System gyfesurynnau

System gyfesurynnau
Enghraifft o'r canlynol	gwrthrych haniaethol
	Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw system gyfesurynnau. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.

Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.

Cyfesurynnau Cartesaidd

Prif: System gyfesurynnol Cartesaidd

Mae system cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system iawnonglog (orthogonal) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau.^[1].

Un dimensiwn

Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tarddiad yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd /-) o'r pwynt i'r tardd.

Y linell rifau real

Sawl dimensiwn

Enghraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Cartesaidd. Diffinnir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.

Mewn dau ddimensiwn (plân 2D), diffinnir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
Mewn tri ddimensiwn (gofod 3D) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
Yn gyffredinol, mewn gofod Ewclidaidd N dimensiwn mae N echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt $P$ yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd /-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan $\mathbb {R}$ .

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn N dimensiwn.

Systemau llaw dde

Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio system llaw dde, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D^[2]. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

Cyfesurynnau pegynol

Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn begwn. Estynnir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt $P$ drwy fesur y pellter (gydag arwydd /-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan $r$ (am radiws), a'r ongl gan naill ai $\theta$ , $\phi$ neu $t$ : cyfesurynnau pegynol $P$ felly yw $(r,\,\theta )$ . Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

Yn y deiagram, O yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy OL yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

P=(r,\theta )\,=\,(r,\theta \pm 2n\pi )\,=\,(-r,\theta \pm (2n 1)\pi )

am bob rhif cyfan $n$ . Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i $r\geq 0$ a'r ongl i'r ystod $[0,360)$ gradd neu $[-\pi ,\pi )$ radian.

Cyfesurynnau silindraidd

Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn $(r,\theta ,z)$ , sef

y pellter $r$ neu $\rho$ ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
yr ongl asimwth $\theta$ neu $\phi$ (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynnwys yr echelin begynol)
yr uchder $z$ o blân yr echelin begynol

Yn y deiagram, O yw'r tardd, a'r linell drwy OA yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy OL

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i $r\geq 0$ a'r ongl i'r ystod $[0,360)$ gradd neu $[-\pi ,\pi )$ radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae $z$ yn yr ystod $(-\infty , \infty )$ .

Cyfesurynnau sfferigol

Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn $(r,\theta ,\phi )$ , sef:

y pellter $r$ neu $\rho$ o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
yr ongl asimwth $\theta$ , debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
yr ongl begynol $\phi$ , a fesurir o'r echelin begynol.

(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan $\phi$ a'r ongl begynol gan $\theta$ . Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau $\theta =0,\,r=a$ yn diffinio cylch nawnlin (meridian); mae $\phi ={\tfrac {\pi }{2}},\,r=a$ yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

Trawsnewidiadau ymysg systemau

Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)

mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,

drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

Ymysg systemau petryalog

Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt $P=(x,y,z)$ yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau fectorau uned sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau X, Y a Z gan $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k}$ .

Yna mae'r fector

\mathbf {p} =x\mathbf {i}  y\mathbf {j}  z\mathbf {k}

yn y sytem yma.

Gelwir y triawd $\{\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \}$ yn sylfaen (basis) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini ^[3].

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o drawsnewidiad affiniol (affine transform) ^[4]. Y trawsnewidiadau yw:

trawsfudiad, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y

mewn dau ddimensiwn,

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}x t_{x}\\y t_{y}\end{pmatrix}}

cylchdroad, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy $\theta$ yn dilyn

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\y\sin \theta  x\cos \theta \end{pmatrix}}

newid graddfa yng ngyfeiriadau X ac Y

{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}xs_{x}\\ys_{y}\end{pmatrix}}

Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud o system $A$ i system $B$ . Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.

symud o dardd $A=(x_{a},y_{a})$ i dardd cyffredin:

T_{A}={\begin{pmatrix}1&&0&&-x_{a}\\0&&1&&-y_{b}\\0&&0&&1\end{pmatrix}}

newid graddfa $S$ fel y ddangoswyd uchod, gyda

s_{i}={\frac {{\text{uned yn system }}B}{{\text{uned yn system }}A}}

ar y ddau echelin

cylchdroad $R$ drwy'r ongl rhwng echelin X system $A$ ac echelin X system $B$ , fel y ddangoswyd uchod
symud o'r tardd cyffredin i dardd $B=(x_{b},y_{b})$ :

T_{B}={\begin{pmatrix}1&&0&&x_{b}\\0&&1&&y_{b}\\0&&0&&1\end{pmatrix}}

Ceir y matrics terfynol drwy lluosi y rhain:

M_{AB}=T_{B}SRT_{A}

Rhwng systemau gwahanol

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.

System	Petryalog	Pegynol
Pegynol ^[5]	${\begin{array}{lcl}x&=&r\cos \theta \\y&=&r\sin \theta \end{array}}$	${\begin{array}{lcl}r&=&{\sqrt {x^{2} y^{2}}}\\\theta &=&\arctan {\tfrac {y}{x}}\end{array}}$
Silindraidd ^[6]	${\begin{array}{lcl}x&=&r\cos \theta \\y&=&r\sin \theta \\z&=&z\end{array}}$	${\begin{array}{lcl}r&=&{\sqrt {x^{2} y^{2}}}\\\theta &=&\arctan {\tfrac {y}{x}}\\z&=&z\end{array}}$
Sfferigol ^[7]	${\begin{array}{lcl}x&=&r\cos \theta \sin \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \phi \end{array}}$	${\begin{array}{lcl}r&=&{\sqrt {x^{2} y^{2} z^{2}}}\\\theta &=&\arctan {\tfrac {y}{x}}\\\phi &=&\arctan {\tfrac {z}{r}}\end{array}}$