Klasifikace jednoduchých konečných grup

Klasifikace jednoduchých konečných grup je matematické tvrzení. Říká, že každá jednoduchá grupa, která má konečný počet prvků, je izomorfní buď jedné z 18 sérií grup, anebo jedné z 26 sporadických grup. Všechny tyto grupy jsou explicitně popsány a věta o klasifikaci tvrdí, že žádná jiná konečná jednoduchá grupa neexistuje. Kvůli ohromné náročnosti jejího důkazu bývá v angličtině také nazývána „Enormous theorem“.

Historie důkazu

Odvození a důkaz klasifikace byl jedním z nejrozsáhlejších projektů dějin matematiky. Původně se skládal z více než 500 odborných článků a asi 15 tisíc stran tištěného textu. Účastnilo se jej mezi léty 1920 a 1980 aktivně více než 100 matematiků. Protože části důkazů byly prověřovány pomocí počítačů, existují o korektnosti důkazů u některých matematiků pořád pochybnosti. Po dokončení důkazu kolem 1980 započali vedoucí matematici oboru jako Michael Aschbacher a Daniel Gorenstein program na zjednodušení důkazu, podrobnou dokumentaci a doplnění sporných nebo chybějících částí. U toho objevili mezery, které se většinou daly bez větších komplikací doplnit. Jedna mezera však byla obtížnější a zaplněna byla až roku 2002 (Aschbacher, Smith: The classification of quasithin groups, AMS).

Seznam konečných jednoduchých grup

Nekonečné série

Cyklické grupy prvočíselného řádu

Cyklické grupy $\mathbb {Z} _{p}$ pro p prvočíslo jsou jediné příklady jednoduchých konečných Abelových grup.

Alternující grupy

Alternující grupa $A_{n}$ je grupa všech sudých permutací $n$-prvkové množiny. Jsou jednoduché pro $n>4$. Grupa $A_{5}$ má 60 prvků a je nejmenší nekomutativní jednoduchou grupou.

Grupy Lieova typu

Další jednoduché konečné grupy jsou tvořeny grupami Lieova typu, anebo též Chevalleyho grupami, což jsou lineární algebraické grupy nad nějakým konečným tělesem. Zbylých 16 sérií jednoduchých konečných grup je tvořeno grupami Lieova typu.

Pro konečné těleso řádu $q=p^{n}$ je speciální projektivní grupa (resp. projektivní speciální lineární grupa) $A_{n}(q)$ definována jako grupa matic dimenze $n 1$ s determinantem rovným jedné nad tímto tělesem, z které se odfaktoruje její centrum (tvořeno násobky jednotkové matice). Tato série grup má tedy parametry $q$ (mocnina prvočísla) a $n$ (přirozené číslo). Všechny tyto grupy jsou jednoduché kromě $A_{1}(2)$ a $A_{1}(3)$. Alternativní značení je $PSL(n,q)$.

Další série $B_{n}(q)$ resp. $D_{n}(q)$ jsou tvořeny ortogonálními maticemi dimenze $2n 1$ resp. $2n$ které mají determinant a spinorovou normu rovnu jedné. Kromě grupy $B_{2}(2)$ jsou všechny jednoduché. Série $C_{n}(q)$ pozůstává se symplektických grup, z kterých se odfaktoruje centrum. Všechny grupy $C_{n}(q)$ jsou jednoduché.

Dalších 5 sérií jsou analogie výjimečných Lieových grup. Jsou však definovány nad každým konečným tělesem, proto se jedná o série, indexované číslem $q=p^{n}$. Značí se $E_{6}(q),E_{7}(q),E_{8}(q),F_{4}(q),G_{2}(q)$ a kromě $G_{2}(2)$ jsou všechny jednoduché.

Další 4 série tvoří tzv. Steinbergovy grupy. První z nich je analogie unitárních grup. Existence a konstrukce Steinbergových grup souvisí se symetriemi Dynkinových diagramů grup $A_{n},D_{n}$ a $E_{6}$, které definují vnější automorfismy těchto grup. Steinbergovy grupy se dají definovat jako pevné body složení akce těchto vnějších automorfizmů a jistého automorfizmu příslušného tělesa. Série se značí $^{2}A_{n}(q^{2}),^{2}D_{n}(q^{2}),^{2}E_{6}(q^{2}),^{3}D_{4}(q^{2})$.

Další série jsou tzv. Suzukiho grupy $^{2}B_{2}(2^{2n 1})$, jejichž existence a konstrukce souvisí s existencí speciálního automorfismu těles charakteristiky 2, jehož druhá mocnina je Frobeniův automorfizmus. Podobně se nad speciálními tělesy charakteristiky 2 a 3 definují i Reeovy grupy $^{2}F_{4}(2^{2n 1})$ a $^{2}G_{2}(3^{2n 1})$.

Sporadické grupy

Pět sporadických grup bylo objeveno Mathiem kolem roku 1860 a zbylých 21 mezi léty 1965 a 1975. Většina z nich se jmenuje po matematicích, kteří jako první předpověděli jejich existenci. Seznam jmen těchto grup je:

• Mathiovy grupy M₁₁, M₁₂, M₂₂, M₂₃, M₂₄
• Jankovy grupy J₁, J₂ resp. HJ, J₃ resp. HJM, J₄
• Conwayovy grupy Co₁ resp. F₂₋, Co₂, Co₃
• Fischerovy grupy Fi₂₂, Fi₂₃, Fi₂₄′ resp. F₃
• Higman–Simsova^[zdroj?] grupa HS
• McLaughlinova grupa McL
• Heldova grupa He resp. F₇ resp. F₇
• Rudvalisova grupa Ru
• Suzukiho sporadická grupa Suz, resp. F₃₋
• O'Nanova grupa O'N
• Harada–Nortonova grupa HN resp. F₅ resp. F₅
• Lyonsova grupa Ly
• Thompsonova grupa Th resp. F_3|3 resp. F₃
• Malá monstergrupa (Baby Monster group) B resp. F₂ resp. F₂
• Fischer–Griessova monstergrupa M, resp. F₁

Odkazy

Reference

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Sporadic group na anglické Wikipedii, Classification of finite simple groups na anglické Wikipedii a Endliche einfache Gruppen und ihre Klassifikation na německé Wikipedii.

• WILSON, Robert A. The finite simple groups. Berlin, New York: Springer, 2009. Dostupné online. ISBN 978-1-84800-987-5. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel. The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis. [s.l.]: Penguin UK, 2003. 320 s. ISBN 978-0141009094. S. 13. (anglicky) 
• Michael Aschbacher (2004) "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups," Notices of the American Mathematical Society.
• GORENSTEIN, D. The classification of finite simple groups. I. Simple groups and local analysis. American Mathematical Society. Bulletin. New Series. 1979, s. 43–199. ISSN 0002-9904. DOI 10.1090/S0273-0979-1979-14551-8. 
• GORENSTEIN, Daniel. Finite simple groups. New York: Plenum Publishing Corp., 1982. Dostupné online. ISBN 978-0-306-40779-6. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel. The classification of finite simple groups. Vol. 1. Groups of noncharacteristic 2 type. New York: Plenum Press, 1982. ISBN 978-0-306-41305-6. (anglicky) 
• Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
• GORENSTEIN, D. Classifying the finite simple groups. American Mathematical Society. Bulletin. New Series. 1986, s. 1–98. ISSN 0002-9904. DOI 10.1090/S0273-0979-1986-15392-9. 
• GORENSTEIN, Daniel; LYONS, Richard; SOLOMON, Ronald. The classification of the finite simple groups. Providence, R.I.: AMS, 1994. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-0334-9. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel; LYONS, Richard; SOLOMON, Ronald. The classification of the finite simple groups. Number 2. Part I. Chapter G. Providence, R.I.: AMS, 1996. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-0390-5. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel; LYONS, Richard; SOLOMON, Ronald. The classification of the finite simple groups. Number 3. Part I. Chapter A. Providence, R.I.: AMS, 1998. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-0391-2. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel; LYONS, Richard; SOLOMON, Ronald. The classification of the finite simple groups. Number 4. Part II. Chapters 1–4. Providence, R.I.: AMS, 1999. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-1379-9. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel; LYONS, Richard; SOLOMON, Ronald. The classification of the finite simple groups. Number 5. Part III. Chapters 1–6. Providence, R.I.: AMS, 2002. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-2776-5. (anglicky) 
• GORENSTEIN, Daniel; LYONS, Richard; SOLOMON, Ronald. The classification of the finite simple groups. Number 6. Part IV. Providence, R.I.: AMS, 2005. Dostupné online. ISBN 978-0-8218-2777-2. (anglicky) 
• Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Stručný úvod)
• Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
• Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society.
• SOLOMON, Ronald. A brief history of the classification of the finite simple groups. American Mathematical Society. Bulletin. New Series. 2001, s. 315–352. Dostupné online. ISSN 0002-9904. DOI 10.1090/S0273-0979-01-00909-0. 

Externí odkazy

• (anglicky) Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, číslo 41, December 2006.
• (anglicky)Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups. Archivováno 4. 4. 2005 na Wayback Machine. Obsahuje seznam všech neabelovských jednoduchých grup do řádu 10¹⁰.
• (anglicky) Klasifikační věta na mathworld