Hermitovská matice

Hermitovská matice, též samosdružená matice, hermitovsky souměrná matice je v lineární algebře taková čtvercová matice s prvky z oboru komplexních čísel, ve které jsou všechny dvojice prvků $a_{ij}$ , $a_{ji}$ komplexně sdružené, tedy

a_{ij}={\overline {a_{ji}}}\,.

Totéž lze vyjádřit podmínkou, že matice je rovna své hermitovské transpozici ${\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}$ , nebo také tak, že pro danou matici je komplexně sdružená matice rovna matici transponované ${\overline {\boldsymbol {A}}}={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}$

Ukázky

Matice
${\begin{pmatrix}3&2 \mathrm {i} \\2-\mathrm {i} &1\end{pmatrix}},$ kde $\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$ je imaginární jednotka, je hermitovská.
Pauliho matice:
$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

jsou hermitovské.

Vlastnosti

Reálná část hermitovské matice je symetrická, tj. $\mathrm {Re} (a_{jk})=\mathrm {Re} (a_{kj})\,,$ zatímco imaginární část je antisymetrická, tj. $\mathrm {Im} (a_{jk})=-\mathrm {Im} (a_{kj})\,.$
Na diagonále má hermitovská matice reálná čísla.
Reálné hermitovské matice jsou symetrické.
Inverzní matice k regulární hermitovské matici je také hermitovská.
Hermitovské matice jsou diagonalizovatelné pomocí unitární matice a výsledná diagonální matice je reálná.
Determinant hermitovské matice je reálné číslo.
Hermitovské matice jsou normální, tj. ${\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {H}}$
Součet hermitovských matic je hermitovský.
Součin dvou hermitovských matic ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ je hermitovský, právě když ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}$ .
Jestliže ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {B}}$ jsou hermitovské, pak součin ${\boldsymbol {ABA}}$ je také hermitovský.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Hermitesche Matrix na německé Wikipedii.

Literatura

BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.