion) 00:16, 28. Jan. 2016 (CET)

Quaternion#Die endlichen Untergruppen

Wird $C_{n}$ nicht von $e_{2n}$ erzeugt und nicht (wie es jetzt im Artikel steht) von $e_{n/2}$?--S. K. Kwan (Diskussion) 22:15, 18. Aug. 2017 (CEST)

Leider muss man sehr genau lesen: Wegen $e_{n}:=\exp(\pi \mathrm {i} /n)$ ist $e_{n/2}=\exp(2\pi \mathrm {i} /n)$. --Nomen4Omen (Diskussion) 22:31, 18. Aug. 2017 (CEST)

Quaternionen in der Informatik

Der Abschnitt für "Anwendungen" in "Informatik und Ingenieurwissenschaften" scheint ohne jegliche Beweise für ein praktisches Vorkommen von Quaternionen auszukommen. zudem liegt kein Beweis vor, dass weniger Rechenschitte von modernen Prozessoren auch schneller ausgeführt werden können. Ich würde sagen, dass keinerlei bemerkenswerte Anwendung von Quaterlionen in Computerspielen oder im Bereich der Computergrafik stattfindet. Ich würde darum bitten einige Links zu Beweisen und praktischen Anwendungen anzufügen.(nicht signierter Beitrag von 2003:e8:d3f4:8301:980e:e56:ac36:aa14 (Diskussion) 16:54, 29. Jun. 2018 (CEST))

Ich habe zwar keinen Überblick über die tatsächlichen Anwendungen, aber zumindest die Unity-Engine verwendet Quaternionen, um Rotationen zu repräsentieren: [1]. Das widerlegt schon mal „keinerlei bemerkenswerte Anwendung“. -- HilberTraum (d, m) 20:48, 30. Jun. 2018 (CEST) P.S.: Hier habe ich gerade noch einen etwas älteren Artikel gefunden, in dem steht, dass die ersten beiden Tomb Raider-Teile Quaternionen für die Kamerabewegung verwenden: [2] -- HilberTraum (d, m) 20:55, 30. Jun. 2018 (CEST)

Skalarteil? Vektorteil?

Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente x_0 bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als Realteil oder Skalarteil usw.

Ich bin auf dem Quaternionenfeld nicht bewandert, aber warum ist das so bzw. wo steht das? Wenn ich die Begriffe "Skalarteil und Vektorteil" höre, dann denke ich intuitiv an "Betrag und Richtung", also, Skalarteil wäre der Betrag und Vektorteil das normierte Quaternion. Gut, das ist nur meine intuitive Assoziation, aber was begründet es, x_0 als einen "Skalar" den anderen drei Komponenten gegenüberzustellen? Es wird doch nicht draufmultipliziert?--2001:A61:260C:C01:4109:933E:73EC:E42F 18:27, 16. Okt. 2018 (CEST)

Du hast Recht: Der Skalarteil einer Quaternion ist nicht ihr Betrag. Aber Multiplikation mit einer rein reellen Zahl ist tatsächlich Multiplikation mit einem Skalar (wie bei komplexen Zahlen auch). Das rechtfertigt, die rein reellen Quaternionen als Skalare und damit den Realteil einer Quaternion als "Skalarteil" zu bezeichnen. Letztendlich ist das aber Konvention (dazu noch eine historische)

Der Vektorteil enthält Betrag und Richtung. Die Richtung wird durch eine rein vektorielle Quaternion des Betrags 1 gekennzeichnet. Diese heißen bei Hamilton "Versor". Der Betrag heißt "Tensor" (was absolut nichts mit der heutigen Bedeutung des Wortes "Tensor" zu tun hat). --Digamma (Diskussion) 18:41, 16. Okt. 2018 (CEST)

Ach, also salopp gesagt, "Quaternionen haben ja vier Dimensionen, das paßt gerade für einen normalen Vektor aus der Welt, in der wir leben, und dann noch eine Zahl davor" (so habe ich das jetzt wenigstens verstanden). Danke! --2001:A61:260C:C01:4109:933E:73EC:E42F 19:02, 16. Okt. 2018 (CEST)

Farben

Es ist mir völlig unklar was die Farben in der Formel für xy bedeuten. Madyno (Diskussion) 20:14, 22. Jul. 2020 (CEST)

Hast du die Fußnote [8] gesehen? Gruß - Nomen4Omen (Diskussion) 21:07, 22. Jul. 2020 (CEST)

Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik

Was soll das? Was waren die komplexen Zahlen (die waren schon früher bekannt). --Fachwart (Diskussion) 00:45, 24. Aug. 2021 (CEST)

Ganz klar gemeint ist: ein nicht-kommutativer (Schief)-Körper war vor den Quaternionen nicht bekannt. (Und die komplexen Zahlen sind kein nicht-kommutativer (Schief)-Körper.)

Schönen Gruß auch, –Nomen4Omen (Diskussion) 11:18, 24. Aug. 2021 (CEST)

"Quaternion" vs. "Hyperkomplex" bei Fraktalgeneratoren und Co.

Diverse Fraktalgeneratoren und davon abgeleitete Programme (z.B. POV-Ray kennen zwei Arten von "4dimensionalen Zahlen" und nennen sie dann meist "quternion" und "hyperkomplex", wo dann jeweils verschiedene Rechenregeln gelten:

• https://www.povray.org/documentation/3.7.0/r3_4.html#r3_4_5_1_7

Die genauen Rechenregeln werden hier erläutert:

• https://www.karmak.org/archive/2003/01/quaternions.txt

 QUATERNION MATH
 […]
 Multiplication rules for quaternion basis vectors:
 
 ij =  k,   jk =  i,   ki = j
 ji = -k,   kj = -i,   ik = -j
 ii = jj = kk = -1
 ijk = -1
 
 Note that ij = k but ji = -k, showing the failure
 of the commutative law. The rules for multiplying
 any two quaternions follow from the behavior of
 the basis vectors just described. However, for
 your convenience, the following formula works out
 the details.
 
 Let q1 = x1   y1i   z1j   w1k
 and q2 = x2   y2i   z2j   w2k.
 
 Then q1q2 = 1(x1x2 - y1y2 - z1z2 - w1w2)  
             i(y1x2   x1y2   w1z2 - z1w2)  
             j(z1x2 - w1y2   x1z2   y1w2)  
             k(w1x2   z1y2 - y1z2   x1w2)
 
 HYPERCOMPLEX MATH
 Quaternions are not the only possible four
 dimensional supersets of the complex numbers.
 William Rowan Hamilton, who discovered quaternions
 in 1843, considered the alternative called the
 hypercomplex number system. Unlike quaternions,
 the hypercomplex numbers satisfy the commutative
 law of multiplication. The law which fails is the
 field property that states that all non-zero
 elements of a field have a multiplicative inverse.
 For a non-zero hypercomplex number h, the
 multiplicative inverse 1/h does not always exist.
 
 As with quaternions, we will define multiplication
 in terms of the basis vectors 1, i, j, and k, but
 with subtly different rules.
 
 Multiplication rules for hypercomplex basis vectors:
 
 ij = k,   jk = -i,   ki = -j
 ji = k,   kj = -i,   ik = -j
 ii = jj = -kk = -1
 ijk = 1
 
 Note that now ij = k and ji = k, and similarly for
 other products of pairs of basis vectors, so the
 commutative law holds.
 
 Hypercomplex multiplication formula:
 
 Let h1 = x1   y1i   z1j   w1k
 and h2 = x2   y2i   z2j   w2k.
 
 Then  h1h2 =  1(x1x2 - y1y2 - z1z2   w1w2)  
               i(y1x2   x1y2 - w1z2 - z1w2)  
               j(z1x2 - w1y2   x1z2 - y1w2)  
               k(w1x2   z1y2   y1z2   x1w2)

Sollten diese Zahlen nicht im Artikel Erwähnung finden? Zumal diese – im Gegensatz zu Quaternionen – eine einfachere Möglchkeit bieten, existierende Funktionen über Komplexe Zahlen auf "4 Dimensionen" zu erweitern, wie sowohl im Fraktint- als auch im POV-Ray-Artikel beschrieben wird. --RokerHRO (Diskussion) 14:52, 15. Dez. 2022 (CET)

Ankündigung: Löschen des Abschnitts Physik im Kapitel Anwendungen

Dieser Abschnitt wurde im Wesentlichen im Jahr 2006 eingefügt. Wegen nicht behebbaren Mängeln plane ich die baldige Löschung des Abschnitts (siehe auch Wikipedia:Redaktion_Physik/Qualitätssicherung#Abschnitt_Physik_im_Artikel_Quaternion). Als Beleg für die Mängel halte ich den Rechenschritt

${\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}={\frac {{\left({\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)}^{2}}{2}}$

allein schon für ausreichend. --Kallichore (Diskussion) 21:59, 18. Aug. 2023 (CEST)

So, wie der Abschnitt dasteht, finde ich ihn auch nicht besonders gelungen. Was aber mE unbedingt im Artikel rauskommen sollte, ist, dass die Q nicht nur eine nette math Spielerei sind, sondern gewichtige Anwendungen haben, zB in der Physik. Da gibt es glaubich genügend viele gute externe Belege dafür. --Nomen4Omen (Diskussion) 10:37, 19. Aug. 2023 (CEST)

Zu den "gewichtigen Anwendungen": Quaternionen können wegen der Zusammenhänge unter Quaternion#Beschreibung_anderer_Konstrukte_mit_Hilfe_von_Quaternionen viele physikalische Phänomene beschreiben. Deshalb sind sie auch mehr als "nur eine nette mathematische Spielerei" Aber ist eine Formulierung mit Quaternionen in der Physik vorteilhaft? Im Artikel in en.Wikipedia (den ich wesentlich besser finde) wird auf diese Frage eingegangen. Folgendes Zitat von Lord Kelvin deute ich als entschiedenes Nein auf diese Frage:

Quaternions came from Hamilton after his really good work had been done; and, though beautifully ingenious, have been an unmixed evil to those who have touched them in any way, including Clerk Maxwell.

Insgesamt halte ich die Entfernung des Abschnitts für die beste Lösung. --Kallichore (Diskussion) 18:13, 19. Aug. 2023 (CEST)

Wenn du den dt WP-Lesern vor allem Vorteilhaftigkeiten vorsetzen möchtest, dann kannst du den Artikel vielleicht noch stärker zusammenstreichen. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:32, 19. Aug. 2023 (CEST)

Priorität hat für mich, den Abschnitt mit groben Fehlern zu entfernen ("nicht besonders gelungen" halte ich für eine starke Untertreibung). --Kallichore (Diskussion) 20:19, 19. Aug. 2023 (CEST)

Ich habe die Löschung nun hier umgesetzt. Ich möchte noch auf den Abschnitt "Diskussion aus dem Review (November 2006)" hinweisen, ebenso auf das hier im Portal Physik. Offenbar wurde der Artikel 2006 stark überarbeitet, der Abschnitt Physik wurde aber ausgelassen. Seitdem wurde der Abschnitt Physik zwar gekürzt, aber nicht mehr erweitert. --Kallichore (Diskussion) 09:04, 20. Aug. 2023 (CEST)

Erweiterung

"der den Zahlenbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus" ist ziwemlich unglücklich formuliert - die Quaternionen erweitern den Zahlenbereich der komplexen Zahlen. --Fachwart (Diskussion) 00:18, 7. Nov. 2023 (CET)

Der erste derartige Gegenstand

Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik.

Dieser Satz ist unverständlich. --Andres (Diskussion) 20:40, 9. Jun. 2024 (CEST)

Ja, er bezieht sich auf den Satz davor: Quaternionen waren angeblich die erste (bekannte/entdeckte/definierte) Zahlenmenge, die einen Schiefkörper bildet, d.h. wo die Multiplikation nicht mehr kommutativ ist. --RokerHRO (Diskussion) 21:05, 9. Jun. 2024 (CEST)

Danke!

So was sollte gesagt werden, und schon im vorigen Absatz. Dann wäre es verständlich. --Andres (Diskussion) 16:01, 12. Jun. 2024 (CEST)

Zumindest sollte der Absatzumbruch entfernt werden. Aber auch grammatikalisch ist der Satz schief. Die Quaternionen (Plural) können nicht ein Gegenstand (Singular) sein. --Digamma (Diskussion) 20:20, 12. Jun. 2024 (CEST)

Unverständliches unter "Konjugation"

Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist,

Ich verstehe nicht, wozu diese Erklärung und was sie erklärt. --Andres (Diskussion) 16:01, 12. Jun. 2024 (CEST)