Stolzova věta

Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí

Znění věty

Nechť $(a_{n})$ a $(b_{n})$ jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž $(b_{n})$ je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita

$L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n 1}-a_{n}}{b_{n 1}-b_{n}}}.$

Potom také limita $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}$ existuje a je rovna číslu $L$.

Důkaz

Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé $\varepsilon >0\,$ existuje $N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ takové, že $\forall n\geq N(\varepsilon )$ platí:

$L-\varepsilon <{\frac {a_{n 1}-a_{n}}{b_{n 1}-b_{n}}}<L \varepsilon ,$

kde $L$ je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada $b_{n}$ ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé $b_{n 1}-b_{n}$ jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. Dostaneme:

$(L-\varepsilon )\,(b_{n 1}-b_{n})<a_{n 1}-a_{n}<(L \varepsilon )\,(b_{n 1}-b_{n}).$

Nechť dále $k$ je nějaké přirozené číslo větší než $N(\varepsilon )$ a zároveň takové, aby $b_{k 1}>0$ (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost $b$ diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od $N(\varepsilon )$ po $k$ a dostaneme:

$(L-\varepsilon )\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(b_{i 1}-b_{i})<\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(a_{n 1}-a_{n})<(L \varepsilon )\sum _{i=N(\varepsilon )}^{k}(b_{i 1}-b_{i}).$

V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:

$(L-\varepsilon )\,(b_{k 1}-b_{N(\varepsilon )})<a_{k 1}-a_{N(\varepsilon )}<(L \varepsilon )\,(b_{k 1}-b_{N(\varepsilon )}),$

což po vydělení kladným číslem $b_{k 1}$ dává:

$(L-\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}\right)<{\frac {a_{k 1}}{b_{k 1}}}-{\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}<(L \varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}\right),$

z čehož po přičtení čísla $a_{N(\varepsilon )}/b_{k 1}$ dospějeme k nerovnici

$(L-\varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}\right) {\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}<{\frac {a_{k 1}}{b_{k 1}}}<(L \varepsilon )\left(1-{\frac {b_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}\right) {\frac {a_{N(\varepsilon )}}{b_{k 1}}}.$

Protože posloupnost $b$ diverguje, můžeme s rostoucím $k$ učinit členy $a_{N(\varepsilon )}/b_{k 1}$ a $b_{N(\varepsilon )}/b_{k 1}$ libovolně malými. V limitním přechodu pro $k$ rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:

$L-\varepsilon \leq \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k 1}}{b_{k 1}}}\leq L \varepsilon ,$

a je zároveň vidět, že limita $\lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {a_{k 1}}{b_{k 1}}}$ existuje, jelikož členy posloupnosti ${\frac {a_{k 1}}{b_{k 1}}}$ dokážeme pro dosti vysoké $k$ omezit na libovolně malý interval kolem čísla $L$, a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.

Příklad

Mějme za úkol vypočítat $\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}} {\sqrt {2}} ... {\sqrt {n}}}{\sqrt {n^{3}}}}.$

Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty ($\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n^{3}}}= \infty$ a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {1}} {\sqrt {2}} ... {\sqrt {n}} {\sqrt {n 1}}-({\sqrt {1}} {\sqrt {2}} ... {\sqrt {n}})}{{\sqrt {(n 1)^{3}}}-{\sqrt {n^{3}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n 1}}{{\sqrt {(n 1)^{3}}}-{\sqrt {n^{3}}}}}=$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt {n 1}}{({\sqrt {n 1}}-{\sqrt {n}})(n 1 {\sqrt {n(n 1)}} n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {{\sqrt {n 1}}\,({\sqrt {n 1}} {\sqrt {n}})}{2n 1 {\sqrt {n(n 1)}}}}=$

$\lim _{n\to \infty }{\frac {n 1 n{\sqrt {1 {\frac {1}{n}}}}}{2n 1 n{\sqrt {1 {\frac {1}{n}}}}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1 {\frac {1}{n}} {\sqrt {1 {\frac {1}{n}}}}}{2 {\frac {1}{n}} {\sqrt {1 {\frac {1}{n}}}}}}={\frac {1 0 1}{2 0 1}}={\frac {2}{3}}.$

Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2} ab b^{2})$ a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem $({\sqrt {n 1}} {\sqrt {n}})$, přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a b)$. Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.

Související články

• Limita
• Posloupnost
• L'Hospitalovo pravidlo

Externí odkazy

• (anglicky) Důkaz Stolzovy věty Archivováno 30. 1. 2008 na Wayback Machine.
• Přednáška prof. Ing. Edity Pelantové, CSc., o Stolzově větě