Moment síly

Moment síly
Název veličiny; a její značka	Moment síly; M
Hlavní jednotka SI; a její značka	newton metr; Nm
Definiční vztah
Dle transformace složek	pseudovektorová
Zařazení jednotky v soustavě SI	odvozená

je vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje míru otáčivého účinku síly.

Otáčivý účinek síly se vztahuje k danému bodu nebo přímce. Bod, ke kterému se moment síly určuje, se nazývá momentovým bodem. Kolmá vzdálenost $p$ síly od její osy k bodu je tzv. rameno síly.

Bod, vůči němuž se určuje moment síly, nemusí být bodem ležícím na ose otáčení. Moment síly můžeme určit vzhledem k libovolnému bodu, a to i k bodům, které se nachází mimo zkoumané těleso.

Moment síly je definován jako součin síly a kolmé vzdálenosti osy síly od daného bodu. Velikost momentu síly tedy závisí na velikosti síly a na vzdálenosti od osy otáčení (čím dále síla působí, tím větší moment síly vznikne, obě veličiny jsou přímo úměrné).

Směr vektoru momentu síly je kolmý na rovinu síly a polohového vektoru působiště, určuje se pravidlem pravé ruky: Zahnuté prsty pravé ruky ukazují směr otáčivého účinku síly (směr otáčení tělesa), vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

V případech, kdy je potřeba charakterizovat otáčivý účinek síly na soustavu s pevně danou osou otáčení, používá se příbuzná veličina točivý moment, která představuje průmět obecného momentu síly do osy otáčení.

Značení

Symbol veličiny: ${\boldsymbol {M}}$
Odvozená jednotka SI: newton metr, značka jednotky: Nm

Výpočet

Nechť ${\boldsymbol {F}}$ je vzhledem k libovolnému bodu $O$ určeno polohovým vektorem ${\boldsymbol {r}}$ . Moment síly vzhledem k bodu $O$ je pak určen vztahem

{\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}

Vektory ${\boldsymbol {r}}$ a ${\boldsymbol {F}}$ definují rovinu, k níž je výsledný vektor ${\boldsymbol {M}}$ kolmý. Směr vektoru ${\boldsymbol {M}}$ určuje směr osy otáčení (rotace). Tato osa prochází bodem $O$ , ke kterému moment síly určujeme.

Pokud je $\alpha$ úhel mezi vektory ${\boldsymbol {r}}$ a ${\boldsymbol {F}}$ , pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako

M=Fr\sin \alpha

Tento vztah lze chápat dvěma způsoby

$M=r(F\sin \alpha )$

V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče

r

a složky síly

F_{k}=F\sin \alpha

kolmé na tento průvodič. Složka

F_{k}

má otáčivou schopnost, zatímco složka

F_{r}

, která je kolmá na

F_{k}

a rovnoběžná s průvodičem

{\boldsymbol {r}}

, tuto schopnost nemá.

$M=F(r\sin \alpha )$

V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost

F

a ramene síly

p=r\sin \alpha

, tedy

M=Fp

.

Ramenem síly

p

se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu

O

(tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).

Moment obecné síly na obecné páce v rovině:

M=F.r.(\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta )

Vlastnosti

Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je $\mathbf {M}$ kolmé k průvodiči ${\boldsymbol {r}}$ a současně k síle ${\boldsymbol {F}}$ . V případě, že určujeme moment síly k ose, leží ${\boldsymbol {M}}$ ve zvolené ose.
Moment síly vzhledem k ose se definuje jako průmět momentu síly vzhledem k bodu osy do této síly. Moment síly vzhledem k ose tedy leží ve zvolené ose. Působící síla tedy neurčuje směr momentu síly (jako v případě momentu vzhledem k bodu), ale pouze velikost tohoto momentu.
Při řešení se postupuje tak, že působištěm síly se proloží rovina kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly ${\boldsymbol {F}}$ je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka ${\boldsymbol {F}}^{\prime }$ , která je odpovědná za otáčení. Průsečík osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží ${\boldsymbol {F}}^{\prime }$ , je bodem, k němuž se určí moment síly.
Působí-li ve společném působišti několik sil ${\boldsymbol {F}}_{i}$ , je jejich celkový účinek dán výslednicí sil ${\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {F}}_{1} {\boldsymbol {F}}_{2} \cdots {\boldsymbol {F}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {F}}_{i}$ a výsledný moment je dán vztahem ${\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}\times ({\boldsymbol {F}}_{1} {\boldsymbol {F}}_{2} \cdots {\boldsymbol {F}}_{n})$ .

Z distributivního zákona pro vektorový součin pak dostaneme

{\boldsymbol {M}}=({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{1}) ({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{2}) \cdots  ({\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}_{n})={\boldsymbol {M}}_{1} {\boldsymbol {M}}_{2} \cdots  {\boldsymbol {M}}_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {M}}_{i}

Výsledný moment sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je tedy roven vektorovému součtu momentů všech složek k danému bodu.

Související články

Mechanika
Mechanika tuhého tělesa
Varignonova momentová věta (2. věta impulsová)
Dvojice sil, Moment dvojice sil
Točivý moment (krouticí moment)
Ohybový moment
Impuls momentu síly