Petrus Hispanus

Petrus Hispanus ist ein bedeutender Logiker des 13. Jahrhunderts. Er verfasste um 1240 zwölf Traktate, die später unter dem Titel Summulae logicales tradiert wurden. Sie stellen die populärste mittelalterliche Einführung in die Logik dar mit einer langen Wirkungsgeschichte.

Autorschaft

Traditionell wird der Logiker Petrus Hispanus mit dem portugiesischen Mediziner Petrus Hispanus (1205–1277) identifiziert, der in seinem letzten Lebensjahr zum Papst Johannes XXI. ernannt wurde.^[1] Dies ist aber nicht gesichert. Als alternative Autoren der Summulae logicales werden auch verschiedene Dominikaner diskutiert.^[2] Eine griechische Vorlage von Michael Psellos gibt es nicht; ihm wurde eine spätere Rückübersetzung der Traktate von Petrus Hispanus ins Griechische unterschoben.^[3] Die Syllogistik nach Petrus Hispanus deckt sich weitgehend mit derjenigen von William of Sherwood; die Datierung ihrer Schriften wird unterschiedlich eingeschätzt, so dass die Priorität nicht eindeutig ermittelt werden kann.^[4] Die einprägsame Darstellung der aristotelischen Logik für den scholastischen Unterricht erreichte aber über Petrus Hispanus erst Popularität. Schon in Dantes Göttlicher Komödie wurde er unter den Weisheitslehrern im Sonnenhimmel des Paradiso gerühmt als Pietro Ispano lo qual già luce in dodici libelli (Petrus Hispanus, dessen Licht schon in den zwölf Büchlein leuchtet).^[5] Seine Summulae logicales wurde immer wieder aufgelegt und kommentiert und waren bis ins 17. Jahrhundert an Universitäten verbreitet. Die darin enthaltene Codierung der aristotelischen Syllogistik wird noch heute gebraucht.

Mnemotechnische Syllogistik

Petrus Hispanus referierte im vierten Traktat die assertorische Syllogistik des Aristoteles und ergänzte eine Mnemotechnik. Er übersetzte die aristotelischen Sätze in eine verständliche Sprache und kürzte sie symbolisch ab. Die Übersetzung tastet den logischen Gehalt der originalen Syllogistik nicht an. Daher besteht der logische Fortschritt nur in der Codierung, die einem Kalkül nahekommt und einen mnemotechnischen Zweck hat. Letzterer konzentriert sich in einem Merkgedicht, das 19 aristotelische Syllogismen aufzählt und mit Namen benennt:

Barbara Celarent Darii Ferio Baralipton Celantes Dabitis Fapesmo Frisesomorum Cesare Cambestres Festino Barocho Darapti Felapto Disamis Datisi Bocardo Ferison^[6]^[4]

Codierung der Aussagen

Petrus Hispanus zog den Originalaussagen aus der Analytik die älteren verständlicheren kategorischen Aussagen mit vertauschten Termen vor und kürzte sie durch Vokalcodes ab, so dass sie leicht in Formeln übersetzt werden können:

Code^[6]	Namen	kategorische Aussagen^[7]		Formeln	Aussagen der Analytik^[8]
a	universell affirmativ	omnis A est B	Jedes A ist ein B	AaB	B kommt jedem A zu
e	universell negativ	nullus A est B	Kein A ist ein B	AeB	B kommt keinem A zu
i	partikulär affirmativ	quidam A est B	Irgendein A ist ein B	AiB	B kommt irgendeinem A zu
o	partikulär negativ	quidam A non est B	Irgendein A ist kein B	AoB	B kommt irgendeinem A nicht zu

Codierung der Syllogismen

Die aristotelischen Syllogismen werden hier schematisch notiert: Prämisse 1, Prämisse 2 → Konklusion. Petrus Hispanus nannte die erste Prämisse major und die zweite minor und schrieb sie vertikal übereinander. Aristoteles teilte die Syllogismen in drei Figuren ein, die sich in der Stellung des Oberterms A in Prämisse 1, des Mittelterms B in beiden Prämissen und des Unterterms C in Prämisse 2 unterscheiden. Syllogismen mit konvertierter Konklusion reichte Aristoteles nach, zählte sie aber nicht zur ersten Figur,^[9] wie es Petrus Hispanus tat (Tabelle Figur 1a). Da dieser auch die Terme vertauschte, sehen seine Figuren anders aus als im Original: Dort wäre AaB die Originalaussage "A kommt jedem B zu" und der erste Syllogismus wäre das Transitivgesetz AaB, BaC → AaC; diese Urform verschwindet in der Darstellung mit vertauschten Termen. Alle Syllogismen sind also äußerlich umgeschrieben. Die ersten drei Vokale ihrer Merknamen nennen jeweils die vorkommenden Aussageformen der Reihe nach (in der Tabelle fettgedruckt).

Figur	Syllogismus	Merkname	Beispiel des Petrus Hispanus^[10]
Figur 1^[11] BxA, CyB → CzA	BaA, CaB → CaA	Barbara	Jedes Lebewesen ist ein Wesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Jeder Mensch ist ein Wesen
	BeA, CaB → CeA	Celarent	Kein Lebewesen ist ein Stein Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Kein Mensch ist ein Stein
	BaA, CiB → CiA	Darii	Jedes Lebewesen ist ein Wesen Irgendein Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Mensch ist ein Wesen
	BeA, CiB → CoA	Ferio	Kein Lebewesen ist ein Stein Irgendein Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Mensch ist kein Stein
Figur 1a^[9] BxA, CyB → AzC	BaA, CaB → AiC	Baralipton	Jedes Lebewesen ist ein Wesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Wesen ist ein Mensch
	BeA, CaB → AeC	Celantes	Kein Lebewesen ist ein Stein Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Kein Stein ist ein Mensch
	BaA, CiB → AiC	Dabitis	Jedes Lebewesen ist ein Wesen Irgendein Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Wesen ist ein Mensch
	BaA, CeB → AoC	Fapesmo	Jedes Lebewesen ist ein Wesen Kein Stein ist ein Lebewesen Also: Irgendein Wesen ist kein Stein
	BiA, CeB → AoC	Frisesomorum	Irgendein Lebewesen ist ein Wesen Kein Stein ist ein Lebewesen Also: Irgendein Wesen ist kein Stein
Figur 2^[12] AxB, CyB → CzA	AeB, CaB → CeA	Cesare	Kein Stein ist ein Lebewesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Kein Mensch ist ein Stein
	AaB, CeB → CeA	Cambestres	Jeder Mensch ist ein Lebewesen Kein Stein ist ein Lebewesen Also: Kein Stein ist ein Mensch
	AeB, CiB → CoA	Festino	Kein Stein ist ein Lebewesen Irgendein Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Mensch ist kein Stein
	AaB, CoB → CoA	Barocho	Jeder Mensch ist ein Lebewesen Irgendein Stein ist kein Lebewesen Also: Irgendein Stein ist kein Mensch
Figur 3^[13] BxA, ByC → CzA	BaA, BaC → CiA	Darapti	Jeder Mensch ist ein Wesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
	BeA, BaC → CoA	Felapto	Kein Mensch ist ein Stein Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein.
	BiA, BaC → CiA	Disamis	Irgendein Mensch ist ein Wesen Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
	BaA, BiC → CiA	Datisi	Jeder Mensch ist ein Wesen Irgendein Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Lebewesen ist ein Wesen
	BoA, BaC → CoA	Bocardo	Irgendein Mensch ist kein Stein Jeder Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein
	BeA, BiC → CoA	Ferison	Kein Mensch ist ein Stein Irgendein Mensch ist ein Lebewesen Also: Irgendein Lebewesen ist kein Stein

Codierung der Argumente

Die Argumente, die Aristoteles in seinen Beweisen einsetzte, kürzte Petrus Hispanus mit Konsonanten ab, und zwar jeweils mit einer Initiale eines typischen Worts im Argumentnamen. Auf diese Weise codierte er das aristotelische Axiomensystem der Syllogistik vollständig entsprechend folgender Tabelle:

Code^[6]	Argumentname^[6]	aristotelische Regel formalisiert
B	Barbara	BaA, CaB → CaA	vollkommene Syllogismen^[14] (Axiome)
C	Celarent	BeA, CaB → CeA
D	Darii	BaA, CiB → CiA
F	Ferio	BeA, CiB → CoA
s	conversio simplex	AeB → BeA AiB → BiA	Konversionen^[15]
p	conversio per accidens	AaB → BiA	Konversionen^[15]
m	transpositio in premissis de majori minorem	A, B → B, A	Prämissentausch^[16]
c	per impossibile ex opposito conclusionis^[17]	A, ¬C → Widerspruch äquivalent zu A → C	indirekter Beweis^[18] per Negation von o und i
c	equipollet suo contradictorio^[19]	¬(AoB) = AaB ¬(AiB) = AeB	indirekter Beweis^[18] per Negation von o und i

Codierung der Beweise

Die Merknamen codieren die Syllogismen samt Beweis. Petrus Hispanus achtete darauf, dass in Merknamen nur die Code-Konsonanten vorkommen, bei denen die zugehörige Regel auch anzuwenden ist; daher haben vollkommene Syllogismen als Axiome keine anderen Code-Konsonanten als ihre Initiale. Folgende Tabelle hebt die Code-Konsonanten fettgedruckt hervor und überträgt die Codierung in die aristotelischen Beweise, die so übersichtlich und präzise nachvollziehbar werden:

Syllogismus	Beweiscode	Beweis^[10]
BaA, CaB → CaA	Barbara	Axiom, nicht zu beweisen
BeA, CaB → CeA	Celarent	Axiom, nicht zu beweisen
BaA, CiB → CiA	Darii	Axiom, nicht zu beweisen
BeA, CiB → CoA	Ferio	Axiom, nicht zu beweisen
BaA, CaB → AiC	Baralipton	BaA, CaB _Barbara CaA _{conversio per accidens} AiC
BeA, CaB → AeC	Celantes	BeA, CaB _Celarent CeA _{conversio simplex} AeC
BaA, CiB → AiC	Dabitis	BaA, CiB _Darii CiA _{conversio simplex} AiC
BaA, CeB → AoC	Fapesmo	BaA, CeB _{conversio per accidens} AiB, CeB _{conversio simplex} AiB, BeC _{de majori minorem} BeC, AiB _Ferio AoC
BiA, CeB → AoC	Frisesomorum	BiA, CeB _{conversio simplex} AiB, CeB _{conversio simplex} AiB, BeC _{de majori minorem} BeC, AiB _Ferio AoC
AeB, CaB → CeA	Cesare	AeB, CaB _{conversio simplex} BeA, CaB _Celarent CeA
AaB, CeB → CeA	Cambestres	AaB, CeB _{de majori minorem} CeB, AaB _{conversio simplex} BeC, AaB _Celarent AeC _{conversio simplex} CeA
AeB, CiB → CoA	Festino	AeB, CiB _{conversio simplex} BeA, CiB _Ferio CoA
AaB, CoB → CoA	Baroco	_{ex opposito conclusionis} AaB, CaA, CoB _Barbara CaB, CoB _{impossibilis (Widerspruch)}
BaA, BaC → CiA	Darapti	BaA, BaC _{conversio per accidens} BaA, CiB _Darii CiA
BeA, BaC → CoA	Felapto	BeA, BaC _{conversio per accidens} BeA, CiB _Ferio CoA
BiA, BaC → CiA	Disamis	BiA, BaC _{conversio simplex} AiB, BaC _{de majori minorem} BaC, AiB _Darii AiC _{conversio simplex} CiA
BaA, BiC → CiA	Datisi	BaA, BiC _{conversio simplex} BaA, CiB _Darii CiA
BoA, BaC → CoA	Bocardo	_{ex opposito conclusionis} BoA, CaA, BaC _Barbara BoA, BaA _{impossibilis (Widerspruch)}
BeA, BiC → CoA	Ferison	BeA, BiC _{conversio simplex} BeA, CiB _Ferio CoA

Code-Varianten

Das Merkgedicht kursiert heute in verschiedenen Varianten. Der Kernbestand der Figuren 1–3 blieb unverändert bis auf orthographische Varianten: Camestres, Felapton, Baroco. Die eingeschobene Figur 1a wurde später durch die Figur 4 ersetzt, die nur die Prämissen der Syllogismen vertauscht und die Variablen umbenennt, um die sonstige Konklusionform CzA zu erreichen. Die Beweise laufen dann analog, erforderten aber neue Merknamen, die den Code m einfügen oder streichen; es sind verschiedene Kunstnamen seit dem 17. Jahrhundert gebräuchlich:

Figur 4	Syllogismus	Merkname	Merkname englische Tradition
AxB, ByC → CzA	AaB, BaC → CiA	Bamalip	Bramantip
	AaB, BeC → CeA	Calemes	Camenes
	AiB, BaC → CiA	Dimatis	Dimaris
	AeB, BaC → CoA	Fesapo	Fesapo
	AeB, BiC → CoA	Fresison	Fresison

Nachfolger des Aristoteles vervollständigten die Liste der 19 aristotelischen Syllogismen auf alle 24 möglichen Syllogismen.^[20] Sie ergänzten bei Aristoteles fehlende Subalternationen der Syllogismen Barbara, Celarent, Camestres, Cesare, Calemes, die seit dem 16. Jahrhundert mit modifizierten Namen bezeichnet werden,^[21] die aber den Beweis per Subalternation (ps oder cps) nicht codieren:

Figur	Syllogismus	Merkname	Beweis-Code
Figur 1	BaA, CaB → CiA	Barbari	Barbara ps
Figur 1	BeA, CaB → CoA	Celaront	Celarent cps
Figur 2	AeB, CaB → CoA	Cesaro	Cesare cps
Figur 2	AaB, CeB → CoA	Camestros	Cambestres cps
Figur 4	AaB, BeC → CoA	Calemos	Calemes cps

Reduzierte Syllogistik

Petrus Hispanus codierte nur einen kleinen Ausschnitt aus der Logik des Aristoteles. Die komplizierte und umstrittene modale Syllogistik^[22] klammerte er aus. Sein Code erfasst nur den überzeugenden Kern der assertorischen Syllogistik, aber auch aus ihr längst nicht alles. Zum Beispiel überging er alle Falsifikationen, mit denen Aristoteles an Beispielen demonstrierte, dass es mit anderen Prämissen keine Syllogismen gibt. Er codierte auch nicht die indirekten Beweise von Darii und Ferio der Figur 1, die Aristoteles später nachreichte, um sein Axiomensystem zu reduzieren, ebenso nicht dessen indirekten Beweis der zweiten Konversion.

Reduktion des Axiomensystems^[23]
BaA, CiB → CiA	Darii	_{ex opposito conclusionis} BaA, CeA, CiB _Cambestres CeB, CiB _Widerspruch
BeA, CiB → CoA	Ferio	_{ex opposito conclusionis} BeA, CaA, CiB _Cesare CeB, CiB _Widerspruch
AiB → BiA	conversio simplex 2	_{ex opposito conclusionis} AiB, BeA _{conversio simplex 1} AiB, AeB _Widerspruch

Trotzdem erzielte Petrus Hispanus mit seiner codierten Syllogistik einen anhaltenden Erfolg. Der Ableitung seines Systems galt auch George Booles mathematische Logik mit Definitionen, die Leibniz schon 160 Jahre vorher angegeben, aber nicht publiziert hatte:

Definitionen in der booleschen Algebra^[24]^[25]
universelle Aussagen	XaY := X¬Y=0	XeY := XY=0
partikuläre Aussagen	XoY := X¬Y≠0	XiY := XY≠0
verknüpfte Aussagen	A, B := AB	A→C := A=AC

Mit diesen Definitionen bewies Boole die codierten Regeln unter der Voraussetzung nichtleerer Terme.^[26] Nötig ist das aber nur bei der Konversion p und damit bewiesenen Syllogismen. Will man Leerterme nicht verbieten, so muss man in diesen Fällen nichtleere Terme voraussetzen:

Theorem-Varianten in der booleschen Algebra
AaB, A≠0 → BiA	p conversio per accidens	BaA, CaB, C≠0 → CiA	Barbari
BaA, CaB, C≠0 → AiC	Baralipton	BeA, CaB, C≠0 → CoA	Celaront
BaA, CeB, B≠0 → AoC	Fapesmo	AeB, CaB, C≠0 → CoA	Cesaro
BaA, BaC, B≠0 → CiA	Darapti	AaB, CeB, C≠0 → CoA	Camestros
BeA, BaC, B≠0 → CoA	Felapto	AaB, BeC, C≠0 → CoA	Calemos

Mit leicht abgewandelten Definitionen XaY:=(X¬Y=0)(X≠0) und XoY:=¬(XaY) ergibt sich aber ganz genau die Syllogistik des Aristoteles. Petrus Hispanus übersetzte sie also schon in einen ziemlich perfekten konsistenten Kalkül; zudem bildete er seine Beispiele konsequent in einem wohldefinierten Modell: Man setzt in einer achtwertigen booleschen Algebra mit Gleichheit MENSCH und STEIN als minimale nichtleere Terme und außerdem LEBEWESEN=NICHT-STEIN und WESEN=1. Das ergibt das kleinste Modell, in dem diese Terme verschieden sind und die Aussagen der Syllogismus-Beispiele alle wahr sind. Man kann auch alle aristotelischen Falsifikationen in diesem Modell nachvollziehen.

Porphyrianischer Baum

Petrus Hispanus prägte im Tractatus II, Kapitel 11 der Summulae logicales den Begriff des Porphyrianischen Baums als Name für den Baum, der das Klassifikationssystem des Porphyrios visualisierte.

Werke

Petrus Hispanus: Tractatus = Summulae logicales, ed. L. M. De Rijk, Assen, 1972.

Deutsche Übersetzung: Petrus Hispanus: Logische Abhandlungen. Aus dem Lateinischen von W. Degen und B. Bapst, München 2006, ISBN 3-88405-005-2.

Weblinks

Einzelnachweise

↑ Traditionelle Zuschreibung auf neuestem Stand: W. Degen und B Bapst: Logische Abhandlungen, München 2006, Vorwort.
↑ Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O. P., Auctor Summularum (I). In: Vivarium. 35,1 (1997), S. 21–71. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (II): Further documents and problems. In: Vivarium. 39,2 (2001), S. 209–254. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (III). "Petrus Alfonsi" or "Petrus Ferrandi"? In: Vivarium. 41,2 (2004), S. 249–303.
↑ Dazu die fundierte Bibliographie: Paul Moore: Iter Psellianum. Toronto 2005, MISC 59.
↑ ^a ^b William of Sherwood: Introductiones in logicam III. Er codiert die Beweise nicht korrekt: indirekte Beweise durch B r, was zu Barbara und Baralipton nicht passt, und das Codewort Campestres (=Felder) mit Code p zuviel (daher schreibt Petrus Hispanus Cambestres und die spätere Tradition Camestres als sinnloses Wort).
↑ Dante: Divina Comedia, Paradiso XII, 134f. Deutsch online: [1]
↑ ^a ^b ^c ^d Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 13, Merkgedicht mit originaler Orthographie, dort in Großschrift.
↑ Übersetzungen nach: Aristoteles: Topik II 1, 108b35ff, Aristoteles: De interpretatione 7, 17b17-212
↑ Aristoteles: An.pr. (erste Analytik) A1, 24a18f
↑ ^a ^b Aristoteles: An.pr. A7 29a24-27
↑ ^a ^b Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 6, IV 8f, IV 11, jeweils verbal beschriebener Syllogismus, Beispiel, Beweisskizze mit Argumenten (ermittelt aus An.pr. A4-7).
↑ Aristoteles: An.pr. A4 25b37b-26a2, 26a23-28, vollkommene Syllogismen (Axiome)
↑ Aristoteles: An.pr. A5 27a5-39
↑ Aristoteles: An.pr. A6 28a17-35
↑ Aristoteles: An.pr. A4, 25b32ff.
↑ Aristoteles: An.pr. A2, 25a15-22.
↑ Selten explizit erwähnt, etwa: Aristoteles: An.pr. B4, 57a17 μετάθεσις.
↑ Summule logicales IV 9.
↑ Aristoteles: An.pr. B14, 62b29-35.
↑ Summule logicales I 12, I 18.
↑ Apuleius: Peri Hermeneias. In: Claudio Moreschini (Hrsg.): De Philosophia libri. Stuttgart/Leipzig 1991, S. 189–215, verweist S. 213 auf drei primäre und zwei sekundäre Subalternationen des Ariston von Alexandria, einem Peripatetiker des 1./2. Jahrhunderts, dessen Schriften verloren sind.
↑ Die älteste Quelle dürfte sein: Alexander Achillini: De potestate syllogismis, Edition 1545, S. 155 [2]
↑ An.pr. A8-22 (14 Kapitel).
↑ Aristoteles: An.pr. A2, 25a20f indirekter Beweis der 2. conversio simplex. An.pr. A7, 29b9-14 Beweis von Darii und Ferio.
↑ George Boole: The mathematical Analysis of Logik, 1847; S. 31 mnemonic verses (englische Tradition) [3]; S. 20f Definitionen: ¬x:=1-x, a als x(1-y)=0, e als xy=0, i als v=xy, o als v=x(1-y) mit Variablen für elementhaltige Klassen laut S. 15 (v eliminierbar mit v≠0). Verknüpfte Aussagen: S. 51 Konjunktion als xy, S. 54 (36) Implikation x(1-y)=0 mit Verweis auf S. 21 (4) mit äquivalenter Formel xy=x (Tabelle).
↑ Leibniz: Generales Inquisitiones, 1686, ediert 1903: §151 kategorische Aussagen mit 'est res' für ≠0 und 'non est res' für =0; §198,6 setzt die Implikation synonym zu 'A continet B', was §16/§83 als A=AB definiert.
↑ George Boole: The mathematical Analysis of Logik: S. 15 elementhaltige Klassen; S. 26ff simple conversion (s), conversion per accidens (p); S. 34 Barbara (B), Celarent (C), Prämissentausch (m); die Äquivalenz der Implikationsformeln (vorige Fußnote) ist der indirekte Beweis (c).

Personendaten
NAME	Petrus Hispanus
KURZBESCHREIBUNG	spanischer Logiker des Mittelalters
GEBURTSDATUM	13. Jahrhundert
STERBEDATUM	13. Jahrhundert

[Degen-1] Traditionelle Zuschreibung auf neuestem Stand: W. Degen und B Bapst: Logische Abhandlungen, München 2006, Vorwort.

[2] Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O. P., Auctor Summularum (I). In: Vivarium. 35,1 (1997), S. 21–71. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (II): Further documents and problems. In: Vivarium. 39,2 (2001), S. 209–254. Ángel d'Ors: Petrus Hispanus O.P., Auctor Summularum (III). "Petrus Alfonsi" or "Petrus Ferrandi"? In: Vivarium. 41,2 (2004), S. 249–303.

[3] Dazu die fundierte Bibliographie: Paul Moore: Iter Psellianum. Toronto 2005, MISC 59.

[Sherwood-4] William of Sherwood: Introductiones in logicam III. Er codiert die Beweise nicht korrekt: indirekte Beweise durch B r, was zu Barbara und Baralipton nicht passt, und das Codewort Campestres (=Felder) mit Code p zuviel (daher schreibt Petrus Hispanus Cambestres und die spätere Tradition Camestres als sinnloses Wort).

[5] Dante: Divina Comedia, Paradiso XII, 134f. Deutsch online: [1]

[Petrus_Hispanus-6] Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 13, Merkgedicht mit originaler Orthographie, dort in Großschrift.

[7] Übersetzungen nach: Aristoteles: Topik II 1, 108b35ff, Aristoteles: De interpretatione 7, 17b17-212

[8] Aristoteles: An.pr. (erste Analytik) A1, 24a18f

[Figur_1a-9] Aristoteles: An.pr. A7 29a24-27

[Exempel-10] Petrus Hispanus, Summulae logicales, Tractatus IV 6, IV 8f, IV 11, jeweils verbal beschriebener Syllogismus, Beispiel, Beweisskizze mit Argumenten (ermittelt aus An.pr. A4-7).

[11] Aristoteles: An.pr. A4 25b37b-26a2, 26a23-28, vollkommene Syllogismen (Axiome)

[Figur_2-12] Aristoteles: An.pr. A5 27a5-39

[Figur_3-13] Aristoteles: An.pr. A6 28a17-35

[14] Aristoteles: An.pr. A4, 25b32ff.

[15] Aristoteles: An.pr. A2, 25a15-22.

[16] Selten explizit erwähnt, etwa: Aristoteles: An.pr. B4, 57a17 μετάθεσις.

[17] Summule logicales IV 9.

[18] Aristoteles: An.pr. B14, 62b29-35.

[19] Summule logicales I 12, I 18.

[20] Apuleius: Peri Hermeneias. In: Claudio Moreschini (Hrsg.): De Philosophia libri. Stuttgart/Leipzig 1991, S. 189–215, verweist S. 213 auf drei primäre und zwei sekundäre Subalternationen des Ariston von Alexandria, einem Peripatetiker des 1./2. Jahrhunderts, dessen Schriften verloren sind.

[21] Die älteste Quelle dürfte sein: Alexander Achillini: De potestate syllogismis, Edition 1545, S. 155 [2]

[22] An.pr. A8-22 (14 Kapitel).

[23] Aristoteles: An.pr. A2, 25a20f indirekter Beweis der 2. conversio simplex. An.pr. A7, 29b9-14 Beweis von Darii und Ferio.

[24] George Boole: The mathematical Analysis of Logik, 1847; S. 31 mnemonic verses (englische Tradition) [3]; S. 20f Definitionen: ¬x:=1-x, a als x(1-y)=0, e als xy=0, i als v=xy, o als v=x(1-y) mit Variablen für elementhaltige Klassen laut S. 15 (v eliminierbar mit v≠0). Verknüpfte Aussagen: S. 51 Konjunktion als xy, S. 54 (36) Implikation x(1-y)=0 mit Verweis auf S. 21 (4) mit äquivalenter Formel xy=x (Tabelle).

[25] Leibniz: Generales Inquisitiones, 1686, ediert 1903: §151 kategorische Aussagen mit 'est res' für ≠0 und 'non est res' für =0; §198,6 setzt die Implikation synonym zu 'A continet B', was §16/§83 als A=AB definiert.

[26] George Boole: The mathematical Analysis of Logik: S. 15 elementhaltige Klassen; S. 26ff simple conversion (s), conversion per accidens (p); S. 34 Barbara (B), Celarent (C), Prämissentausch (m); die Äquivalenz der Implikationsformeln (vorige Fußnote) ist der indirekte Beweis (c).

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