In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge einer algebraischen Struktur mit mindestens einer multiplikativen zweistelligen Operation , die abgeschlossen bezüglich Produkten mit Elementen aus der gesamten Struktur ist.
Die Ideale gleichen Typs auf einer gegebenen algebraischen Struktur bilden stets ein Hüllensystem Idealsystem genannt wird. Zu jedem Idealsystem ist immer ein entsprechender Hüllenoperator gegeben (und umgekehrt), das ist der zugehörige Idealoperator .
Zur einfacheren Darstellung wird hier nur der kommutative Fall beschrieben. Verzichtet man auf die Kommutativität der Multiplikation, dann handelt es sich im Folgenden jedoch um Linksideale , und vertauscht man bei jedem Produkt den linken und den rechten Faktor, ergeben sich entsprechend Rechtsideale . Zweiseitige Ideale oder einfach nur Ideale sind sowohl Links- als auch Rechtsideale. Bei Kommutativität besteht kein Unterschied zwischen diesen drei Arten von Idealen.
Zahlentheoretische Untersuchungen von Zahlenbereichen , bei denen eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen nicht mehr gegeben war, führten zur Entwicklung der „klassischen“ Idealtheorie für kommutative Ringe .
Ist
(
R
,
,
⋅
)
{\displaystyle (R, ,\cdot )}
(dedekindsches ) Ideal oder
d
{\displaystyle d}
Trägermenge
A
d
⊆
R
{\displaystyle A_{d}\subseteq R}
(
R
,
)
{\displaystyle (R, )}
∀
r
∈
R
∀
a
∈
A
d
:
{\displaystyle \forall r\in R\;\forall a\in A_{d}:}
r
⋅
a
∈
A
d
.
{\displaystyle r\cdot a\in A_{d}.}
Die Ideale eines Rings sind genau die Kerne der Ringhomomorphismen des Ringes.
Die Ideale eines Rings bilden jeweils ein Hüllensystem , so dass die Ideale durch den zugehörigen Hüllenoperator
(
)
d
{\displaystyle (\;)_{d}}
Da in der Regel nur die jeweilige assoziative zweistellige Operation entscheidend für die Faktorisierung ist (der nicht assoziative Fall wird im Folgenden nicht behandelt), ist es für eine allgemeine Idealtheorie ausreichend, Halbgruppen zu betrachten:
Gegeben sei im Folgenden stets eine kommutative multiplikative Halbgruppe
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
⋅
:
P
(
S
)
×
P
(
S
)
→
P
(
S
)
,
(
A
,
B
)
↦
A
⋅
B
:=
{
a
⋅
b
∣
a
∈
A
,
b
∈
B
}
,
{\displaystyle \cdot :{\mathfrak {P}}(S)\times {\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),(A,B)\mapsto A\cdot B:=\{a\cdot b\mid a\in A,b\in B\},}
die Komplexmultiplikation über
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
P
(
S
)
:=
{
A
∣
A
⊆
S
}
{\displaystyle {\mathfrak {P}}(S):=\{A\mid A\subseteq S\}}
Potenzmenge von
S
{\displaystyle S}
(
P
(
S
)
,
∪
,
∩
,
⋅
)
{\displaystyle {\bigl (}{\mathfrak {P}}(S),\cup ,\cap ,\cdot {\bigr )}}
multiplikativen Verband mit einem Nullelement
∅
{\displaystyle \emptyset }
Es soll nun
(
)
x
∗
:
P
(
S
)
→
P
(
S
)
,
A
↦
(
A
)
x
∗
,
{\displaystyle (\;)_{x^{*}}:{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),A\mapsto (A)_{x^{*}},}
ein Hüllenoperator auf
S
{\displaystyle S}
∀
A
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}
S
⋅
(
A
)
x
∗
⊆
(
A
)
x
∗
.
{\displaystyle S\cdot (A)_{x^{*}}\subseteq (A)_{x^{*}}.}
(
)
x
∗
{\displaystyle (\;)_{x^{*}}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
I
x
∗
:=
{
(
A
)
x
∗
∣
A
∈
P
(
S
)
}
{\displaystyle {\mathfrak {I}}_{x^{*}}:=\{(A)_{x^{*}}\mid A\in {\mathfrak {P}}(S)\}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(
)
x
∗
{\displaystyle (\;)_{x^{*}}}
A
x
∗
∈
I
x
∗
{\displaystyle A_{x^{*}}\in {\mathfrak {I}}_{x^{*}}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(
A
)
x
∗
{\displaystyle (A)_{x^{*}}}
von
A
∈
P
(
S
)
{\displaystyle A\in {\mathfrak {P}}(S)}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
.
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
x
∗
:=
(
{
a
1
,
⋯
,
a
n
}
)
x
∗
{\displaystyle (a_{1},\cdots ,a_{n})_{x^{*}}:=(\{a_{1},\cdots ,a_{n}\})_{x^{*}}}
von
a
1
,
⋯
,
a
n
∈
S
,
n
∈
N
,
{\displaystyle a_{1},\cdots ,a_{n}\in S,n\in \mathbb {N} ,}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
und
(
a
)
x
∗
{\displaystyle (a)_{x^{*}}}
von
a
∈
S
{\displaystyle a\in S}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
Hauptideal .
∅
{\displaystyle \emptyset }
(
∅
)
x
∗
=
⋂
I
x
∗
{\displaystyle (\emptyset )_{x^{*}}=\bigcap {\mathfrak {I}}_{x^{*}}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(
∅
)
x
∗
=
∅
{\displaystyle (\emptyset )_{x^{*}}=\emptyset }
Zur Unterscheidung von Idealen und beliebigen Teilmengen von
S
{\displaystyle S}
Auf
I
x
∗
{\displaystyle {\mathfrak {I}}_{x^{*}}}
∨
x
∗
:
I
x
∗
×
I
x
∗
→
I
x
∗
,
(
A
x
∗
,
B
x
∗
)
↦
A
x
∗
∨
x
∗
B
x
∗
:=
(
A
x
∗
∪
B
x
∗
)
x
∗
,
{\displaystyle \vee _{x^{*}}:{\mathfrak {I}}_{x^{*}}\times {\mathfrak {I}}_{x^{*}}\to {\mathfrak {I}}_{x^{*}},(A_{x^{*}},B_{x^{*}})\mapsto A_{x^{*}}\vee _{x^{*}}B_{x^{*}}:=(A_{x^{*}}\cup B_{x^{*}})_{x^{*}},}
∧
x
∗
:
I
x
∗
×
I
x
∗
→
I
x
∗
,
(
A
x
∗
,
B
x
∗
)
↦
A
x
∗
∧
x
∗
B
x
∗
:=
(
A
x
∗
∩
B
x
∗
)
x
∗
,
{\displaystyle \wedge _{x^{*}}:{\mathfrak {I}}_{x^{*}}\times {\mathfrak {I}}_{x^{*}}\to {\mathfrak {I}}_{x^{*}},(A_{x^{*}},B_{x^{*}})\mapsto A_{x^{*}}\wedge _{x^{*}}B_{x^{*}}:=(A_{x^{*}}\cap B_{x^{*}})_{x^{*}},}
gegeben, so dass
(
I
x
∗
,
∨
x
∗
,
∧
x
∗
)
{\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x^{*}},\vee _{x^{*}},\wedge _{x^{*}})}
vollständigen Verband bildet, den Verband der
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
. Dabei ist
∨
x
∗
{\displaystyle \vee _{x^{*}}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
∧
x
∗
{\displaystyle \wedge _{x^{*}}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
Wie für alle Hüllensysteme gilt auch für jedes
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
∀
A
,
B
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(S):}
A
x
∗
∧
x
∗
B
x
∗
=
A
x
∗
∩
B
x
∗
.
{\displaystyle A_{x^{*}}\wedge _{x^{*}}B_{x^{*}}=A_{x^{*}}\cap B_{x^{*}}.}
(
I
x
∗
,
∨
x
∗
,
∧
x
∗
)
{\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x^{*}},\vee _{x^{*}},\wedge _{x^{*}})}
algebraisch , wenn
(
)
x
∗
{\displaystyle (\;)_{x^{*}}}
algebraisch ist, also
∀
a
∈
S
∀
A
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall a\in S\;\forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}
A
≠
∅
{\displaystyle A\neq \emptyset }
a
∈
(
A
)
x
∗
⟹
∃
a
1
,
⋯
,
a
n
∈
A
;
n
∈
N
:
a
∈
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
x
∗
.
{\displaystyle a\in (A)_{x^{*}}\implies \exists a_{1},\cdots ,a_{n}\in A;n\in \mathbb {N} :a\in (a_{1},\cdots ,a_{n})_{x^{*}}.}
Bezeichnet
|
A
|
{\displaystyle |A|}
Mächtigkeit der Menge
A
{\displaystyle A}
(
)
x
s
∗
:
P
(
S
)
→
P
(
S
)
,
A
↦
(
A
)
x
s
∗
:=
⋃
{
(
N
)
x
∗
∣
N
⊆
A
,
|
N
|
∈
N
0
}
,
{\displaystyle (\;)_{x_{s}^{*}}:{\mathfrak {P}}(S)\to {\mathfrak {P}}(S),A\mapsto (A)_{x_{s}^{*}}:=\bigcup \{(N)_{x^{*}}\mid N\subseteq A,|N|\in \mathbb {N} _{0}\},}
immer ein algebraischer
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
(
)
x
∗
{\displaystyle (\;)_{x^{*}}}
Die
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
⋅
x
∗
:
I
x
∗
×
I
x
∗
→
I
x
∗
,
(
A
x
∗
,
B
x
∗
)
↦
A
x
∗
⋅
x
∗
B
x
∗
:=
(
A
x
∗
⋅
B
x
∗
)
x
∗
,
{\displaystyle \cdot _{x^{*}}:{\mathfrak {I}}_{x^{*}}\times {\mathfrak {I}}_{x^{*}}\to {\mathfrak {I}}_{x^{*}},(A_{x^{*}},B_{x^{*}})\mapsto A_{x^{*}}\cdot _{x^{*}}B_{x^{*}}:=(A_{x^{*}}\cdot B_{x^{*}})_{x^{*}},}
besitzt zwar die für Ideale charakteristische Eigenschaft
∀
A
x
∗
,
B
x
∗
∈
I
x
∗
:
{\displaystyle \forall A_{x^{*}},B_{x^{*}}\in {\mathfrak {I}}_{x^{*}}:}
B
x
∗
⋅
x
∗
A
x
∗
⊆
A
x
∗
,
{\displaystyle B_{x^{*}}\cdot _{x^{*}}A_{x^{*}}\subseteq A_{x^{*}},}
sie bietet aber im Allgemeinen noch nicht genügend Eigenschaften, um
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
So genannte
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
(
)
x
{\displaystyle (\;)_{x}}
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
Translationen
∀
t
∈
S
:
{\displaystyle \forall t\in S:}
ϑ
t
:
S
→
S
,
a
↦
ϑ
t
(
a
)
:=
a
⋅
t
,
{\displaystyle \vartheta _{t}\colon S\to S,a\mapsto \vartheta _{t}(a):=a\cdot t,}
„stetig “ sind wie bei topologischen Abschlussoperatoren :
∀
t
∈
S
∀
A
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall t\in S\;\forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}
ϑ
t
(
(
A
)
x
)
⊆
(
ϑ
t
(
A
)
)
x
{\displaystyle \vartheta _{t}{\bigl (}(A)_{x}{\bigr )}\subseteq {\bigl (}\vartheta _{t}(A){\bigr )}_{x}}
mit
ϑ
t
(
A
)
:=
{
ϑ
t
(
a
)
∣
a
∈
A
}
=
A
⋅
{
t
}
{\displaystyle \vartheta _{t}(A):=\{\vartheta _{t}(a)\mid a\in A\}=A\cdot \{t\}}
t
∈
S
{\displaystyle t\in S}
A
∈
P
(
S
)
{\displaystyle A\in {\mathfrak {P}}(S)}
Mit jedem
x
{\displaystyle x}
(
)
x
{\displaystyle (\;)_{x}}
(
)
x
s
{\displaystyle (\;)_{x_{s}}}
x
{\displaystyle x}
Für jeden
x
{\displaystyle x}
(
)
x
{\displaystyle (\;)_{x}}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
∀
A
,
B
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(S):}
(
A
)
x
⋅
B
⊆
(
A
⋅
B
)
x
.
{\displaystyle (A)_{x}\cdot B\subseteq (A\cdot B)_{x}.}
Die zweiseitigen
x
{\displaystyle x}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
∀
A
,
B
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall A,B\in {\mathfrak {P}}(S):}
(
A
)
x
⋅
x
(
B
)
x
=
(
A
⋅
B
)
x
.
{\displaystyle (A)_{x}\cdot _{x}(B)_{x}=(A\cdot B)_{x}.}
Ein zweiseitiges
x
{\displaystyle x}
(
I
x
,
∨
x
,
∧
x
,
⋅
x
)
{\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x},\vee _{x},\wedge _{x},\cdot _{x})}
Ebenso ist
(
I
x
s
,
∨
x
s
,
∧
x
s
,
⋅
x
s
)
{\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{x_{s}},\vee _{x_{s}},\wedge _{x_{s}},\cdot _{x_{s}})}
x
{\displaystyle x}
Ein beliebiger
x
∗
{\displaystyle x^{*}}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
Ein anderer, abstrakter Ansatz für eine allgemeine Idealtheorie ist die Beschreibung von Idealsystemen durch entsprechende multiplikative Verbände.
In der Regel können Begriffe aus der „klassischen“ Idealtheorie, wie Maximalideal , Primideal usw., problemlos für
x
{\displaystyle x}
Ein
r
{\displaystyle r}
(
)
r
{\displaystyle (\;)_{r}}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
x
{\displaystyle x}
translationsabgeschlossen ist, also
∀
t
∈
S
∀
A
r
∈
I
r
:
{\displaystyle \forall t\in S\;\forall A_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:}
ϑ
t
(
A
r
)
∈
I
r
,
{\displaystyle \vartheta _{t}(A_{r})\in {\mathfrak {I}}_{r},}
und für den auch noch gilt:
∀
a
∈
S
:
{\displaystyle \forall a\in S:}
(
a
)
r
=
{
a
}
∪
ϑ
a
(
S
)
.
{\displaystyle (a)_{r}=\{a\}\cup \vartheta _{a}(S).}
Für jeden translationsabgeschlossenen
x
{\displaystyle x}
(
)
x
{\displaystyle (\;)_{x}}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
∀
t
∈
S
∀
A
∈
P
(
S
)
:
{\displaystyle \forall t\in S\;\forall A\in {\mathfrak {P}}(S):}
ϑ
t
(
(
A
)
x
)
=
(
ϑ
t
(
A
)
)
x
.
{\displaystyle \vartheta _{t}{\bigl (}(A)_{x}{\bigr )}={\bigl (}\vartheta _{t}(A){\bigr )}_{x}.}
Besitzt
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
x
{\displaystyle x}
(
)
x
{\displaystyle (\;)_{x}}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
r
{\displaystyle r}
∀
a
∈
S
:
{\displaystyle \forall a\in S:}
(
1
)
x
=
S
{\displaystyle \left(1\right)_{x}=S}
(
a
)
x
=
ϑ
a
(
S
)
=
S
⋅
{
a
}
.
{\displaystyle (a)_{x}=\vartheta _{a}(S)=S\cdot \{a\}.}
(
)
r
s
{\displaystyle (\;)_{r_{s}}}
r
{\displaystyle r}
Jedes zweiseitige
r
{\displaystyle r}
Multiplikationsideal , das heißt
∀
a
∈
S
∀
A
r
∈
I
r
:
{\displaystyle \forall a\in S\;\forall A_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:}
A
r
⊂
(
a
)
r
⟺
∃
B
r
∈
I
r
:
B
r
⋅
r
(
a
)
r
=
A
r
≠
(
a
)
r
.
{\displaystyle A_{r}\subset (a)_{r}\iff \exists B_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:B_{r}\cdot _{r}(a)_{r}=A_{r}\neq (a)_{r}.}
Ein zweiseitiges
(
a
)
r
{\displaystyle (a)_{r}}
(
I
r
,
∨
r
,
∧
r
,
⋅
r
)
{\displaystyle ({\mathfrak {I}}_{r},\vee _{r},\wedge _{r},\cdot _{r})}
kürzbar , also
∀
a
∈
S
∀
A
r
,
B
r
∈
I
r
:
{\displaystyle \forall a\in S\;\forall A_{r},B_{r}\in {\mathfrak {I}}_{r}:}
A
r
⋅
r
(
a
)
r
=
B
r
⋅
r
(
a
)
r
⟹
A
r
=
B
r
,
{\displaystyle A_{r}\cdot _{r}(a)_{r}=B_{r}\cdot _{r}(a)_{r}\implies A_{r}=B_{r},}
wenn
a
∈
S
{\displaystyle a\in S}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
kürzbar ist.
r
{\displaystyle r}
d
{\displaystyle d}
(
S
,
⋅
)
{\displaystyle (S,\cdot )}
H. Prüfer: Untersuchungen über die Teilbarkeitseigenschaften von Körpern . In: J. reine angew. Math. Band 168 , 1932, S. 1–36 .
K. E. Aubert: Theory of x-ideals . In: Acta Math. Band 107 , 1962, S. 1–52 .
I. Fleischer: Equivalence of x-systems and m-lattices . In: Colloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai . 33. Contributions to Lattice Theory, Szeged, 1980. North Holland , Amsterdam/Oxford/New York 1983, S. 381–400 .
P. Lorenzen: Abstrakte Begründung der multiplikativen Idealtheorie . In: Math. Z. Band 45 , 1939, S. 533–553 .
M. Ward, R. P. Dilworth: The lattice theory of ova . In: Ann. Math. Band 40 , 1939, S. 600–608 .
L. Fuchs:: Teilweise geordnete algebraische Strukturen . Vandenhoeck & Ruprecht , Göttingen 1966.
G. Birkhoff: Lattice Theory . 3. Auflage. American Mathematical Society , Providence (R. I.) 1973. 
