Eulerův vzorec umožňuje definovat mocnění komplexním číslem a protože exponenciální funkce je inverzní funkcí k logaritmu , umožňuje definovat i logaritmy komplexních čísel.
Platí, že
|
e
i
φ
|
=
1
{\displaystyle |e^{i\varphi }|=1}
φ
{\displaystyle \varphi }
komplexní jednotky . Tím mimo jiné zjednodušuje zápis goniometrického tvaru komplexních čísel.
Taylorův rozvoj exponenciální funkce reálné proměnné je:
e
x
=
1
x
x
2
2
!
⋯
=
x
0
0
!
x
1
1
!
x
2
2
!
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
pro
x
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle e^{x}=1 x {\frac {x^{2}}{2!}} \cdots ={\frac {x^{0}}{0!}} {\frac {x^{1}}{1!}} {\frac {x^{2}}{2!}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\;{\mbox{ pro }}x\in (-\infty ,\infty )}
Její definiční obor lze holomorfním prodloužením rozšířit na obor komplexních čísel (x = a ib , kde i je imaginární jednotka ). Pro další odvození stačí uvažovat, že x je ryze imaginární číslo (x = ib ); dosazením do Taylova rozvoje dostaneme:
e
i
b
=
(
i
b
)
0
0
!
(
i
b
)
1
1
!
(
i
b
)
2
2
!
(
i
b
)
3
3
!
⋯
=
i
0
b
0
0
!
i
1
b
1
1
!
i
2
b
2
2
!
i
3
b
3
3
!
⋯
=
b
0
0
!
i
b
1
1
!
i
2
b
2
2
!
i
.
i
2
b
3
3
!
⋯
{\displaystyle e^{ib}={\frac {{(ib)}^{0}}{0!}} {\frac {{(ib)}^{1}}{1!}} {\frac {{(ib)}^{2}}{2!}} {\frac {{(ib)}^{3}}{3!}} \cdots ={\frac {i^{0}b^{0}}{0!}} {\frac {i^{1}b^{1}}{1!}} {\frac {i^{2}b^{2}}{2!}} {\frac {i^{3}b^{3}}{3!}} \cdots ={\frac {b^{0}}{0!}} {\frac {ib^{1}}{1!}} {\frac {i^{2}b^{2}}{2!}} {\frac {i.i^{2}b^{3}}{3!}} \cdots }
Využijeme toho, že i 2 = -1:
e
i
b
=
b
0
0
!
i
b
1
1
!
(
−
1
)
b
2
2
!
i
(
−
1
)
b
3
3
!
⋯
{\displaystyle e^{ib}={\frac {b^{0}}{0!}} {\frac {ib^{1}}{1!}} {\frac {(-1)b^{2}}{2!}} {\frac {i(-1)b^{3}}{3!}} \cdots }
Přerovnáme členy a vytkneme imaginární jednotku i z členů, které ji obsahují:
e
i
b
=
(
b
0
0
!
−
b
2
2
!
⋯
)
i
(
b
1
1
!
−
b
3
3
!
⋯
)
{\displaystyle e^{ib}=\left({\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}} \cdots \right) i\left({\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}} \cdots \right)}
Uzávorkované části jsou Taylorovy rozvoje funkcí kosinus a sinus reálné proměnné b :
cos
b
=
b
0
0
!
−
b
2
2
!
b
4
4
!
−
b
6
6
!
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
b
2
n
(
2
n
)
!
pro
b
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \cos b={\frac {b^{0}}{0!}}-{\frac {b^{2}}{2!}} {\frac {b^{4}}{4!}}-{\frac {b^{6}}{6!}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {b^{2n}}{(2n)!}}\;{\mbox{ pro }}b\in (-\infty ,\infty )}
sin
b
=
b
1
1
!
−
b
3
3
!
b
5
5
!
−
b
7
7
!
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
b
2
n
1
(
2
n
1
)
!
pro
b
∈
(
−
∞
,
∞
)
{\displaystyle \sin b={\frac {b^{1}}{1!}}-{\frac {b^{3}}{3!}} {\frac {b^{5}}{5!}}-{\frac {b^{7}}{7!}} \cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\frac {b^{2n 1}}{(2n 1)!}}\;{\mbox{ pro }}b\in (-\infty ,\infty )}
čímž dostáváme Eulerův vzorec:
e
i
b
=
cos
(
b
)
i
sin
(
b
)
{\displaystyle e^{ib}=\cos(b) i\sin(b)}
Vzorec platí i v obecnějším případě, kdy je
x
{\displaystyle x}
Taylorovy řady stejné jako v případě argumentu reálného.
Pro obecnou definici umocňování komplexním číslem použijeme vzorec
e
r
s
=
e
r
.
e
s
{\displaystyle e^{r s}=e^{r}.e^{s}}
e
a
i
b
=
e
a
.
(
cos
b
i
sin
b
)
{\displaystyle e^{a ib}=e^{a}.(\cos b i\sin b)}
Obrázky, zvuky či videa k tématu Eulerův vzorec na Wikimedia Commons 