Laplaceova metoda

Laplaceova metoda je technika pro asymptotické aproximace Laplaceových integrálů, tedy přibližný výpočet integrálů ve tvaru

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t.$

Meze $a$ a $b$ mohou nabývat hodnot $\pm \infty$.

Čím větší je $n,$ tím je aproximace přesnější. Speciálním případem těchto integrálů je Laplaceova transformace. Metoda je pojmenována podle francouzského matematika Pierra-Simona Laplaceho, který ji publikoval v roce 1774.

Zobecněním metody na komplexní čísla je metoda největšího spádu.

Tvrzení

Nechť $g\in C^{2}(\langle a,b\rangle )$ a existuje ostré minimum $t_{0}\in (a,b)$ (tedy $g'(t_{0})=0$ a $g''(t_{0})>0$). Dále platí $f(t_{0})\neq 0$. Pak platí

$\lim \limits _{n\to \infty }{\frac {\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t}{e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}}}=1$

nebo v terminologii asymptotické analýzy

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\sim e^{-ng(t_{0})}f(t_{0}){\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\quad {\text{pro }}n\to \infty$.

Odvození

Základní myšlenka je následující:

Největší příspěvek k hodnotě integrálu pochází z bodů v okolí $U_{\varepsilon }(t_{0})$.

Za předpokladu, že $n$ je velmi velké, můžeme integrál vyjádřit takto:

${\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t&=e^{-ng(t_{0})}\int _{a}^{b}f(t)e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\\&\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0} \varepsilon }e^{-n\left[g(t)-g(t_{0})\right]}\mathrm {d} t\end{aligned}}$

Funkci $g$ v bodě $t_{0}$ vyjádříme pomocí Taylorova rozvoje:

$g(t)=g(t_{0}) g'(t_{0})(t-t_{0}) {\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2} {\mathcal {O}}((t-t_{0})^{3})$

Tedy můžeme aproximovat

${\begin{aligned}g(t)-g(t_{0})&\approx g'(t_{0})(t-t_{0}) {\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\\&={\frac {1}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}\end{aligned}}$

Odtud plyne

$\int _{a}^{b}f(t)e^{-ng(t)}\mathrm {d} t\approx e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0} \varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t$

Pokud by v integrálu na pravé straně byly integrační meze $\langle -\infty ,\infty \rangle$ šlo by o Gaussův integrál; díky tomu, že hodnota exponenciální funkce při odchýlení od $t_{0}$ klesá velmi rychle, můžeme použít jeho hodnotu:

${\begin{aligned}e^{-ng(t_{0})}f(t_{0})\int _{t_{0}-\varepsilon }^{t_{0} \varepsilon }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t&\approx f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})(t-t_{0})^{2}}\mathrm {d} t\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {n}{2}}g''(t_{0})s^{2}}\mathrm {d} s\\&=f(t_{0})e^{-ng(t_{0})}{\sqrt {\frac {2\pi }{ng''(t_{0})}}}\\\end{aligned}}$

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Methode von Laplace na německé Wikipedii.