Matriu densitat

La matriu densitat, o operador densitat és una entitat matemàtica introduïda per John von Neumann. Permet resumir en una sola matriu tot el conjunt possible dels estats quàntics d'un sistema físic donat a un instant donat, combinant així la mecànica quàntica i la física estadística.

Definició

El concepte de matriu densitat generalitza el de vector d'estat a sistemes barreja. Donat un vector d'estat que pertany a un espai de Hilbert $H$, considerem el conjunt d'aplicacions lineals $L(H)$ que hi actuen. Si $\{|i\rangle \}_{i=1}^{d}\in \mathbb {C} ^{d}$ és una base ortonormal de $H$ i $M\in L(H)$, podem expressar $M$ com a una matriu amb elements $M_{ij}=\langle i|M|j\rangle$.

A més, si considerem només les aplicacions lineals que projecten estats vàlids sobre estats vàlids, trobem que un operador $\rho \in L(H)$ ha de complir les següents propietats:

1. Ha de ser hermític: $\rho =\rho ^{\dagger }$.
2. Ha de ser semidefinit positiu: $\rho \geq 0$.
3. Ha de tenir traça unitària: $Tr(\rho )=1$

El conjunt $D(H)\subset L(H)$ que compleix aquestes propietats és el conjunt d'operadors densitat.

Estat pur

L'estat és pur si es pot descriure amb un sol vector en l'espai de Hilbert $|\psi \rangle \in H$.

En aquest cas, l'operador densitat és simplement l'operador de projecció de $L(H)$ sobre l'espai generat per $|\psi \rangle$, amb rang 1:

$\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$

Estat mixt

Un estat és mixt quan no es correspon amb un únic vector d'estat. Sempre, però, es pot expressar com a una suma ponderada d'estats:

$\rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\neq |\psi \rangle \langle \psi |$

Cal remarcar que els $|\psi _{i}\rangle$ poden estar expressats en qualsevol base, de manera que $\rho$ en general no és diagonal.

Classificació

Si considerem un estat general $\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|$, emprant les propietats de l'operador densitat podem determinar que es pot diagonalitzar de manera que $\rho =\sum _{i}\lambda _{i}|u_{i}\rangle \langle u_{i}|$, on $\{\lambda _{i}\}$ i $\{u_{i}\}$ són respectivament els autovalors i els autovectors de $\rho$. A més, $\lambda _{i}\geq 0$ i $\sum _{i}\lambda _{i}=1$, de manera que els valors propis es poden interpretar com a probabilitats. $\rho$ és una col·lectivitat d'estats descrits per $\{u_{i}\}$ on obtenim cadascun amb probabilitat $\lambda _{i}$.

D'això en podem concloure que els estats purs corresponen a un cas concret d'estats mixts, pels quals un dels $\lambda _{i}$ pren valor unitat i la resta són zero.

Pel contrari, un estat serà mixt si més d'un $\lambda _{i}$ és diferent a zero.

En termes del rang de $\rho$, l'estat és pur si ${\text{rang}}(\rho )=1$ i mixt en la resta de casos.

Convexitat

El conjunt de matrius densitat $D(H)$ és convex: $\rho _{1},\rho _{2}\in D(H)\implies (1-p)\rho _{1} p\rho _{2}\in D(H)\quad \forall p\in [0,1]$.

El conjunt d'estats purs correspon als vèrtexs de $D(H)$, ja que per definició els estats purs no es poden expressar com a combinació convexa de dos altres estats.

Evolució amb el temps

L'evolució temporal del vector d'estat vé donada per l'equació de Schrödinger depenent del temps:

${\hat {H}}\left|\Psi (t)\right\rangle =i\hbar {d \over dt}\left|\Psi (t)\right\rangle$

També es pot expressar en termes de la matriu densitat, obtenint llavors l'equació de Liouville-Von Neumann:

$[{\hat {H}},{\hat {\rho }}]=i\hbar {d \over dt}{\hat {\rho }}$

Quantificació del nivell de barreja

La puresa d'un estat $\rho$ es defineix com a:

${\text{puresa}}(\rho )={\text{tr}}(\rho ^{2})=\sum _{i}\lambda _{i}^{2}$

Amb $\lambda _{i}$ els autovalors de $\rho$. Per a un estat pur, la puresa és 1, i per a un estat mixt, $1/d\leq {\text{puresa}}(\rho )\leq 1$, on $d$ és la dimensió de l'espai de Hilbert.

Similarment, es pot definir l'entropia de von Neumann:

$S=-{\text{Tr}}(\rho \log _{2}(\rho ))=-\sum _{i}\lambda _{i}\log _{2}(\lambda _{i})$

L'entropia d'un estat pur és nul·la, car no hi ha cap incertesa sobre l'estat del sistema. Es pot demostrar que, per a un estat mixt, $0\leq S(\rho )\leq \log _{2}(d)$.

La màxima puresa i mínima entropia corresponen als estats purs, mentre que la mínima puresa i màxima entropia s'assoleixen amb l'estat $\rho =\mathbb {I} /d$, amb $\mathbb {I}$ la matriu identitat. Aquest darrer estat s'anomena estat màximament barrejat.