Greenova věta

Greenova věta je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v rovině přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. Stokesovy věty. Autorem Greenovy věty je George Green.

Znění věty

D je oblast ohraničená křivkami C₁, C₂, C₃, C₄.

Je-li $\mathbf {F} (x,y)=[F_{x}(x,y),F_{y}(x,y)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na jednoduše souvislé ploše $S$ ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou $C$, pak platí:

$\oint _{C}(F_{x}\mathrm {d} x F_{y}\mathrm {d} y)=\iint _{S}({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}})\ \mathrm {d} x\ \mathrm {d} y$.

Výpočet obsahu

Greenovu větu je možno využít k výpočtu obsahu plochy v rovině. Zvolme funkce $F_{x}$ a $F_{y}$ tak,
že platí ${\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}=1$, potom je obsah (míra) oblasti $D$ ohraničené hranicí $C$ dán vztahem:

$S={\tfrac {1}{2}}\oint _{C}(-y\,dx x\,dy)=\iint _{S}\mathrm {d} x\ \mathrm {d} y$, neboť (viz volba výše):

$\partial F_{y}\,\partial y-\partial F_{x}\,\partial x\ =\ \partial x\ \partial y\ =\ {\tfrac {1}{2}}\,\partial x\ \partial y {\tfrac {1}{2}}\,\partial y\ \partial x$, tj.:

$\partial F_{y}={\tfrac {1}{2}}\partial x\$ a $\ \partial F_{x}=-{\tfrac {1}{2}}\partial y$, z čehož plyne: $F_{y}={\tfrac {1}{2}}x\$ a $\ F_{x}=-{\tfrac {1}{2}}y$.

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Green's theorem na anglické Wikipedii.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu Greenova věta na Wikimedia Commons

Portály: Matematika

Autoritní data	PSH: 7490