Heineho věta

Heineho věta je jedno z úvodních tvrzení matematické analýzy, která dává do souvislosti limitu funkce a limitu posloupnosti. Jednoduše řečeno říká, že funkce je spojitá právě když zachovává limity.

Tvrzení

Nechť $X$ a $Y$ jsou metrické prostory (např. reálná čísla $\mathbb {R} ^{n}$, komplexní čísla $\mathbb {C} ^{n}$, …), a nechť $f\colon X\to Y$ je zobrazení mezi nimi. Pak $l\in Y$ je limita $f$ v bodě $x_{0}\in X$ neboli

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=l$

právě když pro každou posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ takovou, že $x_{n}\to x_{0}$ a zároveň $x_{n}\neq x_{0}$, platí $f(x_{n})\to l$.

Ekvivalentně lze také formulovat tzv. Heineho větu o spojitosti:

Nechť $f\colon X\to Y$ je zobrazení mezi metrickými prostory $X$ a $Y$. Pak $f$ je spojitá v bodě $x_{0}\in X$ právě když pro každou posloupnost $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ takovou, že $x_{n}\to x_{0}$, platí $f(x_{n})\to f(x_{0})$.

Související články

• Limita
• Funkce
• Posloupnost
• Spojitá funkce

Literatura

• V. Jarník: Diferenciální počet I, Academia 1984

Portály: Matematika