Sumatori de Gauss

En matemàtiques, i més precisament en aritmètica modular, el sumatori de Gauss és un nombre complex.

El sumatori de Gauss fa servir les eines de l'anàlisi harmònica sobre un grup abelià finit sobre el cos finit Z/pZ on p designa un nombre prevaler senar i Z el conjunt dels enters.

Va ser introduït pel matemàtic Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) que el va fer servir en els seus Disquisitiones arithmeticae, aparegudes el 1801.

Es fan servir per establir la teoria dels polinomis ciclotòmics i tenen nombroses aplicacions. Es pot citar per exemple una demostració de la llei de reciprocitat quadràtica.

Definició

En aquest article, p designa un nombre primera senar, F_p el Cos finit isomorf a Z/pZ, F_p^* el seu grup multiplicatiu (és a dir el mateix conjunt excepte 0, amb l'estructura de grup donada per la multiplicació) i ω designa una arrel primitiva p-èsima de la unitat, el caràcter ψ_m designa el que, a 1_F associa ω^m.

• Sigui ψ un caràcter del grup additiu (F_p, ) i χ un caràcter del grup multiplicatiu (F_p^*,.), llavors el sumatori de Gauss associat a χ i ψ és el nombre complex, aquí notat G(χ, ψ) definit per:

$G(\chi ,\psi )=\sum _{{\bar {x}}\in F_{p}^{*}}\chi (x).\psi (x)\quad {\text{et}}\quad G(\chi ,\psi _{n})=\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)\omega ^{nk}$

Per motius de simplicitat, χ i ψ també es consideren com a funcions definides sobre Z l'anell dels enters, amb la convenció següent:

$\forall {\bar {x}}\in \mathbb {F} _{p}^{*},\;\forall x\in {\bar {x}}\quad \chi (x)=\chi ({\bar {x}})\;{\text{et}}\;\psi (x)=\psi ({\bar {x}})\quad ;\quad \forall no\in \mathbb {Z} \quad \chi (np)=0\;{\text{et}}\;\psi (np)=\psi ({\bar {0}})=1$

en Termes de transformada de Fourier, es pot considerar l'aplicació que a χ associa $\scriptstyle {G(\chi ,{\bar {\psi }})}$ com la transformada de Fourier del prolongament de χ a F_p per la igualtat χ(0) = 0 al grup additiu del cos i l'aplicació que a ψ associa $\scriptstyle {G({\bar {\chi }},\psi )}$ com la transformada de Fourier de la restricció de ψ a F_p^* en el grup multiplicatiu del cos.

Propietats

L'anàlisi harmònica permet nombrosos càlculs sobre els sumatoris de Gauss, aquest paràgraf proposa alguns exemples.

• Si m és un enter primer amb p, llavors es verifica la igualtat següent:

$\forall no\in \mathbb {Z} \quad G(\chi ,\psi _{nm})={\overline {\chi (m)}}G(\chi ,\psi _{n})\;$

Aquí Z designa el conjunt dels naturals i si z és un nombre complex $\scriptstyle {\bar {z}}$ designa el seu conjugat.

• Si χ ' ψ són dos caràcters diferents del caràcter constant igual a u, llavors es verifica la igualtat següent:

$G(\chi ,\psi ).G({\bar {\chi }},\psi )=\chi (-1)p\;$

Aquesta propietat compleix el corol·lari següent:

• Si μ designa el caràcter multiplicatiu igual a 1 sobre els quadrats de F_p^* i -1 si no, llavors es verifica la igualtat següent:

$G(\mu ,\psi _{1})^{2}={\Big (}{\frac {-1}{p}}{\Big )}p\;$

En aquest article, (-1/p) designa el símbol de Legendre.

Demostracions

.

• Si m és un enter primer amb p, llavors es verifica la igualtat següent:

$\forall n\in \mathbb {Z} \quad G(\chi ,\psi _{nm})={\overline {\chi (m)}}G(\chi ,\psi _{n})\;$

En efecte, la definició d'un sumatori de Gauss implica les igualtats següents:

$G(\chi ,\psi _{nm})=\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)\omega ^{nmk}=\sum _{k=1}^{p-1}\chi (m)^{-1}\chi (mk)\omega ^{nmk}\;$

Utilitzem el canvi de variable següent u = mk, s'obté:

$G(\chi ,\psi _{nm})=\sum _{u=1}^{p-1}\chi (m)^{-1}.\chi (u)\omega ^{nu}=\chi (m^{-1})\sum _{u=1}^{p-1}\chi (u)\omega ^{nu}={\overline {\chi (m)}}G(\chi ,\psi _{n})\;$

El que clou la demostració.

• Si χ i ψ són dos caràcters diferents del caràcter constant igual a u, llavors es verifica la igualtat següent:

$G(\chi ,\psi ).G({\bar {\chi }},\psi )=\chi (-1)p\;$

En efecte, la definició d'un sumatori de Gauss implica les igualtats següents:

$G(\chi ,\psi ).G({\bar {\chi }},\psi )=\sum _{k=1}^{p-1}\chi (k)\psi (k).\sum _{l=1}^{p-1}{\overline {\chi (l)}}\psi (l)=\sum _{k,l\in [1,p-1]}\chi (k\lambda _{l})\psi (k)\psi (l)\;$

Aquí, λ_l designa l'enter comprès entre u i p - 1 tal que l.λ_l és congruent a u mòdul p. Utilitzem el canvi de variable seguint u = k.λ_l, s'obté:

$G(\chi ,\psi ).G({\bar {\chi }},\psi )=\sum _{u=1}^{p-1}\chi (u)\sum _{l=1}^{p-1}\psi (ul)\psi (l)$

S'observa que l'aplicació que a la classe de l associa el valor del caràcter ψ per a la classe de ul és un caràcter del grup additiu F_p. Si u és diferent de la unitat, aquest caràcter és diferent de ψ i per tant és ortogonal ja que dos caràcters diferents d'un grup finit són ortogonals (cf caràcter d'un grup finit). Se'n dedueix:

${\text{Si}}\quad u\neq p-1\quad \sum _{l=1}^{p}\psi (ul)\psi (l)=0\quad {\text{sinon}}\quad \sum _{l=1}^{p}\psi (-l)\psi (l)=p\;$

Se'n dedueix, limitant el sumatori a p - 1, les igualtats següents:

${\text{Si}}\quad u\neq p-1\quad \sum _{l=1}^{p-1}\psi (ul)\psi (l)=-1\quad {\text{sinon}}\quad \sum _{l=1}^{p-1}\psi (-l)\psi (l)=p-1\;$

El que demostra la igualtat següent:

$G(\chi ,\psi ).G({\bar {\chi }},\psi )=\sum _{u=1}^{p-2}-\chi (u) (p-1)\chi (-1)$

Igualment, el caràcter multiplicatiu χ és ortogonal al caràcter constant igual a 1, en conseqüència:

$\sum _{u=1}^{p-1}\chi (u)=0\quad {\text{et}}\quad \sum _{u=1}^{p-2}-\chi (u)=\chi (-1)$

El que demostra la igualtat següent i acaba la demostració:

$G(\chi ,\psi ).G({\bar {\chi }},\psi )=\chi (-1)p\;$

• 'Si μ designa el caràcter multiplicatiu igual a 1 sobre els quadrats de F_p^* i -1 si no, llavors la es verifica igualtat següent:

$G(\mu ,\psi _{1})^{2}={\Big (}{\frac {-1}{p}}{\Big )}{\text{pàg.}}\;$

Com que μ és igual al seu conjugat, la proposició precedent, demostra que:

$G(\mu ,\psi _{1})^{2}=G(\mu ,\psi _{1}).G({\bar {\mu }},\psi _{1})=\mu (-1){\text{pàg.}}={\Big (}{\frac {-1}{p}}{\Big )}{\text{pàg.}}\;$

Aplicacions

Suma quadràtica de Gauss

L'exemple històric, publicat per Gauss el 1801 és el següent:

• Si τ_p és wl sumatori definit a la línia següent, llavors τ_p² és igual a (-1/p).p.

$\tau _{p}=\sum _{k=1}^{p}exp({\frac {2\pi ik^{2}}{p}})\quad llavors\quad \tau _{p}^{2}={\Big (}{\frac {-1}{p}}{\Big )}p\;$

Demostració

Sigui H el subgrup del grup multiplicatiu F_p^* compost dels residus quadràtics de F_p^*. Sigui P₁ el sumatori dels caràcters de ψ₁ sobre H i P₂ el sumatori dels caràcters de ₁ sobre el complementari de H en F_p^*. Llavors es verifica la igualtat següent: $P_{1} P_{2} 1=\sum _{{\bar {k}}\in \mathbb {F} _{p}}\psi _{1}({\bar {k}})\;$

Ara Bé ψ₁ és un caràcter additiu diferent del caràcter constant sobre F_p, és per tant ortogonal, se'n dedueix:

$\sum _{{\bar {k}}\in \mathbb {F} _{p}}\psi _{1}({\bar {k}})=0\quad i\quad -P_{2}=P_{1} 1\;$

El valor G(μ, ψ₁) de l'última proposició del paràgraf precedent s'expressa de la manera següent:

$G(\mu ,\psi _{1})=P_{1}-P_{2}=1 2P_{1}\;$

Finalment, l'aplicació de F_p^* en H que a la classe de x associa la classe de x² és una aplicació exhaustiva tal que tota imatge admet exactament dos antecedents, en conseqüència:

$\tau _{p}=\sum _{k=1}^{p}exp({\frac {2\pi ik^{2}}{p}})=1 \sum _{k=1}^{p-1}\omega ^{k^{2}}=1 \sum _{{\bar {k}}\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\psi ({\bar {k}}^{2})=1 2\sum _{{\bar {h}}\in H}\psi ({\bar {h}})=1 2P_{1}=G(\mu ,\psi _{1})\;$ L'última proposició del paràgraf precedent acaba la demostració.

Llei de reciprocitat quadràtica

Article principal: Llei de reciprocitat quadràtica

La llei s'expressa de la manera següent si q és un nombre primera senar diferent de p:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}$

Es demostra amb l'ajuda del sumatori quadràtic de Gauss i de les propietats de les sumes.

Demostració

Es considera l'anell dels enters algebraics Z[ω]. Conté τ_p, llavors es calcula τ_p^q mòdul q en Z[ω]. $\tau _{p}^{q}={\Big (}\sum _{{\bar {k}}\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu ({\bar {k}})\psi _{1}({\bar {k}}){\Big )}^{q}\;$

El binomi de Newton, i els divisors dels coeficients binomials mostren que:

$\tau _{p}^{q}\equiv \sum _{{\bar {k}}\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu ({\bar {k}})^{q}\psi _{1}({\bar {k}})^{q}\equiv \sum _{{\bar {k}}\in \mathbb {F} _{p}^{*}}\mu ({\bar {k}})\psi _{q}({\bar {k}})\equiv G(\mu ,\psi _{q}){\pmod {q}}\;$

La primera proposició descrita en les propietats dels sumatoris de Gauss mostra que:

$\tau _{p}^{q}\equiv G(\mu ,\psi _{q})\equiv \mu (q)G(\mu ,\psi _{1})\equiv \mu (q)\tau _{p}{\pmod {q}}\;$

Les propietats del símbol de Legendre mostren també que:

$\tau _{p}^{q}=(\tau _{p}^{2})^{\frac {q-1}{2}}\tau _{p}=\left(\left({\frac {-1}{p}}\right).p\right)^{\frac {q-1}{2}}\tau _{p}=\left((-1)^{\frac {p-1}{2}}p\right)^{\frac {q-1}{2}}\tau _{p}=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau _{p}\;$

se'n dedueix la igualtat:

$\mu (q)\tau _{p}\equiv (-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\tau _{p}{\pmod {q}}\;$

Multiplicant per _p els dos termes de la igualtat i dividint per p, s'obté:

$\left({\frac {q}{p}}\right)\equiv (-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}p^{\frac {q-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}\left({\frac {p}{q}}\right){\pmod {q}}\;$

S'observa llavors que la igualtat precedent és un producte de factors iguals a 1 o -1, la igualtat precedent és per tant també una igualtat en Z/qZ i també en Z, se'n dedueix:

$\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}$ Amb el que s'acaba la demostració.

Referències

• Michel Demazure Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes Cassini 1997
• Serre, Jean-Pierre. Cours d'arithmétique (en francès). 
• A. Warusfel Structures algébriques finies Hachette 1971
• G. Peyré L'algèbre discrète de la transformée de Fourier Ellipses Marketing 2004

Enllaços externs

• (francès) Lemme sur la somme de Gauss par C. Banderier de l'Université de Paris XIII 1998
• (francès) Analyse harmonique sur les groupes finis commutatifs par A. Bechata
• (francès) Cours de maîtrise de mathématiques : Théorie algébrique des nombres par B. Edixhoven et L. Moret-Bailly de l'Université de Rennes 1 2004