Finsler-Mannigfaltigkeit

In der Geometrie sind Finsler-Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung riemannscher Mannigfaltigkeiten.

Sie sind nach Paul Finsler benannt.

Definition

Eine Finsler-Mannigfaltigkeit ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ mit einer außerhalb des Nullschnitts glatten Funktion $F:TM\rightarrow \mathbb {R}$ so dass für alle $v,w\in T_{x}M,x\in M$ gilt:

• $F(v)\geq 0$ mit Gleichheit nur für $v=0$
• $F(\lambda v)=\lambda F(v)$ für alle $\lambda \geq 0$
• $F(v w)\leq F(v) F(w)$.

Hierbei bezeichnet $T_{x}M$ den Tangentialraum der Mannigfaltigkeit $M$ im Punkt $x\in M$ und $TM$ das Tangentialbündel von $M,$ also die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume.

Die Finsler-Mannigfaltigkeit heißt symmetrisch falls $F(-v)=F(v)$ für alle $v\in T_{x}M,x\in M$ gilt.

Beispiele

• Normierte Vektorräume, wenn die Norm außerhalb des Nullvektors glatt ist.
• Riemannsche Mannigfaltigkeiten $(M,g)$: setze $F(v)={\sqrt {g(v,v)}}$.
• Konvexe Mengen $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ mit der Hilbert-Metrik $d_{\Omega }$: setze $F(v)={\frac {d}{dt}}\mid _{t=0}d_{\Omega }(x,x tv)$ für $v\in T_{x}\Omega ,x\in \Omega$.

Länge und Volumen

Die Länge einer stetig differenzierbaren Kurve $\gamma :\left[a,b\right]\rightarrow M$ ist definiert durch

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}F(\gamma ^{\prime }(t))dt$.

Die Volumenform einer $n$-dimensionalen Finsler-Mannigfaltigkeit ist wie folgt definiert. Sei $x\in M$, $e_{1},\ldots ,e_{n}$ eine Basis von $T_{x}M$, $\eta _{1},\ldots ,\eta _{n}$ die duale Basis. Sei $V(x)$ das euklidische Volumen von $D(x)=\left\{y\in \mathbb {R} ^{n}:F(\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i})\leq 1\right\}$. Die Volumenform ist dann gegeben durch

$B_{F}(x)={\frac {C(n)}{V(x)}}\eta _{1}\wedge \ldots \wedge \eta _{n}$,

wobei $C(n)$ das euklidische Volumen der Einheitskugel im $\mathbb {R} ^{n}$ bezeichnet. Das Busemann-Volumen einer messbaren Menge $A\subset M$ ist definiert durch $\operatorname {vol} (A)=\int _{A}B_{F}(x)$.

Literatur

• Hanno Rund: Differential Geometry of Finsler Spaces, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer 1959
• Makoto Matsumoto: Foundations of Finsler Geometry and special Finsler Spaces, Kaiseisha Press, Japan 1986
• D. Bao, S. S. Chern, Z. Shen: An introduction to Riemann-Finsler geometry. (= Graduate Texts in Mathematics. 200). Springer-Verlag, New York 2000, ISBN 0-387-98948-X.
• Zhongmin Shen: Lectures on Finsler geometry. World Scientific Publishing, Singapore 2001, ISBN 981-02-4531-9.
• Peter Antonelli (Hrsg.): Handbook of Finsler Geometry, 2 Bände, Kluwer 2003