Diskussion:Jacobi-Matrix

Dies ist meiner Meinung nach nicht korrekt: "Als lineare Abbildung stellt sie die beste lineare Approximation einer differenzierbaren Funktion in einem gegebenen Punkt dar (siehe auch Taylor-Formel), und bildet damit die Matrix-Darstellung der 1. Ableitung dieser Funktion."

Hier fehlt der Funktionswert an der Stelle, der zur linearen Funktion / Ableitung addiert wird, damit sie wirklich die Funktion annähert ! Original-Funktionswert Jacobi*x ist dann eine affine Funktion (Taylor 1. Ordnung).

Korrigiert. Matumio 11:23, 1. Sep 2006 (CEST)

Hallo!

Kann jemand diesen Artikel vielleicht mit einer praktischen Anwendung der Jacobi Matrix erweitern? Das würde sehr weiterhelfen! Als Beispiel wäre z.B. die Jacobi Matrix als Teil eines implizit zu lösenden ODE zu zeigen. Wenn man z.B. ein System mittels "Implizit Euler" integrieren will, so nimmt man die Jacobi Matrix.

Grüße

Nabla einfügen?

Man könnte noch das Nabla mit einbeziehen, z.B.:

$J_{f}={\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{2}}}&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nabla f_{1}^{T}\\\vdots \\\nabla f_{n}^{T}\end{pmatrix}}.$

Ist das korrekt? --84.167.224.131 18:44, 1. Feb. 2008 (CET)

Ich sehe den Nutzen nicht. Die Schreibweise mit Nabla ist, soweit ich das sehe, nicht üblich und bringt keine zusätzliche Information. --Digamma 20:57, 1. Feb. 2008 (CET)

Bei mir in den Ingenieurwissenschaften/Maschinenbau taucht das Nabla ständig auf. Und es ist doch vollkommen in Ordnung, alle gebräuchlichen Schreibweisen aufzunehmen. Man muss nur die richtige Reihenfolge der Indizes beachten. In Indexschreibweise: $J_{ij}=\nabla f={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}$ (nicht signierter Beitrag von 129.217.109.155 (Diskussion) 14:38, 24. Okt. 2012 (CEST))

Kannst du bitte eine Quelle, einen Beleg angeben? Die Stellung der Indizes widerspricht der in der Mathematik üblichen. Hier gilt

$J_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}$

Der erste Index gibt die Nummer der Zeile an, der zweite die der Spalte. Vertauscht man die beiden, dann geht das Matrizenprodukt schief. Das Problem ist (vermutlich), dass der Gradient $\nabla f$ einer skalaren Funkion ein (Spalten-)Vektor ist, die Jacobi-Matrix aber eine Zeile. --Digamma (Diskussion) 16:44, 24. Okt. 2012 (CEST)

Sorry, habe ich verwechselt. Bin gerade selber drauf gekommen, wollte meinen Kommentar hier auf der Seite ändern und sehe, dass du das schon gemerkt hast :). Und ich wollte darauf hinweisen, dass $\nabla {\vec {f}}={\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}=J_{f}^{T}$ ist ... (nicht signierter Beitrag von 129.217.109.155 (Diskussion) 17:21, 24. Okt. 2012 (CEST))

Ich denke, dass man dann aber dadurch den zusammenhang zwischen Hessematrix und Gradienten besser versteht, bzw auf einen Blick sieht, dass beide gleich sind, falls nur eine eine Gleichung vorliegt.

Es fehlt

... wann sie eingesetzt wird, warum sie für Koordinatentransformationen genau die Korrekturfaktoren liefert, die für Oberflächenintegrale nötig sind, ... bitte, wer weiß warum das so ist erweitern ! danke!!!!--92.203.78.216 14:50, 27. Feb. 2011 (CET)

Oberflächenintegrale? Da steht als Korrekturfaktor doch die Gramsche Determinante, oder? Das gehört aber ehr zu Oberflächenintegral als hierher.

Falls Du Volumenintegrale meinst: Das mit dem Korrekturfaktor ist die Transformationsformel. Dort wird es auch in Ansätzen erklärt. Wenn es ausführlicher erklärt werden soll, dann dort.

Die Jacobi-Matrix wird überall dort eingesetzt, wo im mehrdimensionalen mit der Ableitung gerechnet wird. Der Artikel kann unmöglich alle Anwendungen aufzählen. Und auszuwählen, welche Anwendungen ausgewählt werden sollen, ist nicht so einfach. Die Transformationsformel fällt mir dazu jedenfalls nicht als erstes ein. -- Digamma 18:13, 27. Feb. 2011 (CET)

Komplexe Jacobi-Matrix

Auch in der mehrdimensionalen komplexen Analysis gibt es Jacobi-Matrizen, dort sogar drei Strück. Ist es sinnvoll diese hier zu erwähnen oder wäre ein eigener Artikel sinnvoller? --Christian1985 (Diskussion) 19:03, 27. Mär. 2011 (CEST)

Die kenne ich nicht. Meiner Meinung nach hängt das davon ab, ob das im Grunde das Gleiche ist, oder etwas ganz anderes, das nur gleich heißt. -- Digamma 08:22, 28. Mär. 2011 (CEST)

Im Prinzip sind diese Matrizen das genaue Analogon für holomorphe Funktionen $f:D\subset \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{m}$ zu der hier beschriebenen Jacobi-Matrix. Es gibt dann eine komplexe Darstellung und zwei reelle, die aber für $n=m$ gleiche Determinante haben. Dies könnte man hier einbauen oder? --19:18, 28. Mär. 2011 (CEST)

Dann spricht für mich nichts dagegen. Das mit der Determinante kann aber nicht sein. Die lineare Abbildung von $\mathbb {C}$ nach $\mathbb {C}$, die mit der komplexen Zahl $c=a ib$ multipliziert, hat komplex betrachtet die $1\times 1$-Matrix $(c)$ mit der Determinante $c$. Reell, als Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ betrachtet, hat sie die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

mit der Determinante $a^{2} b^{2}=|c|^{2}$. -- Digamma 20:05, 28. Mär. 2011 (CEST)

Mit der Bemerkung bezüglich der Determinante hast Du natürlich Recht. Ich habe nun mal einen Abschnitt zu dem Thema eingebaut, es aber bei zwei Varianten belassen, da das referenzierte Buch nur zwei kannte und das wohl auch völlig ausreicht. --Christian1985 (Diskussion) 17:22, 30. Mär. 2011 (CEST)

Ich sehe übrigens $J_{h}^{\mathbb {R} }(z)$ nicht gleichrangig zu $J_{h}^{\mathbb {C} }(z)$. Wenn die Funktionen holomorph sind, weiß man ja, dass im Fall $n=m=1$ beim Übergang von $\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ zu $\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die Cauchy-Riemannsche partielle Differentialgleichungen (CRDG) zu Zug kommen. Das fällt bei der Formulierung

«Hier gibt es zwei unterschiedliche Varianten. Zum einen eine $m\times n$ mit komplexwertigen Einträgen und zum anderen eine $2m\times 2n$-Matrix mit reellwertigen Einträgen.»

völlig unter den Tisch. Natürlich kann man alles Komplexe auch in 2 reellen Komponenten darstellen. Aber schon die reelle Dimensionszahl ist in der ersten «Variante» mit $(m\times n)2$ verschieden von der zweiten mit $2m\times 2n=(m\times n)4$, so dass ohne CRDG der Informationsgehalt der zweiten das Doppelte der ersten ist.

IMHO sollte man die relle Variante weglassen, da jemand, der sie wirklich braucht, sie sich auch selber erarbeiten kann – oder man sollte CRDG einarbeiten. --Nomen4Omen (Diskussion) 19:56, 19. Aug. 2012 (CEST)

Begriffsklärung

Es gibt den Begriff „Jacobi-Matrix“ auch für ganz andere Matrizen, nämlich Tridiagonalmatrizen, die im Zusammenhang mit orthogonalen Polynomen auftreten, siehe zum Beispiel [1] [2] [3]. Wir haben für den Fall unendlicher Folgen orthogonaler Polynome offenbar den Artikel Jacobi-Operator, wo der Begriff „Jacobi-Matrix“ allerdings nicht vorkommt. Trotzdem sollten wir hier irgendeine Form von Begriffsklärung einrichten, entweder eine BKS mit Rotlink oder einen BKH auf Jacobi-Operator. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:11, 7. Feb. 2015 (CET)

Spontan wäre ich für einen BKH. Jedoch sollte, egal wofür man sich entscheidet, der Begriff Jacobi-Matrix auch im Artikel Jacobi-Operator auftauchen. Grüße--Christian1985 (Disk) 16:44, 8. Feb. 2015 (CET)

Ok, ich habe den Begrif „Jacobi-Matrix“ in Jacobi-Operator ergänzt und eine BKH eingerichtet. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:21, 8. Feb. 2015 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 19:21, 8. Feb. 2015 (CET)