Cantorova–Heineova věta

V matematice Cantorova–Heineova věta, pojmenována po Georgu Cantorovi a Eduardovi Heineovi, říká, že pokud M je kompaktní metrický prostor, potom každá spojitá funkce

f : M → N,

kde N je metrický prostor, je stejnoměrně spojitá.

Například, pokud f : [a,b] → R je spojitá funkce, pak je taktéž stejnoměrně spojitá.

Důkaz

Předpokládejme, že f je spojitá na kompaktním metrickém prostoru M, avšak není stejnoměrně spojitá. Potom negace výroku

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0$ takové, že $d(x,y)<\delta \Rightarrow \rho (f(x),f(y))<\varepsilon$ pro každé x, y z M

je:

$\exists \varepsilon _{0}>0$ takové, že $\forall \delta >0,\ \exists x,y\in M$ tak, že $\ d(x,y)<\delta$ a $\rho (f(x),f(y))\geq \varepsilon _{0}$.

kde d a $\rho$ jsou metriky metrických prostorů M, respektive N.

Zvolme dvě posloupnosti x_n a y_n takové, že

$d(x_{n},y_{n})<{\frac {1}{n}}$ a $\rho (f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \varepsilon _{0}$.

Protože M je kompaktní, pak z nich lze vybrat konvergentní podposloupnosti ($x_{n_{k}}$ konvergující k x₀ a $y_{n_{k}}$ k y₀), takové, že

$d(x_{n_{k}},y_{n_{k}})<{\frac {1}{n_{k}}}\Rightarrow \rho (f(x_{n_{k}}),f(y_{n_{k}}))\geq \varepsilon _{0}$

ale protože f je spojitá a $x_{n_{k}}$ a $y_{n_{k}}$ konvergují ke stejnému bodu, je poslední důsledek nemožný. Proto musí být nepravdivý předpoklad nestejnoměrnosté spojitosti.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Heine-Cantor theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Georg Cantor
• Eduard Heine

Portály: Matematika