Šťastné číslo

Šťastné číslo (anglicky happy number) je v matematice definováno následujícím způsobem: vezme se libovolné kladné celé číslo, nahradí se součtem druhých mocnin svých číslic a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v posloupnosti neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají šťastná, ostatní pak nešťastná.

Formálněji řečeno: mějme číslo $n=n_{0}$ a definujme posloupnost $n_{1}$, $n_{2}$, ... kde $n_{i 1}$ je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla $n_{i}$. Poté $n$ je šťastné právě tehdy, když existuje i takové, že $n_{i}=1$.

Pokud je nějaké číslo šťastné, pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také šťastnými čísly.

Příklad

Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

7² = 49

4² 9² = 97

9² 7² = 130

1² 3² 0² = 10

1² 0² = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

1² 6² 6² 3² = 82

8² 2² = 68

6² 8² = 100

1² 0² 0² = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například triskaidekafobiky), je dle této definice šťastné číslo:

1² 3² = 10

1² 0² = 1

Chování posloupnosti

Když $n$ není šťastné, pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):

4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...

Pokud $n$ má $m$ číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše $81m$ (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky).
Pro $m=4$ a více je

$n\geq 10^{m-1}>81m$

tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.

• V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
• V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
• V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.

U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

Šťastná prvočísla

Šťastné prvočíslo je takové šťastné číslo, které je zároveň prvočíslem. Šťastná prvočísla menší než 500 jsou:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (Sekvence A035497 v OEIS).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru $10^{n} 3$ a $10^{n} 9$ pro n větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:

• Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.
• První číslicí je vždy 1.
• Poslední číslicí je vždy 3 nebo 9.
• Všechny další číslice jsou 0 (jejich druhá mocnina je taktéž 0, a tedy součet nijak neovlivní).
  • Posloupnost při přidání 3 je: 1² 3² = 10 → 1² = 1
  • Posloupnost při přidání 9 je: 1² 9² = 82 → 64 4 = 68 → 100 → 1

Palindromické prvočíslo 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ 7426247×10⁷⁵⁰⁰⁰ 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají $1^{2} 7^{2} 4^{2} 2^{2} 6^{2} 2^{2} 4^{2} 7^{2} 1^{2}=176$, což je šťastné číslo. Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce 2005.

Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě

Definice šťastných čísel je závislá na desítkové soustavě. Tuto definici lze rozšířit na ostatní číselné soustavy.

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například $100_{2}$ představuje číslo 4 ve dvojkové soustavě. V každé číselné soustavě existují šťastná čísla. Například čísla

$1_{b},10_{b},100_{b},1000_{b},...$

jsou šťastná pro jakoukoliv číselnou soustavu $b$.

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé nešťastné číslo v číselné soustavě $b$ vede k zacyklení v číslech menších než $1000_{b}$. Využije se to, že když $n<1000_{b}$, pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla $n$ v soustavě $b$ je menší nebo roven

$3(b-1)^{2}$.

Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než $b^{3}=1000_{b}$. Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než $1000_{b}$, zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než $1000_{b}$ je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve dvojkové soustavě jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 1000₂ jsou totiž šťastná:

$111_{2}\rightarrow 11_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1$

$110_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1$

$101_{2}\rightarrow 10_{2}\rightarrow 1$

$100_{2}\rightarrow 1.$

Dvojková soustava je tedy šťastná číselná soustava. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Happy number na anglické Wikipedii.

Externí odkazy

• (anglicky) Šťastné číslo v encyklopedii MathWorld Happy Number -- from Wolfram MathWorld.
• (anglicky) OEIS: A007770 – Happy numbers

Portály: Matematika