Lokales Martingal

Ein lokales Martingal ist ein adaptierter rechtsstetiger stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\geq 0}$ auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P,({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0})$, so dass eine aufsteigende Folge $(T_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Stoppzeiten mit $\lim _{n\to \infty }T_{n}=\infty$ fast sicher existiert, so dass der gestoppte Prozess

$(X_{\min\{t,T_{n}\}}\mathrm {I} _{\{T_{n}>0\}})_{t\geq 0}$

für alle $n$ ein $({\mathcal {F}}_{t})$-Martingal ist.

Der Begriff des lokalen Martingals ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Martingalbegriffes. Es handelt sich also um eine Lokalisierung des Martingalbegriffs. Lokale Martingale spielen eine Rolle in der Theorie der stochastischen Integration, genauer entspricht die Klasse der möglichen Integratoren den Semimartingalen, Summen von lokalen Martingalen und adaptierten Prozessen von endlicher Variation.

Lokale Martingale vs. Martingale

Beschränkte lokale Martingale sind Martingale. Es gibt Beispiele von gleichmäßig integrierbaren lokalen Martingalen, welche aber keine Martingale sind. Allgemein gilt:

Definiere die Klasse $DL$ derjenigen adaptierteren $\mathbb {R}$-Prozessen, so dass für alle $a>0$ und alle Stoppzeiten $T$ mit $T<a$ die Familie $X_{T}I_{\{T<\infty \}}$ gleichmäßig integrierbar ist. Ein lokales Martingal ist genau dann ein Martingal, wenn es in der Klasse $DL$ liegt.

Ein Beispiel für ein lokales Martingal, das kein Martingal ist, ist der folgende Prozess $(X_{t})_{t=0,1,2}$. Seien $Y_{1}$ und $Y_{2}$ stochastisch unabhängig mit $P(Y_{1}\geq 0)=1$ und $E(Y_{1})=\infty$ und $Y_{2}$ Rademacher-verteilt, sprich $P(Y_{2}=1)=1-P(Y_{2}=-1)=1/2$. Die Filtration ist gegeben durch ${\mathcal {F}}_{0}=\{\emptyset ,\Omega \}$, ${\mathcal {F}}_{1}=\sigma (Y_{1})$ und ${\mathcal {F}}_{2}=\sigma (Y_{1},Y_{2})$. Definiere $X_{0}=X_{1}=0$ und $X_{2}=Y_{1}Y_{2}$. $X$ ist dann kein Martingal, weil $X_{2}$ nicht integrierbar ist, aber ein lokales Martingal mit der Lokalisierungsfolge $T_{n}={\begin{cases}1{\text{ falls }}Y_{1}>n\\2{\text{ falls }}Y_{1}\leq n\end{cases}}$.

Literatur

• Daniel Revuz, Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian motion. Springer-Verlag, New York 1999, ISBN 3-540-64325-7.