Youngova nerovnost

V matematice, Youngova nerovnost, pojmenovaná podle W. H. Younga, dává do vztahu součin dvou nezáporných čísel a součet jejich mocnin:

Jsou-li $a,b\geq 0$, $p,q\in (1,\infty )$, $pq=p q$, pak

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}} {\frac {b^{q}}{q}}$ .

Důkaz

Pro $a=0$ nebo $b=0$ je důkaz triviální. Jinak z konkávnosti logaritmu (Jensenova nerovnost) dostáváme, že

$\ln \left({\frac {a^{p}}{p}} {\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {1 \over p}\ln(a^{p}) {1 \over q}\ln(b^{q})=\ln(ab)$,

což bylo dokázat.

Související články

• Duální exponent

Portály: Matematika