Diskussion:Identitätsgleichung

Notation

„Man hebt Identitäten in der Notation durch ein Gleichheitszeichen mit drei Strichen hervor: ≡.“ – Das klingt so, als ob es sich um eine allgemein gebräuchliche Notation handele, was ganz sicher nicht der Fall ist. Das Zeichen ≡ ist nur für die Kongruenzrelation und in der formalen Logik klar definiert und wird ansonsten eher nach eigenem Ermessen und je nach Autor sehr unterschiedlich verwendet. Sehr häufig wird es in der Physik für die Phrase „ist definiert als“ eingesetzt. Die Verwendung zur Bezeichnung von Identitäten ist meiner Meinung nach eher ungebräuchlich; selbst bei den verwendeten Beispielen (wie der eulerschen Identität) wird in den entsprechenden Artikeln das einfache Gleichheitszeichen benutzt. Es gibt auch keinen Grund, hierfür ein eigenes Zeichen zu verwenden. Auch Beutelspacher erklärt in seinem bekannten Buch: „Das Zeichen ≡ sollte nur für die Kongruenzrelation in der Zahlentheorie bzw. in der Geometrie verwendet werden.“ Falls kein Widerspruch kommt, werde ich den Artikel dementsprechend umformulieren. --Phst 23:04, 7. Jan. 2009 (CET)

Widerspruch! Der Bronstein schreibt bei der Defintion des Begriffs Gleichung: "Bleibt die Gleichheitsbeziehung für beliebige Werte der Variablen x erhalten, dann nennt man sie eine Identität bzw. man sagt, die Gleichung ist identisch erfüllt, und man schreibt dann $F(x)\equiv f(x)$." --85 ^[?!] 17:26, 8. Jan. 2009 (CET)

Bronstein ist natürlich eine gute Quelle, allerdings wird diese Konvention sonst fast nirgends benutzt. Insbesondere ist es sehr merkwürdig, wenn in der Wikipedia selbst in den hier aufgezählten Beispielen die Konvention nicht benutzt wird. Meiner Meinung sollte sich der Artikel nicht allein am Bronstein, sondern auch an anderen Werken sowie am allgemeinen Gebrauch orientieren. Die Bronstein-Konvention für die gesamte Wikipedia durchzudrücken, wird nicht erfolgreich sein. Überhaupt finde ich den Begriff "Identität" in der Regel bloß als Synonym für "identische Abbildung". --Phst 10:54, 13. Jan. 2009 (CET)

Habe nochmal genau nachgeschaut, Bronstein benutzt die ≡-Notation selbst nicht, insbesondere nicht bei den trigonometrischen Identitäten oder bei der Eulerschen Identität. Ich kann diesen Artikel deshalb nicht einfach so stehen lassen: Für Identitäten wird nahezu universell das Gleichheitszeichen benutzt, und es bringt nichts, eine unwahre Behauptung aus dem Bronstein als Tatsache hinzustellen. --Phst 19:14, 9. Apr. 2009 (CEST)

Mit Verlaub $F(x)\equiv f(x)$ ist eine in meinen Augen dämliche Notation. Entweder man schreibt, dass die Funktionen äquivalent sind, was für mich F = f ist oder man betont, dass es für alle Parameter gilt, dann würde ich $\forall x:F(x)=f(x)$ schreiben. f(x) ist nun mal die Auswertung der Funktion f an der Stelle x und sagt deshalb nicht mehr alles über f aus. --LeClochard 15:04, 1. Jun. 2011 (CEST)

Habe auch größere Bedenken ≡ mit identität gleichzusetzten (sic!). Gerade im Bereich Logik / Formale Sprachen wird fast immer = für (synthaktisch) identisch und ≡ für (semantisch) equivalent verwendet. (Manchmal aber auch = für sythaktisch eqivalent, so es dass eben gerade geben soll.)

Es ist zwar richtig, dass früher - gerade in der Logik - ≡ für identität gebraucht wurde, (z.B Smullyan) aber alle neueren (post 1990) Lehrbücher, die mir bisher untergekommen sind, verwenden =. Mocy 19:33, 11. Mai 2011 (CEST)

Ich kenne ≡ als Identität zwischen Funktionen, also zum Beispiel f ≡ 0, um auszudrücken, dass f nicht nur an einer Stelle 0 ist, sondern die Nullfunktion meint. Allerdings habe ich den Eindruck, dass dies vor allem von mathematisch weniger versierten Autoren betont wird (sprich Studenten, Ingenieuren, Physikern) und Mathematiker gut zurecht kommen, dass eine Funktion 0 sein kann, genau wie ein Vektor, eine Matrix oder was auch immer. Entsprechend von meiner Einschätzung habe ich mal die kritisierte Formulierung abgeschwächt. --LeClochard 14:48, 1. Jun. 2011 (CEST)

Etymologie

Es sollte in irgendeiner Weise auf den Ursprung des Wortes eingegagen werden. Also von lat.: identitas, wobei es schwierig sein dürfte, dies sinngemäß zu übersetzen, da es im Deutschen kein entsprechendes Wort gibt. Es ist eben mehr als Gleichheit, wobei das auch im mathematischen Sinne irreführend ist, aber Selbigkeit klingt gekünstelt. Ein Vorschlag wie man dies mit möglichst wenig Worten beschreibt? --★PowerZ_Diskussion 21:03, 1. Jun. 2011 (CEST)

Klammerzusatz

Der Klammerzusatz "(Mathematik)" müsste spezialisiert werden, denn die anderen mathematischen Identitätsbegriffe auf Identität (Begriffsklärung) sind auch Mathematik. Wie wäre es stattdessen gleich mit einer Umbenennung des Artikels nach Identitätsgleichung? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:58, 11. Nov. 2012 (CET)

Vielleicht wäre eine Weiterleitung auf diesen Artikel nicht schlecht, wenn man nach "Identität (Mathematik)" sucht. Nur ein Vorschlag :) Mit freundlichen Grüßen, --Der Overmind (Diskussion) 23:28, 18. Nov. 2015 (CET)

Wobei passt doch nicht so richtig, tut mir leid ich nehme das zurück. Erst denken, dann schreiben... :) Mit freundlichen Grüßen, --Der Overmind (Diskussion) 23:30, 18. Nov. 2015 (CET)

Schwurbelgel

Der Begriff Identität macht zunächst keine mathematisch präzise Aussage. Identität ist ein vor der edrsten Verwendung hinreichend zu definierendes Konzept, bevor solch ein Begriff erstmal in einem Artikel erscheint. Das ist sonst beliebiger POV oder beliebige sinnlose triviale Spekulation. Kannste auch gleich in die Tonne kloppen. --2003:CC:93C1:7801:143C:6364:FD3B:4830 02:17, 27. Jun. 2016 (CEST)

Vorschlag für eine Umformulierung

Text

Eine Identitätsgleichung, oft kurz Identität genannt, ist ein als Gleichung geschriebener mathematischer Sachverhalt, der die Gleichheit von Ausdrücken, Formeln oder Funktionen auf gewissen Definitionsbereichen zum Inhalt hat.

Diese Gleichungen enthalten Variablen. Es geht aber nicht darum, diese zu bestimmen, sondern es wird behauptet, dass beide Seiten der Gleichung, die sich durch Einsetzen von beliebigen Elementen des vereinbarten Definitionsbereichs an Stelle der Variablen ergeben, zum selben Wert führen.

Als Beispiel betrachten wir die binomische Formel

$(a b)^{2}=a^{2} b^{2} 2ab$   für alle   $a,b\in \mathbb {R}$.

Diese Identität besagt, dass, ganz gleich welche reellen Zahlen man für $a$ oder $b$ einsetzt, der Wert der linken Seite, das Quadrat der Summe aus den für $a$ und $b$ eingesetzten Zahlen, gleich dem Wert der rechten Seite, der Summe der einzelnen Quadrate plus dem Doppelten des Produktes aus den für $a$ und $b$ eingesetzten Zahlen, ist.

Der verwendete Definitionsbereich $\mathbb {R}$ ist hier üblich, weil er oft dem Kenntnisstand des Anwenders dieser Formel entspricht. Stellt man sich ein Schulniveau vor, auf dem der Schüler erst die rationalen Zahlen, das heißt die Brüche, aber noch nicht die reellen Zahlen kennengelernt hat, so wird man obige Identität mit dem kleineren Definitionsbereich $\mathbb {Q}$ an Stelle von $\mathbb {R}$ angeben. Hat man schließlich die komplexen Zahlen kennengelernt, so wird man den größeren Definitionsbereich $\mathbb {C}$ verwenden.

In der weiter fortgeschrittenen Mathematik lernt man, quadratische Matrizen zu addieren, untereinander und mit festen Zahlen zu multiplizieren, insbesondere auch zu quadrieren. Man könnte daher als Definitionsbereich etwa alle $2\times 2$-Matrizen betrachten. Es stellt sich dann heraus, dass obige Formel nicht mehr gilt, das heißt nicht für alle $2\times 2$-Matrizen $a$ und $b$ gilt $(a b)^{2}=a^{2} b^{2} 2ab$. Dies zeigt, dass das Bestehen von Identitäten vom gewählten Definitionsbereich abhängt. Dieser muss daher immer vereinbart sein, das geschieht entweder stillschweigend oder durch explizite Angabe.

Eine weitere sehr bekannte Identität ist

$\sin ^{2}(x) \cos ^{2}(x)=1$   für alle   $x\in \mathbb {R}$.

Auch hier geht es nicht darum, x zu bestimmen, obwohl x häufig als Symbol für eine Unbekannte verwendet wird. Obige Identität sagt aus, dass wenn x irgendeine reelle Zahl ist, man die Sinus- und Cosinuswerte bestimmt, diese quadriert und anschließend addiert, man immer das Ergebnis 1 erhält.

Zur Verdeutlichung verwendet man - gerade bei Identitäten für Funktionen reeller Zahlen oder anderer Definitionsbereiche - an Stelle des Gleichheitszeichens das Symbol "≡" und liest "ist identisch gleich", zum Beispiel:

$\sin ^{2}(x) \cos ^{2}(x)\equiv 1$   für alle   $x\in \mathbb {R}$.

Diese Schreibweise ist eine besonders in technischen Fachrichtungen verbreitete Konvention, sie ändert nichts an der oben vorgestellten Bedeutung. Dieses Zeichen wird dort insbesondere gern für die Gleichheit von Funktionen verwendet. Es ist aber immer noch eine Gleichheit gemeint, so dass die Verwendung des anderen Zeichens "≡" auch Verwirrung stiften kann, zumal dieses Zeichen von vielen Autoren für die Modulo-Operation verwendet wird. Die Verwendung dieser Zeichen wird in der Regel in einleitenden Abschnitten von Lehrwerken festgelegt, so dass im Zweifel diese einleitenden Abschnitte zu konsultieren sind.

Bemerkungen dazu

Die Diskussion über rationale Zahlen /Matrizen bezüglich des Definitionsbereichs würde ich so nicht führen. Man sollte sich hier auf die einfachen DBe: reelle/natürliche Zahlen und Teilmengen davon beschränken. Beispiele:

$1 2 ... n=n(n 1)/2,\quad n\in \mathbb {N} ,$

$\log(xy)=\log(x) \log(y),\quad 0<x,y\in \mathbb {R} ,$

$\cos(x)={\sqrt {1-\sin ^{2}(x)}},\quad 0\leq x\leq \pi /2,$

$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x),\quad x\in \mathbb {R}$.

--Ag2gaeh (Diskussion) 09:43, 8. Aug. 2016 (CEST)

Ja, das mit den Matrizen kann man weglassen und nur erwähnen, dass man "in weiter fortgeschrittener Mathematik auch Definitionsbereiche behandelt, in denen diese Formel nicht mehr gilt, z.B. die Menge aller 2x2-Matrizen". Das ist dann erheblich kürzer. --FerdiBf (Diskussion) 21:17, 9. Aug. 2016 (CEST)

Umsetzung

Ich habe das jetzt umgesetzt und, wie von Dir gewünscht, die Sache mit den 2×2-Matrizen nicht weiter ausgeführt. Kannst Du bitte die gewünschten Beispiele noch einfügen. Ich denke, dann können wir den QS-Baustein entfernen.--FerdiBf (Diskussion) 22:02, 13. Aug. 2016 (CEST)

"Diese Gleichungen enthalten Variablen ..." <--> Z.B. Die Eulersche Identität enthält KEINE Variablen

Ist also die Euler'sche Identität keine Identität oder müssen Identitäten nicht unbedingt Variablen enthalten? Falls Letzteres zutrifft, sollte der Satz nicht geändert werden? --Felix Tritschler (Diskussion) 13:21, 6. Mär. 2021 (CET)

1 --Sigma^2 (Diskussion) 16:26, 17. Sep. 2021 (CEST)

Allquantor

Im Artikel steht „$(a b)^{2}\equiv a^{2} 2ab b^{2}$   für alle $a,b\in \mathbb {R}$“, aber nach meinem Verständnis wird mit dem Zeichen „≡“ bereits ausgedrückt, dass die Gleichheit für alle $a,b$ gilt, von dem her ist „≡“ eben nicht einfach gleichbedeutend mit „=“. „$(a b)^{2}=a^{2} 2ab b^{2}$“ ist eine offene Formel (die in $\mathbb {R}$ allgemeingültig ist), „$(a b)^{2}\equiv a^{2} 2ab b^{2}$“ dagegen eine geschlossene Formel / ein Satz. Auch aus dem Artikel:

Es ist aber immer noch eine Gleichheit gemeint, sodass die Verwendung des anderen Zeichens „≡“ auch Verwirrung stiften kann, zumal dieses Zeichen von vielen Autoren für die Modulo-Operation verwendet wird.

Die Modulo-Operation wird mit „mod“ notiert, „≡“ wird für die KONGRUENZ modulo einer Zahl geschrieben. -- Der Transkriptor (Diskussion) 14:27, 5. Jul. 2022 (CEST)