σ-kompakter Raum

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Ein topologischer Raum heißt σ-kompakt oder abzählbar im Unendlichen, wenn er sich als abzählbare Vereinigung kompakter Teilräume schreiben lässt. σ-Kompaktheit ist also eine Abschwächung des topologischen Begriffs der Kompaktheit. Der Buchstabe σ in der Bezeichnung rührt daher, dass die Vereinigung von Mengen früher auch als Summe bezeichnet wurde, die Bezeichnung wurde analog zu „σ-finit“ gebildet.

Der Begriff ist wichtig für die abstrakte Integrationstheorie, zusammen mit Lokalkompaktheit und dem Trennungsaxiom T3 garantiert er die Existenz einer kompakten Ausschöpfung.[1]

  • Beispielsweise ist , ausgestattet mit der Standardtopologie, ein σ-kompakter topologischer Raum, denn es gilt , so dass sich als abzählbare Vereinigung der kompakten topologischen Räume darstellen lässt.
  • Der Raum der finiten -wertigen Folgen (versehen mit der Norm ) ist -kompakt, denn es ist , wobei die kompakte Teilmenge der Folgen mit und für sei. ist aber nicht lokal kompakt, da gilt.

Einzelnachweise

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  1. Heine: Topologie und Funktionalanalysis. 2002, S. 336.
  2. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-56860-2, S. 111 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Willard 2004, S. 126