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Salve eines Primaten aus Wien, Österreich, Europa, Landfläche, Erde, Welt,Universum, Multiversum

Leben sollte Schönheit sein.

Individuum Mensch gepflegt zu Denken

Wissenschaft erweitert Wissen und bedingt Forschung und Lehre

Wissenschaftstheorie bezeichnet Methodik

Argumentation Ausgangssituation, Situation, Sachverhalt klären, Problem lösen, Beobachtung einordnen durch äußern von Vermutungen, abgeben von Erklärungen, aufstellen von Behauptungen, formulieren von Prognosen belegt durch die Argumente. Argumentarten: -Faktorena.: Beobachtungen, Statistiken, logische Beziehungen zw. Ursache und Wirkung bestimmen A. -Autoritätsa.: beruft sich auf Autoritätspersonen -Normatives A.: beruft sich auf Normen und Werte -Analogisierendes A.: beruft sich auf Analogien -Indirektes A.: beruft sich auf evidenter Meinung bzw. daraud, dass gegenteilige Meinung offensichtlich unstimmig ist -A.um ad bacalum: zielt auf Befürchtungen von Rezipienten -A.um ad misericordium: zielt auf Mitleid von Rezipienten -A.um ad populum: zielt auf spontane Gefühle von Rezipienten Stützungen: ergänzen die Argumentation (Regeln, Fakten, Beobachtungen, Erfahrungen, log. Schlussfolgerungen) Einwände mit Argumenten abwehren und Ausnahmen benennen und erklären. Ergebnisse der Argumentation hat bei der Argumenation zu beachtende Folgen und Konsequenzen

Netzwerke fördern Kommunikation

Signale als physikalischen Erscheinungsformen von Nachrichten

keywords zur Algebra:

Äquivalenzrelation;
Äquivalenzklassen;
Banachraum;
Bild;
Cauchyfolge;
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung;
distributiv;
disjunkt;
Dualraum;
DeMorgansche Gesetze;
Determinantenfuntion;
Durchschnitt -
allgemeiner;
distributiv;
Dreiecksungleichung;
Funktional;
Gruppe -
abelsche Gruppe: KG gültig -
endliche, unendiche -
Untergruppe -
kommutative Untergruppe -
Halbgruppe -
kommutative, abelsch: KG gilt -
zyklisch: wenn ein x existiert sodass jedes Element Potenz von x^k (k€N) ist -
Unterhalbgruppe -
Ordnung einer -
Gruppenhomomorphismus -
zyklisch;
Halbordnung;
Hauptidealring;
Homomorphismus -
Gruppenhomomorphismus -
Ringhomomorphismus;
inneres Produkt;

injektiv, surjektiv;
Integritätsbereich (ein Ring R\{0} - nullteilerfrei u. kommutativ);
irreduzibel;
Kern;
Kongruenzrelation;
Körper;
Menge
quadratischer Matrizen;
Metrik;
Monoid
zyklische;
Newtonverfahren, Newtonalgorithmus;
Norm -
eines linearen Raumes -
induzierte;
Operator - linearer;
Ordnung -
lineare;
Ordnungsrelation;
Orthogonalpolynome;
Orthogonalsstem
Orthonormalsystem (ONS);
Polynom;
Potenzmenge
in einer variablen mit reellen koeffizienten;
Prähilbertraum;
Primzahlordnung;
Punktetrennend;
Rechtsnebenklasse;
Relation;
Riesz - Satz von ;
Skalarkörper;
Supremumsnorm: Norm auf Funktionenraum;
Tautologie;
Teilmenge - offene, -kompakte;
Teilraum
abgeschlossener
eines Vektorraums;
Totalordnung
jede noethersch?, hat jede nichtleere menge ein kleinstes element?;
Vektorraum
normierter;
Verschmelzungsgesetz;

Grundlagen: Logik, Aussagenlogik, Prädikatenlogik; Mengen, naive Mengentheorie, Vereinigung, Duchschnitt, Partition, Potenzmenge, Produktmengen, Relationen, Äquivalenzrelation und Halbordnung, Quotientenmenge, Schnitt, Funktionen und Abbildungen

Algebra: Formale Sprachen - Rudimente, Termersetzungssysteme, Chomsky-Grammatik, Halbgruppen, Gruppen und Wirkungen, Definitionen und Allgemeines, Kongruenzen und Homomorphismen von Halbgruppen, Gruppen und Wirkungen, Unterhalbgruppen, Nebenklassenzerlegung, Normalteiler, Halbgruppen mit Kürzungseigenschaft, Quotientenbildung, Ringe und Körper, Definitionen und Allgemeines, Abstrakte Polynomdefinition als Terme, Ringe von Quotienten in einem Integritätsbereich, Kongruenzen in kommutativen Ringen mit Einselement, Ideale, kommutativer Polynomring, algebraische Körpererweiterung, Endliche Körper,

Metrische Räume: Grundlegende Definitionen, Konvergenz, FPS von Banach und Anwendungen1, Offene, abgeschlossene, dichte und kompakte Teilmengen, Approximationssatz von Stone-Weierstraß
Lineare Funktionsanalysis; Vektorräume, Grundlegende Axiome, Teil-, Quotienten- und Komplementärraum, lineare Hülle, Unabhängigkeit, Basen, Dimension, lineare Abbildung, Kern und Rang, Dualraum, Dualität, Normierte lineare Räume, Banachräume, Norm, Vollständigkeit, Abgeschlossene Teilräume, Dimension, Lp und lp Normen, Soboleffnormen, stetig lineare Operatoren, Stetigkeit=Beschränktheit, Operatornorm, (topologischer) Dualraum, Kompakte Operatoren, Hilberträume, inneres Produkt, Prähilbertraum, Vollständigkeit, Orthonormalsysteme

Relationen und Abbildungen

Raum (Mathematik): Als Raum (Mathematik) wird in der Mathematik eine mit einer Hierarchie mathematischer Strukturen versehene Menge (Mathematik) bezeichnet.

Struktur: mathematische Struktur : als Menge verstanden, die mit bestimmten Eigenschaften ausgestattet ist.

Algebraische Strukturen sind mit einer oder mehreren Verknüpfungen ausgestattet.

Relation: Beziehung zwischen Objekten;

Ordnungsrelation: 2-stellige Relation: Elemente einer Menge werden vergleichbar

Einteilung nach Merkmalen:

Reflexivität: Die Reflexivität einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn x R x für alle Elemente x der Menge gilt (also jedes Element in Relation zu sich selbst steht). Man nennt R dann reflexiv. Die Relation heißt irreflexiv, wenn die Beziehung x R x für kein Element x der Menge gilt

Symmetrie:

Antisymmetrie: einer zweistelligen Relation R auf einer Menge ist gegeben, wenn für zwei beliebige verschiedene Elemente x und y der Menge nicht gleichzeitig x R y und y R x gelten kann. Äquivalent formuliert heißt dies, dass für beliebige Elemente x und y der Menge aus x R y und y R x stets x = y folgt. Man nennt R dann antisymmetrisch. Die Antisymmetrie ist eine der Voraussetzungen für eine Ordnungsrelation.

Transitivität (Mathematik):In der (formalen) Logik und Mathematik ist eine zweistellige Relation R dann transitiv, wenn aus xRy und yRz stets xRz folgt, z. B. ist die kleiner-als-Relation ganzer Zahlen transitiv (aus x < y und y < z folgt stets x < z),

rechtseindeutig,

linkseindeutig,

linkstotal,

rechtstotal

Ordnungsrelation:

Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv

Halbordnung: reflexive, antisymmetrische und transitive Relation in A

Abbildung von D in B: linkstotal, rechtseindeutig

Relation heißt zweistellige (binäre) innere Verknüpfung (Operation) in A wenn linkstotal und rechtseindeutig. Relation heißt zweistellige (binäre) äußere Verknüpfung (Operation) in A wenn linkstotal und rechtseindeutig. konverse Relation

Injektive Abbildungen: wenn linkseindeutig Surjektive Abbildungen: wenn rechtstotal

Die Verknüpfung zweier bijektiver Abbildungen ist wieder bijektiv

Gebilde (D,R1..Rs) - D ist Menge R1..Rs sind Relationen und/odere innere Verknüpfungen;

Homomorphismus (relationstreu): strukturerhaltende Abbildung zweier Gebilde; ->Gruppen-, Ringhomomorphismus Wenn Homomorphismus f zweier Gebilde injektiv, so heißt f monomorphismus - wenn surjektiv Epimorphismus - wenn bijektiv Isomorphismus - wenn Selbstabbildung Endomorphismus. Ein bijektiver Endomorphismus heißt Automorphismus

Menge unendlich, wenn eine bijektive Abbildung auf eine echte Teilmenge existiert - Wenn nicht , so ist sie endlich

Menge abzählbar wenn bijektive Abbildung f:A->N existiert. Wenn nicht heißt sie überabzählbar

Ordnungsstrukturen

halbgeordnete Menge -> untere, obere Schranke; untere Grenze, obere Grenze

Infimum: Menge der unteren Grenzen von A Supremum: Menge der oberen Grenzen von A

halbgeordnete Menge heißt Verband, wenn zu je 2 Elementen das sup und das inf existiert

minimales, maximales Element

Lemma von Zorn: Wenn in einer halbgeordneten Menge zu jeder Kette (durch die Ordnung vollständig geordnete Teilmenge) eine obere Schranke gibt, so besitzt M ein maximales Element

Menge M heißt wohlgeordnet, wenn jede nicht leere Teimenge von M ein kleinstes Element besitzt - Wenn ein Element nicht größtes Element ist hat es einen unmittelbaren Nachfolger

Gruppen

binäre Operation möglich: assoziativ, kommutativ

Halbgruppe: heißt eine nichtleere Menge mit einer assoziativ binären Operation

neutrales Element: Wenn e in Halbgruppe existiert inverses Element: Wenn in Halbgruppe mit neutralem Element ein y existiert sodaß xy=yx=e

Gruppe: Halbgruppe mit neutralem Element heißt Gruppe, wenn jedes Element ein Inverses besitzt

abelsche Gruppe(kommutative Gruppe), wenn die binäre Operation in der Gruppe G kommutativ

zyklische Gruppe: Eine Halbgruppe G heißt zyklisch, falls es ein x ∈ H gibt, derart, daß jedes Element eine Potenz x^k mit k ∈ N ist. Alle zyklischen Gruppen sind abelsch.

Ordnung einer endlichen Gruppe: die Anzahl der Elemente einer endlichen Gruppe

Eine Teilmenge U einer Gruppe G heiß Untergruppe, wenn U (bzgl. der binären Operation in G) selbst Untergruppe. Das heisst (neutrales Element, inverses Element liegt in U, die Verknüpfung zweier Elemente in U liegt in U.

Wenn G eine Gruppe und U Teilmenge von G, dann ist U genau dann eine Untergruppe wenn $a,b\in U=>ab^{-}1\in U$ Wenn G eine endliche Gruppe und U Teilmenge von G, dann ist U genau dann eine Untergruppe wenn $a,b\in U=>ab\in U$ Die Ordnung jeder Untergruppe einer endlichen Gruppe ist Teiler der Gruppenordnung.

Eine Untergruppe U von G mit der Eigenschaft dass aU=Ua für alle a aus G gilt heißt ein Normalteiler (oder invariante Untergruppe)

Das homomorphe Bild einer Halbgruppe ist eine Halbgruppe. Das homomorphe Bild einer Gruppe ist eine Gruppe.

Kern eines Homomorphismus phi von G1 nach G2: Menge aller Elemente von G1, deren Bild unter phi das neutrale Element in G2 ist.

Der Kern eines Homomorphismus phi ist ein Normalteiler in G.

Homomorphiesatz: Jede Gruppe G1, die auf eine Gruppe G homomorph abgebildet ist, ist isomorph einer Faktorgruppe G/K (K=Kern d. H.).

Normalteiler: In der Gruppentheorie, bezeichnet der Begriff Normalteiler oder normale Untergruppe eine Untergruppe, die zusätzliche Eigenschaften hat. Jeder Gruppenhomomorphismus bildet Untergruppen der Urbildgruppe auf Untergruppen der Bildgruppe ab. Genau die Normalteiler sind es, die dabei auf die Eins-Untergruppe, die nur das neutrale Element enthält, abgebildet werden können. Ein solcher Normalteiler heißt auch der Kern des betreffenden Homomorphismus. Er ist also das Urbild der Eins-Untergruppe. Daher lassen sich alle denkbaren Homomorphismen aus einer Gruppe im Wesentlichen beschreiben, wenn deren Normalteiler bekannt sind.

Ringe und Körper

System mit doppelter Komposition: eine nicht leere Menge R von Objekten wird durch zwei binäre funktionen ( ,.) verknüpft.

Ring: Ein System mit doppelter Komposition wenn (R, ) eine abelsche Gruppe, wenn (R,.) eine Halbgruppe und wenn und . durch die distributiven Gesetze miteinander in Beziehung gebracht sind.

kommutativer Ring: Multiplikation kommutativ.

kommutativer Ring mit Einselement: ein neutrales Element 1 bzgl. der Multiplikation vorhanden, also ein Ring in dem (R,.) eine kommutative Halbgruppe mit Halbgruppe mit Einselement ist.

Nullteiler: Ein Ring (R, ,.) mit a,b in R und a,b ungleich 0. Wenn ab=0 so heißen a und b Nullteiler (linker, rechter Nullteiler)

Integritätsbereich: Ein kommutativer nullteilerfreier Ring (R, ,.)

homomorphes Bild eines Rings ist wieder ein Ring, das eines Integritätsbereichs wieder Integritätsbereich

Der Polynomring R[x] über einem Ring R ist genau dann Integritätsbereich wenn Ring Integritätsbereich ist.

Schiefkörper: Ein Ring (R, ,.) wenn (R\{0},.) eine Gruppe ist. Wenn diese kommutativ ist, so heißt R ein Körper

homomorphes Bild eines Körpers ist wieder ein Körper

Charakteristik des Körpers K: p aus N0

Die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers ist eine Potenz der Charakteristik p

Lineare Räume

linearer Vektorraum über dem Körper K: V ist nichtleere Menge von Objekten(Vektoren), weiters ein Zahlenkörper K (Mit Charakterstik 0). Addition als innere Verknüpfung, Multiplikation mit Zahlen aus K als äußere Verknüpfung. Ist (V, ) eine abelsche Gruppe und gelten bzgl der Multiplikation mit Zahlen das AG, das 1.DG, das 2.DG und 1a=a so heißt V linearer Vektorraum über dem Körper K

endliches Vektorsystem linear abhängig, wenn es Zahlen aus K gibt die nicht alle = 0 sind sodass k1a1 k2a2 ... knan=0, linear unabhängig wenn alle kn=0

unendliches Vektorsystems S heißt linear abhängig, wenn endliches Teilsystem S' existiert welches linear abhängig ist. Wenn jedes endliche Teilsystem des Vektorsystems S linear unabhängig, so heißt das unendliche Vektorsystem S linear unabhängig.

Teilraum (Unterraum): Eine nichtleere Teilmenge U eines lin. Vektorraums. V über dem Zahlenkörper K wenn a b in U und ka in U

lineare Hülle: Alle Linearkombinationen von Vektoren aus einer Teilmenge S eines Vektorraums V über dem Körper K bilden einen Teilraum. Der von S aufgespannte Teilraum heißt die lineare Hülle von S

Der mengentheoretische Durchnschnitt zweier Teilräume eines Vektorraums ist Teilraum des Vektorraums.

Summe zweier Teilräume: lineare Hülle der Vereinigung zweier Teilräume eines linearen Vektorraums über dem Körper K.

Summe heißt direkt, wenn 2 beliebige Teilräume eines V über K trivialen Durchschnitt {0} haben.

Teilraum W komplementär zu Teilraum U: Wenn die direkte Summe des Teilraums U von V mit einem Teilraum W den linearen Vektorraum V über K ergibt.

Zu jedem Unterraum eines linearen Vektorraums gibt es einen komplementären Teilraum

Erzeugendensystem für V: Ein Vektorsystem das Teilmenge von V (lin. VR) ist, wenn jeder Vektor r in V als Linearkombination von Vektoren aus dem Vektorsstem dargestellt werden kann.

(algebraische) Basis:ein Erzeugendensystem linear unabhängiger Vektoren eines nicht trivialen Vektorraums

Jeder nichttriviale lineare Vektorraum besitzt eine Basis. Wenn S Teilmenge von V, ein System linear unabhängiger Vektoren ist, so git es eine S umfassende Basis

endlichdimensionaler Vektorraum: Wenn V ein nichttrivialer linearer Vektorraum und es eine aus endlich vielen Vektoren bestehende Basis für V gibt, andernfalls unendlichdimensional. Wenn V endlichdimensional und B eine aus n Vektoren bestehende Basis, so besteht jede andere Basis auch aus n Vektoren. Dimension des Vektorraums dim V = n

lineare Abbildung: Zwei lineare Vektorräume V,W über einem Zahlenkörper K. Wenn Abbildung a:V->W additiv und homogen dann lineare Abbildung.

Kern des linearen Operators A:V->W : Die Menge K(A):={r in V konjuktion Ar=0Vektor} Teilmenge von V bildet einen Teilraum von V. Wenn der Kern endlichdimensional so heißt def A:= dim K(A) der Defekt des linearen Operators A

Der Kern des l.O. ist genau dann der triviale Teilraum {0}, wenn A injektiv ist. Er ist genau dann der triviale Teilraum V wenn A = 0Vektor der Nulloperator ist.

Bild von V: A:V->W sei linearer l.O, dann ist die Gesamtheit A(V) aller Bildvektoren ein Teilraum von W = Bild von V unter A und wird als Teilraum von W mit B(A) bezeichnet.

Rang: Wenn A ein l.O und W endlichdimensional so ist auch da Bild B(A) endlichdimensional. Die Dimension des Bildes heißt der Rang von A, rg A.

Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume und A ein l.O, dann sind Kern und Bild B(A) endlichdimensional und es gilt def A rg A = dim V

A sei l.O. Wenn A injektiv und S Teilmenge von V ein beliebiges System linear unabhängiger Vektoren so ist das Bildsystem AS Teilmenge von W ein System lin. unabhängiger Vektoren in W. Wenn A surjektiv und Eps ein Erzeugendensystem für V, so ist das Bildsystem AEps Teilmenge von W ein Erzeugendensystem für W.

A sei l.O.. Wenn A injektiv so ist dim W>=dimV; Wenn A surjektiv, so ist dim V >=dimW.

Ein bijektiver l.O. heißt ein Isomorphismus (der Vektorräume V und W). Wenn V und W zwei beliebige Vektorräume und existiert ein Isomorphismus A:V->W, so heißen die beiden Vektorräume isomorph

Das Bild einer Basis unter einem Isomorphismus ist eine Basis des Bildraums wenn zwei isomorphe Vektorräume die gleiche Dimension haben.

lineares Funktional (lineare Funktion, Linearform): V sei nichttrivialer linearer Vektorraum über K. Dann ist eine lineare Abbildung alpha:V->K ein lineares Funktional, also eine lineare Abbildung des Vektorraums auf seinen Skalarkörper

bilineare Funktion, Bilinearform: Wenn V,W zwei nichttriviale lineare Vektorräume so heißt eine Funktion phi:VxW->K eine Bilinearform wenn phi in beiden Variablen linear ist. Jede Bilinearform wird von zwei Teilräumen A_V , A_W begleitet = Ausartungsräume der Bilinearform. Wenn A_V und A_W ={0} heißt die Bilinearform phi nicht-ausgeartet

Sind V,W zwei nichttriviale lineare Vektorräume und ist phi eine nicht-ausgeartete Bilinearform so heißen die Vektorräume V und W dual bezüglich phi, die Zahl phi(v,w) (v in V, w in W) heißt skalares Produkt oder Skalarprodukt von v und w. Die Bilinearform phi heißt ein Skalarprodukt zwischen V und W

(algebraischer) Dualraum: Der lineare Vektorraum V* der Linearformen auf V heißt der zu V duale Vektorraum oder kurz Dualraum von V.

duale Abbildung: V,W seien lineare Vektorräume. Die durch A:V->W eindeutig bestimmte lineare Abbildung A*:W*->V* heißt die zu A duale Abbildung.

Sei V linearer Vektorraum. Dann und nur dann gilt V=V**, wenn V endlichdimensional ist

Metrische Räume

Metrik: M<>0 sei eine Menge. Elemente x,y deren sog. Punkte. Eine Abb d:MxM->[0,inf[ heißt eine Metrik auf M wenn d(x,y)>=0 (Definit), wenn d(x,y)=d(y,x) (Symmetrie) und wenn d(x,y)<=d(x,z) d(z,y) (Dreiecksungleichung) d(x,y)... reell,nicht-negativ , heißt Abstand der Punkte x,y , und das Paar (M,d) wird ein metrischer Raum genannt

Konvergenz: Eine Folge (xn) mit Gliedern xn€M gegeben durch eine Abbildung f:N->M heißt konvergent wenn es ein Element c€M gibt sodaß für alle eps>0 ein n0€N existiert und n>n0->d(xn,c)<eps; c heißt Grenzwert (=lim[n->inf] xn. Wenn Folge nicht konvergent dann divergent

Cauchy-Folge: (M,d) sei metrischer Raum: Eine Folge $x_{n}$ heißt eine Cauchy-Folge, wenn zu jeder Zahl $\epsilon >0$ ein Index $n_{0}\in \mathbb {N}$ existiert, sodaß $n,m>n0\Rightarrow d(x_{n},x_{m})<\epsilon$

metrischer Raum vollständig: wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergent

Teilmenge A von M beschränkt, wenn ein Punkt x0€M existiert und eine Zahl c € R, sodaß für alle x€A->d(x,x0)<=c; Eine Folge xn heißt beschränkt wenn die Menge ihrer Glieder beschränkt

Teilmenge A von M kompakt, wenn jede Folge von Punkten aus A eine konvergente Teilfolge enthält, deren Grenzwert in A liegt. Ein metrischer Raum ist kompakt genau dann, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

f stetig im Punkt x0 € M1: zwei metr. Räume (M1,d), (M2,d); f:M1->M2; f dann stetig in x0 wenn zu jeder Zahl eps>0 eine i.a von eps abhängige Zahl delta existiert, sodaß d1(x,x0)<delta->d2(f(x),f(x0))<eps. Wenn f zu jedem Punkt von M1 stetig, so heißt f stetig auf M1

Folgenkriterium: Die Abbildung f:M1->M2 zweier metrischer Räume ist genau dann stetig im Punkt x0€M1, wenn für jede Folge (xn) mit lim[n->inf]xn=x0 auch die Folge (yn) der Funktionswerte yn=f(xn)=f(x0). Stetigkeit bedeutet die Vertauschbarkeit der Grenzwetbildung mit der Funktionswertbildung

Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen: 3 metrische Räume und f:M1->M2, g: M2->M3: Wenn f in x0€M1 stetig, g in f(x0)€M2 stetig, so ist die Zusammensetzung gof:M1->M3 in x0€M1 stetig.

kompaktes Bild: (M1,d1),(M2,d2) metrische Räume und f:M1->M2 eine stetige Abbildung. Wenn A Teilmenge M2 eine kompakte Teilmenge, so ist ihr stetiges Bild f(A) kompakt

(M,d) sei metrischer Raum und f:M->R eine stetige Abbildung. Wenn A Teilmenge M kompakt, so nimmt f auf A einen größten und einen kleinsten Funktionswert an, d.h es gibt 2 Punkte psi,nju sodaß fürAlle x€A->f(psi)<=f(x)<=f(nju)

kontrahierende Selbstabbildung: (M,d) sei metrischer Raum und A Teilmenge von M. Eine Abbildung f:A->A heißt k.SA., wenn eine positive Konstante L<1 existiert, sodass fürAllex,y€A->d(f(x),f(y))<=Ld(x,y)

Fixpunktsatz von Banach: (M,d) sei vollständiger metrischer Raum und A Teilmenge M eine kompakte Teilmenge. Eine kontrahierende Selbstabbildung f:A->A hat dann genau einen Fixpunkt in A. Die Näherungsfolge (xn),xn 1=f(xn) konvergiert für jeden Startwert x0€A gegen diesen Fixpunkt

dichte Teilmenge: Eine Teilmenge A des metr. Raums M heißt dicht in M, wenn es zu jedem f€M und zu jeder Zahl eps>0 ein Element a€A gibt mit d(f,a)<eps

Wenn (M,d) metr. Raum und A Teilmenge M eine in M dichte Teilmenge, dann gibt es zu jedem Element f € M eine konvergente Folge (xn) von Elementen aus A: xn€A mit lim[n->inf]xn=f

1.Satz von Weierstraß: Wenn f:[a,b]->R stetig auf [a,b], so gibt es zu jeder Zahl eps>0 ein Polynom p mit |f(x)-p(x)|<eps fürAlle x€[a,b]

Bernstein: f:[0,1]->R sei stetig auf [0,1]. Dann konvergiert die Folge der Bernstein Polynome Bn(x)= SUM[k=0,n] (f*(k/n)*(n über k)*x^k*(1-x)^(n-k) gleichmäßig auf [0,1] gegen f(x)

2.Satz von Weierstraß: Wenn f:R->R auf R stetig und 2Pi-periodisch, so gibt es zu jeder Zahl eps>0 ein trigonometrischen Polynom t(x) mit |f(x)-t(x)|<eps fürAlle x€R

Normierte Räume

Norm: eine speziell auf Verhältnisse in linearen Räumen zugeschnittenen Metrik Wenn V ein lin. Vektorraum über K. Eine Abbildung V->[0,inf[ heißt Norm auf V, wenn Definit, homogen und Dreiecksunglg erfüllt

Banachraum: Ein bzgl. der kanonischen Metrik vollst. normierter Raum

Wenn V ein endlichdimensionaler linearer VR, so sind zwei Normen immer äquivalent

Hilfssatz...

Satz von Bolzano: Jede beschränkt Zahlenfolge besitzt midestens eine Häufungswert

Wenn V ein normierter linearer Vektorraum: Jede beschränkte Folge besitzt genau dann eine konvergent Teilfolge wenn V endlichdimensional.

'komponentenweise' Konvergenz: Pendant der Konvergenz im endlichdimensionalen Raum

Ein endlichdimensionaler normierter Vektorraum ist volständig

Stetig-,Unstetigkeit in einem Punkt r0€V einer lin.Abbldg A:V->W zweier normierter Vektorräume: stetig in x0 wenn |r-r0|<delta -> |Ar-Ar0|<eps. Die Abbildung heißt stetig auf V wenn sie in jedem Punkt von V stetig ist. Wenn nicht stetig in r0 dann heißt dei Abbildung unstetig in r0

eine lin. Abbldg A:V->W zweier normierter Vektorräume genau dann stetig auf V wenn sie in 0 stetig ist, Wenn in 0 unstetig, so in jedem punkt von V unstetig

eine lin. Abbldg A:V->W genau dann stetig wenn sie beschränkt ist.

Wenn eine Inverse von A:V->W existiert, so ist diese genau dann stetig, wenn eine Konstante alpha>0 exisitert mit: fürAlle r€V:|Ar|>=alpha|r|

Wenn A:V->W eine bijektive und stetige lineare Abbildung der Banachräume V und W so ist die Inverse A¯1: V->W stetig

U,V seien normierte Räumem, dim U<inf und A:U->V eine lineare Abbildung. A ist dann beschränkt und somit stetig

kompakt: Ein linearer Operator A:V->W heißt kompakt oder vollstetig, wenn für jede beschränkte Folge (xn) die Bildfolge (Axn) eine konvergente Teilfolge enthält. rn€V für n€N, ||rn||<=C -> esex{n1,n2,...} Teilmenge von und lim[k->inf] (Arnk)

Wenn eine konvergente Folge kompakter Operatoren (An),An:V->W dann ist A=lim[n->inf](An) kompakt

Sei A:v->V ein kompakter Operator dann hat der Kern von E- A endliche Dimension

Hilberträume

inneres Produkt im Vektorraum V über R ist eine Abbildung phi definit, symmetrisch, bilinear

Hilbertraum: Ein linearer Vektorraum mit innerem Produkt, der bezüglich der induzierten Norm vollständig ist.

Riemann integrierbar:

Innenproduktraum, prähilbertscher Raum:

Maß der offenen Menge / äußeres Maß, inneres Maß

Maß der Menge M: gemeinsames inneres und äußeres Maß von M

Eine offene Menge M Teilmenge von R ist die Vereinigung höchstens abzählbar unendlich vieler offener und disjunkter Intervalle

Wenn M={x1,x2,...} abzählbar, so ist M messbar und das Maß m(M)=0.

Wenn M1,M2 eine abzählbare Familie messbarer Mengen dann ist die Vereinigung und die Durchschnittsmenge messbar

messbarkeit

Lebesgue-Integral

Eine Funktion f:[a,b]->R ist genau dann Riemann integrierbar wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen das Maß 0 hat

Der lineare Raum L²([a,b]) mit dem inneren Produkt (f,g)=int[a,b](f(x)g(x)dx ist ein Hilbertraum

2 Vektoren heißen orthogonal, wenn (r,p)=0

Orthonormalbasis: Ein vollständig abzählbares Orthonormalsystem

Orthogonalreihe

Fourier-Reihe

separabel

Eigenwert, Eigenfunktion

Resolventenmenge,Resolventenoperator, Resolvente

Spektrum, Punktspektrum

linearer Operator a:H->H symmetrisch wenn für alle x,y€H->(Ax,y)=(x,Ay)

ein symmetrischer Operator (eines Hilbertraums) ist stetig

Jeder Hilbertraum ist reflexiv

Unterraum eines Hilbertraums ist vollständig, wenn jede Cauchy-folge ihren Grenzwert in U hat

orthogonales komplement

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Ringe, Körper und ähnliche

Die folgenden Strukturen haben zwei innere Verknüpfungen,

(I^*) Existenz des inversen Elements bezüglich der multiplikativen Verknüpfung, mit Ausnahme des neutralen Elements der additiven Verknüpfung. Formal: $\forall a\in M\setminus \lbrace 0\rbrace :\exists a^{-1}\in M:a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$.

(Dl) Links-Distributivgesetz: $\forall a,b,c\in M:a\cdot (b c)=a\cdot b a\cdot c$.

(Dr) Rechts-Distributivgesetz: $\forall a,b,c\in M:(a b)\cdot c=a\cdot c b\cdot c$.

(D) Distributivgesetz: es gilt Dl und Dr.

(T) Nullteilerfreiheit: Wenn 0 das neutrale Element der additiven Verknüpfung bezeichnet, dann folgt für alle a, b aus M aus a·b = 0, dass a = 0 oder b = 0.

(U) Die neutralen Elemente bezüglich der Addition und der Multiplikation, 0 und 1, sind nicht gleich.

Die jeweils gültigen Axiome sind im folgenden in der Reihenfolge (additive Axiome | multiplikative Axiome | Verträglichkeitsaxiome) gekennzeichnet.

• Halbring: Axiome (EA|EA|D) zwei Halbgruppen

• Dioid: Axiome (EAN|EAN|D) zwei Monoide

• Fastring: Axiome (EANI|EA|Dr): Eine additive Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe und das Rechts-Distributivgesetz.

• Ring: Axiome (EANIK|EA|D): Eine additive abelsche Gruppe, eine multiplikative Halbgruppe.

• Kommutativer Ring: Axiome (EANIK|EAK|D): Ring mit kommutativer Multiplikation.

• Ring mit 1 oder unitärer Ring: Axiome (EANIK|EAN|D): Ring mit neutralem Element der Multiplikation.

• Nullteilerfreier Ring: Axiome (EANIK|EA|DT): Ring, in dem aus a·b = 0 folgt, dass a = 0 oder b = 0.

• Integritätsbereich: Axiome (EANIK|EANK|DTU): Kommutativer, unitärer, nullteilerfreier Ring mit 1 ≠ 0.

• Halbkörper: Axiome (EA|EANI^*|D) Halbring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge (ohne die 0 falls diese existiert).

• Alternativkörper: Axiome (EANIK|ENI^*|DTU): Unitär, nullteilerfrei, 1 ≠ 0 und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0. Anstelle des Assoziativgesetzes tritt die Alternativität der Multiplikation.

• Fastkörper: Axiome (EANI(k)|EANI^*|DrTU) Fastring mit multiplikativer Gruppe auf der Menge ohne die 0. Die Addition jedes Fastkörpers ist kommutativ.

• Schiefkörper: Axiome (EANIK|EANI^*|DTU): Unitärer, nullteilerfreier Ring mit 1 ≠ 0 und mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0.

• Körper: Axiome (EANIK|EANI^*K|DTU): Kommutativer Schiefkörper, Integritätsbereich mit multiplikativem Inversen, außer für das Element 0. - Jeder Körper ist auch ein Vektorraum (mit sich selbst als zugrunde liegendem Skalarkörper). Wenn man in dem Körper eine Norm oder ein Skalarprodukt definiert, erhält ein Körper dadurch die topologischen Eigenschaften eines normierten Raums oder eines Innenproduktraums. Siehe dazu unten. - Beispiele: die Zahlbereiche Q, R und C.

Topologische Räume erhalten ihre Struktur durch die Auszeichnung bestimmter Teilmengen als offen. Viele wichtige Mengen, zum Beispiel die Zahlenbereiche besitzen sowohl algebraische als auch topologische Struktur.

Algebraische Strukturen

Strukturen mit einer inneren Verknüpfung: Gruppen und ähnliche

Wichtige Teilmengen sind:

• Ideale, s. Ideal (Mathematik).

Strukturen mit zwei inneren Verknüpfungen: Verbände, Mengenalgebren und ähnliche

Ein Verband ist eine algebraische Struktur, dessen zwei innere Verknüpfungen im allgemeinen Fall nicht als Addition und Multiplikation aufgefasst werden können:

(Abs) Absorptionsgesetze: a $\cap$ (a $\cup$ b) = a, und a $\cup$ (a $\cap$ b) = a.

Mit diesem Axiom erhalten wir als Strukturen:

• Verband: Axiome (EAK (bezüglich $\cap$)|EAK (bezüglich $\cup$)|Abs).
• Distributiver Verband: Axiome (EAK (bezüglich $\cap$)|EAK (bezüglich $\cup$)|Abs,D).

In einem distributiven Verband muss man nur eines der beiden Absorptionsgesetze fordern; das andere folgt dann aus dem Distributivgesetz.

Eine Boolesche Algebra ist ein Verband, in dem die beiden Verknüpfungen je ein neutrales Element haben, a $\cup$ 0 = a und a $\cap$ 1 = a, und in dem jedes Element ein bezüglich beider Verknüpfungen übereinstimmendes Komplement hat,

(Kompl) Existenz eines Komplements: zu jedem a gibt es ein ¬ a, für das gilt a $\cup$ ¬a = 1 und a $\cap$ ¬a = 0.

Beachte, das das Komplement nicht inverses Element ist, da es das neutrale Element der jeweils anderen Verknüpfung liefert.

• Boolesche Algebra: Axiome (EAKN (bezüglich $\cap$)|EAKN (bezüglich $\cup$)|Abs,D,Kompl).
• Mengenalgebra: eine Boolesche Algebra, deren Elemente Mengen sind, nämlich Teilmengen einer Grundmenge X, mit den Verknüpfungen $\cup$ und $\cap$, mit dem Nullelement ø und dem Einselement X.
• σ-Algebra: eine bezüglich abzählbar-unendlich vielen Verknüpfungen abgeschlossene Mengenalgebra.
• Messraum und Maßraum sind spezielle σ-Algebren.
• Borel-Algebra macht einen topologischen Raum zum Maßraum: sie ist die kleinste σ-Algebra, die eine gegebene Topologie enthält.

• Zweiwertige Boolesche Algebra: hat nur die Elemente 0 und 1.

Strukturen mit innerer und äußerer Verknüpfung: Vektorräume und ähnliche

Diese Strukturen bestehen aus einem additiv geschriebenen Magma (zumeist einer abelschen Gruppe) V und einem Zahlbereich (einer Struktur mit zwei inneren Verknüpfungen, zumeist einem Körper) K, dessen Gruppenaktion auf V als Linksmultiplikation *:K×V→V oder als Rechtsmultiplikation *:V×K→V geschrieben und (von V aus gesehen) als äußere Verknüpfung aufgefasst wird. Die Elemente von K heißen Skalare, die äußere Verknüpfung dementsprechend auch Skalarmultiplikation. Sie genügt den folgenden Verträglichkeitsaxiomen (in Notation für Linksmultiplikation):

(AL) Assoziativgesetz: für a, b aus K und v aus V: (a ^. b) * v = a * (b * v).

(DL) Distributivgesetze: für a, b aus K und v, w aus V: a * (v w) = a * v a * w und (a b) * v = a * v b * v.

Damit erhalten wir folgende Strukturen in der Notation (V | K | Verträglichkeitsaxiome):

• Linksmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AL,DL).
• Rechtsmodul: (Abelsche Gruppe | Ring | AR,DR) mit Skalarmultiplikation von rechts statt von links.
• Modul: (Abelsche Gruppe | kommutativer Ring | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.
• Vektorraum: (Abelsche Gruppe | Körper | ALR,DLR) mit austauschbarer Links- oder Rechtsmultiplikation.

Zusätzliche algebraische Struktur auf Vektorräumen

• Lie-Algebra: Vektorraum mit der Lie-Klammer als zusätzlicher antisymmetrischer bilinearen Verknüpfung, []: V×V → V.

• assoziative Algebra: Vektorraum mit einer assoziativen bilinearen Verknüpfung, V×V → V.

Die im folgenden eingeführten inneren Verknüpfungen Skalarprodukt und Norm verhelfen einem Vektorraum (das kann insbesondere auch ein als Vektorraum aufzufassender Körper sein) zu einer topologischen Struktur.

• Ein Bilinearraum ist fast ein Innenproduktraum (siehe unten) - außer, dass das innere Produkt nicht positiv definit sein muss. Wichtiges Beispiel: der Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie.

• Innenproduktraum: Vektorraum mit einem Skalarprodukt (einer positiv definiten Bilinearform nach R beziehungsweise Sesquilinearform nach C), <>: V×V → K. Der Euklidische Raum Rⁿ ist ein spezieller Innenproduktraum. Mit der Norm ||x|| = √<x, x> ist jeder Innenproduktraum ein normierter Raum, damit auch ein metrischer Raum und besitzt deshalb auch eine topologische Struktur.

• unitärer Raum: ein Innenproduktraum über C, dessen Skalarprodukt eine Hermitesche Form ist, also unter Vertauschung der Argumente die Symmetrie $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$ aufweist.

• normierter Raum: Vektorraum mit einer Norm ||·||: V → K. Die Norm kann, muss aber nicht durch ein Skalarprodukt gegeben sein. Jeder normierte Raum ist auch ein metrischer Raum und besitzt deshalb auch eine topologische Struktur.

Ordnungsstruktur

Siehe dazu den Übersichtsartikel Ordnungsrelation.

• Quasiordnung: reflexiv und transitiv. Beispiel: Für a, b aus C, a R b falls |a| ≤ |b| (s. Absolutbetrag).

• Teilordnung (partielle Ordnung, Halbordnung. Achtung: manchmal einfach Ordnung genannt): reflexiv, antisymmetrisch und transitiv. Beispiele: Die Teilmengenrelation in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich“ auf dem Vektorraum Rⁿ.

• strenge Halbordnung: irreflexiv und transitiv. Beispiele: Die Relation „Echte Teilmenge“ in einer Potenzmenge; die Relation „komponentenweise kleinergleich, aber nicht gleich“ auf dem Vektorraum Rⁿ.

• totale Ordnung (lineare Ordnung): totale Halbordnung. Beispiel: „Kleinergleich“ auf Z.

• strenge Totalordnung: total, irreflexiv und transitiv. Beispiel: „Kleiner“ auf Z.

• fundierte Ordnung: eine Halbordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: Die Relation „Gleich oder Element von“ in einer Menge von Mengen.

• Wohlordnung: totale Ordnung, bei der jede nichtleere Teilmenge ein minimales Element besitzt. Beispiel: „Kleiner“ auf N.

Topologische Struktur

• Metrische Räume werden durch ihre Metrik mit einer globalen geometrischen Struktur ausgestattet, die in Eigenschaften wie der Kongruenz von Figuren zum Ausdruck kommt.

Die verschiedenen topologischen Räume sind aus dem Bemühen hervorgegangen, von dieser globalen Struktur abzusehen und lediglich die möglichen lokalen Strukturen eines Raums zu klassifizieren.

Siehe dazu einstweilen die Artikel Topologie (Mathematik), topologischer Raum, Topologie-Glossar, Trennungsaxiom.

Zahlenbereiche

Zahlenbereiche sind die Mengen, mit denen man gewöhnlich rechnet. Grundlage ist die Menge der natürlichen Zahlen. Als algebraische Verknüpfung dienen Addition und Multiplikation. Indem man fordert, dass auch die Umkehroperationen Subtraktion und Division stets möglich sein sollen, erweitert man die Menge der natürlichen Zahlen zur Menge der ganzen Zahlen und zur Menge aller Brüche. Die reellen Zahlen werden als Grenzwerte von Zahlenfolgen eingeführt; sie ermöglichen (u. a.) das Wurzelziehen aus beliebigen positiven Zahlen. Die Wurzeln aus negativen Zahlen führen auf die komplexen Zahlen.

• Die Menge der natürlichen Zahlen N dient dem Abzählen und steht ganz am Anfang des axiomatischen Aufbaus der Mathematik. Wir verstehen im folgenden die 0 als in N enthalten; die entgegengesetzte Konvention ist aber auch üblich. (N, ) und (N,·) sind Monoide mit den neutralen Elementen 0 bzw. 1. Addition und Multiplikation sind, wie auch bei allen anderen Zahlbereichen, distributiv.

• Die Menge der ganzen Zahlen Z entsteht aus N, indem man negative Zahlen als Inverse bezüglich der Addition konstruiert. (Z, ) ist eine abelsche Gruppe, (Z,·) ist ein Monoid, Z ist ein Ring.

• Die Menge der nichtnegativen Brüche Q entsteht aus N, indem man Bruchzahlen als Inverse bezüglich der Multiplikation konstruiert. (Q \{0},·) ist daher eine Gruppe; (Q , ) ist eine Monoid.

• Die Menge der Brüche oder rationalen Zahlen Q entsteht aus Q durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Addition oder aus Z durch Hinzunahme der Inversen bezüglich der Multiplikation. (Q, ) und (Q\{0},·) sind abelsche Gruppen. Addition und Multiplikation sind distributiv; Q ist ein Körper.

• Die Menge der reellen Zahlen R entsteht aus Q durch topologische Vervollständigung: eine reelle Zahl ist eine Äquivalenzklasse rationaler Cauchy-Folgen. R ist ein Körper.

• Die Menge der komplexen Zahlen C besteht aus Paaren reeller Zahlen (a,b), die in der Schreibweise a bi mit i²=−1 den üblichen Rechengesetzen genügen. In C ist jede algebraische Gleichung auflösbar. C ist ein Körper.

• Quaternionen, Cayley-Zahlen und darüber hinaus erweiterte Zahlenbereiche sind nicht kommutativ bezüglich der Multiplikation.

Wichtig sind ferner einige eingeschränkte Zahlbereiche:

• Der Restklassenring Z_m, kann als Einschränkung der natürlichen Zahlen auf die Menge {0,1,...,m−1} aufgefasst werden. Alle Rechenoperationen werden modulo m ausgeführt. Z_m ist ein Ring; wenn m eine Primzahl ist, sogar ein Körper. In maschinennahen Programmiersprachen werden vorzeichenlose ganze Zahlen als Restklassenringe z. B. mit m=2¹⁶ oder 2³² dargestellt.

Kategorie:Mathematik