Forsing

Forsing (používá se též anglický termín forcing) je v matematice obecná důkazová technika, která je základní metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin. Poprvé ji použil roku 1962 americký matematik Paul Cohen. O rok později užitím forsingu dokázal bezespornost negace hypotézy kontinua s axiomy Zermelo-Fraenkelovy teorie množin. Ještě v 60. letech 20. století byla rozpracována Dana Scottem, Robertem Solovayem a Petrem Vopěnkou do teorie booleovsky ohodnocených modelů. Forsing je v současné době v podstatě univerzální metodou pro dokazování relativních konzistencí v teorii množin.

Princip forsingu

Tento odstavec obsahuje velmi zjednodušené podání základní myšlenky forsingu, které má pouze motivační smysl a je matematicky zcela nepřesné. Přesný popis metody forsingu je v následujících odstavcích.

Metoda forsingu spočívá v rozšiřování modelů teorie množin do modelů nových přidáním prvků, které zajistí platnost požadovaného tvrzení v takto rozšířeném modelu.

V obecné výchozí situaci je tedy dán nějaký model $M$ teorie množin, o kterém díky Löwenheim-Skolemově větě můžeme předpokládat, že je spočetný (to je čistě technický požadavek, který je možno obejít). Předpokládejme, že je dán nějaký model teorie množin $N$ rozšiřující $M$ , tj. $M\subseteq N$ . V této situaci mohou existovat prvky modelu $N$ , které nejsou prvky $M$ , ale jsou podmnožinami $M$ , tj. taková $x$ , že $x\in N\setminus M$ a $x\subseteq M$ (taková x jsou pak „polomnožinami“ v $M$ ). Cílem forsingu je sestrojit nějaký model $M[G]$ ležící mezi $M$ a $N$ , tj. takový, který obsahuje všechny prvky $M$ a navíc i některé podmnožiny $M$ , které v $M$ neleží, ale leží v $N$ .

Myšlenku konstrukce modelu $M[G]$ lze velmi zjednodušeně vyjádřit následovně. Ty podmnožiny $M$ , které v novém modelu $M[G]$ mají být, lze ohodnotit číslem $1$ a zbylé množiny číslem $0$ . Protože však předem nevíme, které množiny musí v $M[G]$ být, aby byl modelem teorie množin, nestačí ohodnocovat pouze pomocí nul a jedniček, ale je nutné použít strukturu nějaké Booleovy algebry $B\in M$ . Každé podmnožině $M$ pak je přiřazena nějaká booleovská hodnota $b\in B$ , která určuje „míru“ jejího náležení do $M[G]$ . Ty množiny, které do $M[G]$ nakonec budou skutečně zařazeny, lze určit pomocí nějakého filtru $G\in N$ na $B$ . Přesněji $x\in M[G]$ právě tehdy když je booleovská hodnota $x$ v $G$ .

Konstrukce generických rozšíření

Pro sestrojení rozšíření $M[G]$ k danému modelu $M$ se používá technika booleovských jmen.

Tato část článku je příliš stručná nebo postrádá důležité informace. Pomozte Wikipedii tím, že ji vhodně rozšíříte.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Timothy Y. Chow: A beginner’s guide to forcing (PDF, PostScript; anglicky), oai:arXiv.org:0712.1320

Původní Cohenovy články obsahující důkaz nezávislosti hypotézy kontinua v ZFC:

Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 50, No. 6. (Dec. 15, 1963), pp. 1143–1148.
Paul J. Cohen: The Independence of the Continuum Hypothesis, II, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, Vol. 51, No. 1. (Jan. 15, 1964), pp. 105-110.

Literatura

BALCAR, Bohuslav; ŠTĚPÁNEK, Petr. Teorie množin. 2. opr. a rozš. vyd. [s.l.]: Academia, 2001. ISBN 80-200-0470-X.
KUNEN, Kenneth. Set theory: An Introduction to Independence Proofs. [s.l.]: North-Holland, 1980. Dostupné online. ISBN 0-444-85401-0.