Bilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz

$a\cdot (b c)=a\cdot b a\cdot c$

bei der normalen Multiplikation. Bilineare Abbildungen sind ein Spezialfall multilinearer Abbildungen.

Definition

Eine $K$-bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, das heißt eine Abbildung

$f\colon E\times F\to G$, wobei $E$, $F$ und $G$ drei $K$-Moduln oder $K$-Vektorräume über dem (gleichen) Ring bzw. Körper $K$ sind,

so dass für jedes (fest gewählte) $y$ aus $F$

$x\mapsto f(x,y)$

eine $K$-lineare Abbildung $E\to G$ ist, und für jedes $x$ aus $E$

$y\mapsto f(x,y)$

eine lineare Abbildung $F\to G$ ist. Für beliebige $x,x'\in E$, $y,y'\in F$ und $\alpha \in K$ gilt demnach

${\begin{aligned}f(x x',y)&=f(x,y) f(x',y)\\f(x\cdot \alpha ,y)&=\alpha \cdot f(x,y)\\f(x,y y')&=f(x,y) f(x,y')\\f(x,\alpha \cdot y)&=\alpha \cdot f(x,y).\\\end{aligned}}$

Man kann sagen, dass der Begriff der Bilinearität eine Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze darstellt. Dabei beschreibt die Bilinearität jedoch nicht nur (wie die Distributivgesetze) das Verhalten der Abbildung hinsichtlich Addition, sondern auch hinsichtlich Skalarmultiplikation.

Genauer: Ist $K$ ein (möglicherweise nicht-kommutativer) Ring mit $1$, dann muss die Seitigkeit der Moduln miteinbezogen werden, d. h. $E$ muss ein rechter und $F$ ein linker $K$-Modul sein. Die Seitigkeit von $G$ bleibt frei wählbar (in den Gleichungen ist sie links), weil $K$ auf $G$ – zumindest jedoch auf dem Bild $f(F\times E)\subset G$ und damit auch auf dem von ihm aufgespannten Untermodul bzw. Unterraum – kommutativ operiert: $\alpha \cdot \beta \cdot f(x,y)=\alpha \cdot f(x,\beta \cdot y)=f(\alpha \cdot x,\beta \cdot y)=\beta \cdot f(\alpha \cdot x,y)=\beta \cdot \alpha \cdot f(x,y)\;.$

Normierte Räume

Sind die betrachteten $K$-Vektorräume normiert, dann lässt sich analog zu linearen Abbildungen eine Operatornorm definieren:

$\|f\|:=\sup \limits _{x,y\neq 0}{\frac {\|f(x,y)\|}{\|x\|\cdot \|y\|}}=\sup \limits _{\|x\|,\|y\|=1}\|f(x,y)\|$

$f$ ist stetig genau dann wenn $\|f\|<\infty$. Es gilt die Submultiplikativität $\|f(x,y)\|\leq \|f\|\cdot \|x\|\cdot \|y\|$.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bilineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung $B$ stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt

$DB(x_{0},y_{0})(x,y)\;=\;B(x_{0},y)\, \,B(x,y_{0})$

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien $f,g$ total differenzierbare Funktionen, dann gilt

${\begin{aligned}DB(f(\cdot ),g(\cdot \cdot ))(x_{0},y_{0})(x,y)&=D(B\circ (f,g))(x_{0},y_{0})(x,y)\\&=B(Df(x_{0})x,g(y_{0})) B(f(x_{0}),Dg(y_{0})y)\end{aligned}}$

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und das Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.

Ein Spezialfall der bilinearen Abbildungen sind die Bilinearformen. Bei diesen ist der Wertebereich $G$ mit dem Skalarkörper $K$ der Vektorräume $E$ und $F$ identisch.

$f\colon E\times F\to K$

Bilinearformen sind für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie wichtig.

In der Bildverarbeitung wird eine bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie und Antisymmetrie (für $F=E$) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung $E\times E\to E$ macht $E$ zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, das heißt, dass

$f(x,\alpha \cdot y)=\alpha ^{*}\cdot f(x,y)$

(wobei $*$ die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

$f\colon E\times F\to G$

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$E\otimes F\to G,x\otimes y\mapsto f(x,y);$

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

$\lambda \colon E\otimes F\to G$

eine bilineare Abbildung

$E\times F\to G,\quad (x,y)\mapsto \lambda (x\otimes y).$

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen $E\times F\to G$ und dem Raum der linearen Abbildungen $E\otimes F\to G$.

Bilineare Abbildungen über endlichdimensionalen Vektorräumen

Sind $E$ und $F$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit beliebig gewählten Basen $(b_{i})_{i=1,\dotsc ,n}$ von $E$ und $(c_{j})_{j=1,\dotsc ,m}$ von $F$, dann gibt es für ein beliebiges $x$ aus $E$ die Darstellung

$x=\sum _{i}x_{i}b_{i}$ mit Koeffizienten $x_{i}$ aus $K$ und analog für ein beliebiges $y$ aus $F$ die Darstellung

$y=\sum _{j}y_{j}c_{j}.$

Mit den Rechenregeln der bilinearen Abbildung ergibt sich dann

$f(x,y)=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}y_{j}f(b_{i},c_{j}).$

Die bilineare Abbildung ist also durch die Bilder aller geordneten Paare der Basisvektoren von $E$ und $F$ bestimmt. Ist $G$ ebenfalls ein K-Vektorraum, so spannt das Bild $\operatorname {Im} (f)$ einen maximal $n\cdot m$ dimensionalen Untervektorraum von $G$ auf. Im Allgemeinen ist das Bild einer bilinearen Abbildung zwischen Vektorräumen aber kein Untervektorraum.

Für Bilinearformen sind die $f(b_{i},c_{j})$ aus $K$, so dass sie in naheliegender Weise in einer Matrix notiert werden können. Diese Matrix ist dann die Koordinatendarstellung der Bilinearform bezüglich der gewählten Basen.

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.