Prvoideál (teorie okruhů)

Prvoideálem v okruhu $R$ je každý takový vlastní ideál ${\mathfrak {p}}\subseteq R$, že pro libovolné dva ideály ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ splňující ${\mathfrak {ab}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ (tedy jejichž součin je podmnožinou ${\mathfrak {p}}$) platí ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ nebo ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}$.

Jedná se o analogii prvočísel, u kterých lze obdobně vyslovit: Přirozené číslo $p$ je prvočíslem právě tehdy, pokud pro jakákoliv dvě přirozená čísla $a,b$ platí, že pokud $p$ dělí $ab$, pak $p$ dělí $a$ nebo $p$ dělí $b$.

Příklady

• Ideál $n\mathbb {Z}$ je prvoideálem pravě když je $n$ prvočíslo
• V okruhu $\mathbb {Z} [X]$ všech polynomů s koeficienty z celých čísel je prvoideálem například ideál generovaný prvky 2 a X (jedná se o ideál tvořený všemi polynomy, které mají konstantní koeficient sudý).
• Každý maximální ideál je prvoideálem

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Prime ideal na anglické Wikipedii.