Frobeniův skalární součin

V lineární algebře je Frobeniův skalární součin definován na vektorovém prostoru reálných nebo komplexních matic. Vypočítá se součinem prvků dvou matic po složkách a následným součtem všech dílčích součinů. V komplexním případě je jeden prvek vždy komplexně sdružený. Frobeniův skalární součin lze také vypočítat jako stopu maticového součinu dvou matic, přičemž jedna z matic je transponovaná, případně hermitovsky transponovaná.

Pomocí Frobeniova skalárního součinu se z prostoru matic stane unitární prostor, dokonce Hilbertův prostor. Norma odvozená z Frobeniova skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma. Zobecněním Frobeniova skalárního součinu na nekonečně rozměrné vektorové prostory je Hilbertův-Schmidtův skalární součin. Frobeniův skalární součin se používá mimo jiné v mechanice kontinua při tenzorovém popisu deformace vektorových polí. Je pojmenován po německém matematikovi Ferdinandu Georgu Frobeniovi.

Definice a značení

Frobeniův skalární součin dvou reálných, ne nutně čtvercových, matic ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ a ${\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ je definován výrazem:

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}

Jinými slovy, Frobeniův skalární součin získáme ze součinů odpovídajících složek obou daných matic a následným součtem všech těchto dílčích součinů. Odpovídá standardnímu skalárnímu součinu, pokud matice chápeme jako vektory dimenze $mn$ . Frobeniův skalární součin dvou jednosloupcových matic jmenovitě odpovídá standardnímu skalárnímu součinu dvou vektorů.

Frobeniův skalární součin dvou komplexních matic ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ a ${\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ je dán výrazem:

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\overline {b_{ij}}}

Pruh značí komplexně sdružené číslo.

Lze se setkat i s definicí používající komplexně sdružená čísla pro prvky první matice, čili

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}{\overline {a_{ij}}}b_{ij}

ovšem takto definovaný součin není lineární vůči skalárním násobkům v první složce, ale ve druhé.

Ve fyzice se Frobeniův skalární součin dvou matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ někdy zapisuje ${\boldsymbol {A}}\,\colon \,{\boldsymbol {B}}$ .

Vztak k Hadamardovu součinu

Jsou-li ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ reálné matice, pak je Frobeniův skalární součin součtem prvků Hadamardova součinu.

Jsou-li matice vektorizovány (tj. převedeny na sloupcové vektory, označené " $\operatorname {vec}$ "), pak pro

\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\\\vdots \\a_{21}\\a_{22}\\\vdots \\a_{nm}\end{pmatrix}}

a

\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}b_{11}\\b_{12}\\\vdots \\b_{21}\\b_{22}\\\vdots \\b_{nm}\end{pmatrix}}

platí

(\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}=(a_{11},a_{12},\ldots ,a_{21},a_{22},\ldots ,a_{nm}){\begin{pmatrix}{\overline {b_{11}}}\\{\overline {b_{12}}}\\\ \vdots \\{\overline {b_{21}}}\\{\overline {b_{22}}}\\\vdots \\{\overline {b_{nm}}}\end{pmatrix}}

Odtud plyne přímo $\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=(\operatorname {vec} {\boldsymbol {A}})^{\mathrm {T} }{\overline {\operatorname {vec} {\boldsymbol {B}}}}$ .

Frobeniova norma

Frobeniova norma je norma přidružená k Frobeniovu skalárnímu součinu, neboli:

\|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }={\sqrt {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}

Ukázky

Reálné matice

Frobeniův skalární součin dvou reálných matic typu $2\times 3$

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}

a

{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}}

je roven

{\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8 0\cdot (-3) 6\cdot 2 1\cdot 4 (-1)\cdot 1 2\cdot (-5)\\&=21\end{aligned}}

Komplexní matice

Pro dvě čtvercové komplexní matice řádu $2$

{\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}1 \mathrm {i} &-2\mathrm {i} \\3&-5\end{pmatrix}}

a

{\boldsymbol {B}}={\begin{pmatrix}-2&3\mathrm {i} \\4-3\mathrm {i} &6\end{pmatrix}}

platí

{\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(1 \mathrm {i} )\cdot (-2) (-2\mathrm {i} )\cdot (-3\mathrm {i} ) 3\cdot (4 3\mathrm {i} ) (-5)\cdot 6\\&=-26 7\mathrm {i} \end{aligned}}

zatímco

{\begin{aligned}\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1-\mathrm {i} ) 3\mathrm {i} \cdot 2\mathrm {i}  (4-3\mathrm {i} )\cdot 3 6\cdot (-5)\\&=-26-7\mathrm {i} \end{aligned}}

Frobeniův skalární součin matice ${\boldsymbol {A}}$ se sebou samou a součin ${\boldsymbol {B}}$ se sebou samou jsou

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=2 4 9 25=40

a

\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=4 9 25 36=74

.

Vlastnosti

Komplexní Frobeniův skalární součin je seskvilineární forma, neboli lineární v prvním argumentu:

\langle {\boldsymbol {A}} {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} } \langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }

a

\langle c{\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=c\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }

a také semilineární v druhém argumentu, tedy.

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}} {\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} } \langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }

a

\langle {\boldsymbol {A}},c{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {c}}\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }

.

Dále je hermitovská forma, neboli

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }}}

,

a také pozitivně definitní:

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }\geq 0

a

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {A}}\rangle _{\mathrm {F} }=0\Leftrightarrow {\boldsymbol {A}}=0

.

Uvedené vlastnosti vyplývají přímo z komutativních a distributivních zákonů sčítání a násobení a z pozitivní definitnosti komplexní absolutní hodnoty $|z|^{2}={\bar {z}}z$ .

Z komplexního případu bezprostředně plyne reálný případ, protože na $\mathbb {R}$ se každé číslo shoduje se svým komplexně sdruženým protějškem.

Reprezentace pomocí stopy

Reálný Frobeniův skalární součin má následující reprezentaci pomocí stopy matice

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })

,

kde ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }$ je matice transponovaná k ${\boldsymbol {A}}$ . Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin vztah:

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })

,

kde ${\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }$ je hermitovská transpozice matice ${\boldsymbol {A}}$ .

Přesun mezi argumenty

Reálný Frobeniův skalární součin má následující vlastnost pro všechny ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {R} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$ a ${\boldsymbol {C}}\in \mathbb {R} ^{l\times n}$ :

\langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}({\boldsymbol {AB}})^{\mathrm {T} })=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} })=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }

.

Odpovídajícím způsobem platí pro komplexní Frobeniův skalární součin pro všechny ${\boldsymbol {A}}\in \mathbb {C} ^{l\times m},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ a ${\boldsymbol {C}}\in \mathbb {C} ^{l\times n}$ :

\langle {\boldsymbol {AB}},{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {CB}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {B}},{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {C}}\rangle _{\mathrm {F} }

.

Obě vlastnosti vyplývají ze zachování stopy vzhledem k cyklickým permutacím součinu matic.

Invariance

Vzhledem ke stopové reprezentaci a vlastnosti posunutí platí následující pro reálný Frobeniův skalární součin dvou matic ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {R} ^{m\times n}$

\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {T} }\rangle _{\mathrm {F} }

.

Pro komplexní Frobeniův skalární součin dvou matic ${\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ platí obdobně následující.

{\overline {\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }}}=\langle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} },{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }\rangle _{\mathrm {F} }

.

Vlastnosti Frobeniovy normy

Frobeniova norma je invariantní při unitárních transformacích a platí pro ni Cauchyho-Schwarzova nerovnost.

|\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|\leq \|{\boldsymbol {A}}\|_{\mathrm {F} }\,\|{\boldsymbol {B}}\|_{\mathrm {F} }

.

Z nerovnosti vyplývá odhad

|\langle {\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}}\rangle _{\mathrm {F} }|^{2}\leq \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}})\cdot \operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {B}})

.

V případě reálných matic je hermitovská transpozice nahrazena prostou transpozicí.

Odhad přes singulární hodnoty

Jsou-li $\sigma _{1}({\boldsymbol {A}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {A}})$ singulární hodnoty ${\boldsymbol {A}}$ a $\sigma _{1}({\boldsymbol {B}}),\ldots ,\sigma _{r}({\boldsymbol {B}})$ singulární hodnoty ${\boldsymbol {B}}$ s $r=\min\{m,n\}$ , pak pro Frobeniův skalární součin platí odhad