Abgeschlossene Hülle

In der Topologie und der Analysis ist die abgeschlossene Hülle (auch Abschließung oder Abschluss) einer Teilmenge $U$ eines topologischen oder metrischen Raums die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$.

Definition

Ist $X$ ein topologischer Raum, so ist die abgeschlossene Hülle oder der Abschluss ${\overline {U}}$ einer Teilmenge $U\subseteq X$ der Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $U$ beinhalten. Die Menge ${\overline {U}}$ ist selbst abgeschlossen, also ist sie die kleinste abgeschlossene Obermenge von $U$.

Ein Punkt $b\in X$ heißt Berührpunkt oder Adhärenzpunkt von $U$, wenn in jeder Umgebung von $b$ mindestens ein Element von $U$ enthalten ist. ${\overline {U}}$ besteht genau aus den Berührpunkten von $U$.

Der Abschluss als Menge von Grenzwerten

Erfüllt $X$ das erste Abzählbarkeitsaxiom (dies gilt beispielsweise dann, wenn $X$ ein metrischer Raum ist), so ist ${\overline {U}}$ die Menge aller Grenzwerte von konvergenten Folgen, deren Glieder in $U$ liegen.

Ist $X$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist der Abschluss einer Teilmenge $U\subseteq X$ die Menge der Grenzwerte konvergenter Netze, deren Glieder in $U$ liegen.

Abschluss von Kugeln in metrischen Räumen

Es sei $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $d$. Man beachte, dass im Allgemeinen die abgeschlossene Hülle ${\overline {B(x,r)}}$ einer offenen Kugel

$B(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)<r\}$

mit Radius $r$ und Mittelpunkt $x\in X$ nicht dasselbe ist wie die abgeschlossene Kugel

${\overline {B}}(x,r)=\{y\in X\mid d(x,y)\leq r\}.$

Da die abgeschlossene Kugel eine abgeschlossene Menge ist, die die offene Kugel enthält, enthält sie auch ihren Abschluss:

${\overline {B(x,r)}}\subseteq {\overline {B}}(x,r)$

Um ein Beispiel zu geben, in dem diese Inklusion echt ist, sei X eine Menge (mit mindestens zwei Elementen), auf der eine Metrik durch

$d(x,y)=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\not =y\\0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\end{matrix}}\right.$

definiert ist. Dann gilt für jedes $x\in X$:

$\{x\}=B(x,1)={\overline {B(x,1)}}\subsetneq {\overline {B}}(x,1)=X.$

Darüber hinaus gibt es auch metrische Räume, in denen für einen Punkt x und einen Radius r beide Inklusionen gleichzeitig echt sind:

$B(x,r)\subsetneq {\overline {B(x,r)}}\subsetneq {\overline {B}}(x,r).$

Ein Beispiel ist die Menge $X=\{(a,0)|a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}$ mit der vom euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{2}$ induzierten Metrik. Hier erfüllt $x=(0,0),r=1$ die angegebene Inklusionsbedingung:

$B(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1<a<1\}\subsetneq$

${\overline {B(0,1)}}=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\subsetneq$

${\overline {B}}(0,1)=\{(a,0)\mid a\in \mathbb {R} ,-1\leq a\leq 1\}\cup \{(0,1)\}=X$

Literatur

• Gabriele Castellini: Categorical Closure Operators. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2003, ISBN 0-8176-4250-1.